Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Окончательно ) К (х, )/ах'+ Ьх+ с) г(х = =- ) К (К, ((), К, (()) К (() Л = 1 К* Я е(х, где )т*(()=)т (йг Я* (тх(()) ЕЬ (е) — рациональная дробь. Второй случай: корпи трехчлепа ах'+ Ьх+ с веществен и ые. Пусть хл и хз вещественны и явля1отся корнями трехчлепа ах'+ Ьх+ с. Если х, =хм то )/ахе+ Ьх + с = )/а (к - -х )' = ~ х — х, ! )/а. Отсюда следует, что в этом случае либо под корнем стоит отрнпа~ельная при всех значениях х величина, т. с. корень прющмает а гй Интегаиропание некоторых иарпциональноетей только чисто мнимые выражения,— этот случай имеет место пря а к.
О и мы его не рассматриваем, либо при а > О после указанного элементарного преобразования получаем, что переменное х не входит под знак корня, т. е. под интегралом стоит просто рациональная функция от х„вообще говоря, разная для каждого из промежутков ( — оо, х,) и (Х„+оо). Рассмотрим теперь случай, когда хд + хх. Замечая, что ах'+ Ьх+ с = а(х — х,)(х — хх), и вынося х — х, из-под знака корня, получим й (х, )7 ах'+ Ьх+ с) = й (х, ! х — хх (~' ( е~ ) = (Х ~,/ а(х — х.! ) (25 1О) где йх (и, о) — рациональная функция переменных и и о.
Как известно (см. п. 25.1), интеграл от функции (25.10) может быть вычислен с помощью подстановки (см. (25.2)) а (х — хт! х — хт что в нашем случае дает ~- (К вЂ” Х,) ( =- Р И (Х вЂ” Х,) (Х вЂ” Х,) или, беря Г) О при х'.их, и т < О при х о хм (х — х,) г=- ртах'+ Ьх+с. Рассмотренный в предыдущем пункте интеграл (25.7) является примером случая 2; этот интеграл был сведен выше к рациональной дроби приемом, разобранным сейчас в общем случае. Два изученных нами способа вычисления интеграла (25.8) позволяют всегда свести этот интеграп к интегралу от рациональной дроби, если только корень )гтахх+Ьх+с не принимает чисто мнимые значения (естественно, изучая анализ в действительной области, исключить этот случай из рассмотрения). Действительно, допустим, что ии первый, ни второй случаи не имеют места, т.
е. а ( О и корни х, и х, трехчлена ах'+ Ьх+ с существенно комплексны: х = = д + И, хх = д — И, 6 ~ О. Тогда 'угах'+ Ьх+ с= )т а (х — х,)(х — х,) = =~/а(х — д — М)(х — д 1 М) == )гга 1(х — тх)х+Лх), и так как а а О, а И Ф О, то под корнем прн любых х стоит отрицательное выражение. Утверждение доказано.
22.2. В р виНа (ИГх,)l ах'+ эх Ь с>И Третий случай: с) О. В этом случае можно применить подстановку )гах'+ Ьх+с = ~ ф'с~-хг (комбинацня знаков произвольна). Возводя в квадрат, получим ах'+Ьх= Ь2хГ)/с+хЧ', откуда х =,„= Й, (Г), д~= К, (1) аг, ф~ах'+ Ьх+ с= -Ь 'р с+ К,(1)(=й,(1), где Й,((), В,(г) и К,(г) суть рациональные функции 1. Поэтому ) Й (х, Ргах'+ Ьх + с ) дх = = ~ й (й. (2), к, (()) Я,' (() (г = ) Я (1) д, где й (() = й (й, (1), Р, (Г)) й4 (2) — рациональная дробь.
Интегралы вида ) Й (х, 'у' ах+ Ь, ~/сх+ й) с(х сводятся подстановкой Гз= ах+ Ь (25.11) к рассмотренным интегралам вида (25.8). В самом деле, из (25.11) имеем и — ь дх = — гсК х= —, а 3~ ах+ д = ~ — Р— — + г( =- р'А~~+ В, где с сь А= —, В= — — +д, а' а поэтому ~ 1((х, )'ах+Ь, 1~ах+и ~)Лх=) Л,(г, ~/АР+В )Л, где й~(и, и) — рациональная функция переменных и н а. В правой части последнего равенства стоит интеграл типа (25,8). Вычисление интегралов с помсяцыо подсгаиовок Эйлера обычно приводит к громоздким выражениям, поэтому их следует применять, 366 6 26 Иигеерироеание нелогорнк иррачиолаленоегеа вообше говоря, лишь тогда, когда рассматриваемый иитегра!! ые удается вычисл!и ь другим более коротким способом.
Наприлеер, заь те !! мечая, что ах'+ Ьх + с = а(х +,—,~ + с — —, иетрулио убедить2а~ 4а' ся, что интеграл (25.8) в случае, когда подкорениое выражение положительио па некотором интервале, с помощью лииейпой подстановки может быть приведен (ср. и. 22.3) к одному пз трех интегралов: (копечпо.
здесь символом 11 обозначена, вооб!пе говоря, другая, чем в формуле (25.8), рапиоиальиаи функция). Для вычислеиия полученпых интегралов часто оказывается очень удобиыми использовать тригонометрические подстановки 1=: гйп и, 1=-созн, 1.=. 18и, а также гиперболические подстановки 1=-зйи, 1=сйи, 1=11!и. 25.3. Интегралы от диффереициальиого бинома Выражение х"(а + Ьх")!' е(х (а Ф О, Ь Ф О) называется дифферене(иальные! биномом.
Будем рассматривать случай, когда и, гп и р — рациопальиые, а а и Ь вЂ” вещественные числа. Положим ! х=-Р, (25.12) тогда ! ! — ! е(х = — 1л л юп+! х'"(а+ Ьх")едх =- — ре(а+Ь1)е1 " е(1. л Таким образом, пяте! рал ~ х"' (и+ Ьхе)е г(х (25!3; 2Б.,З. Ингегоо г!! от днг)н!!геен!!но.п ного анно.г!о аг!7 сводится подсташ!акой (25.12) к ии!е.ралу типа ~(а+Ы) !н !г, (25.14) где р и д рациоизльиы. В рассматриваемом случае т+1 д= — — 1.
о Первый случай: р — целое число. г Пусть д = —,, где г и з — целые числа. Согласно результатам ! п. 25.1 в этом случае подстановка з = ! ! сводит иитеграл (25.14) к интегралу от рациопзльиой дроби. В т о р о й с л у ч а й: д — целое число. Пусть теперь р = —, г и з — целые числа. Согласпо результатам пункта 25.1, интеграл (25.14) приводится в этом случае подстановкой ! з = (а + Ы) ' к интегралу от рациональной дроби. Т р е г и й с л у ч а й: р + д — целое. Пусть р = — „, г и з — целые.
Запишем для паглядиости интеграл (25.14) несколько в другом виде: ~ (а+ 5!)о (н г!! = ~ ( — ) (н ~ » г!!. Сном имеем интеграл типа рассмотренного в том же пункте 25.1. На эттп раз к интегралу от рациоиальиой дроби его приводит подстаиовка ! з=( — ) . хн Итак, в трех случаях, когда одно из чисел л, д или р + д является целым, интеграл (25.!4) при помощи указаииых выше подстаиовок привозится к интегралу от рзциоиальиой дроби.
Примсиительио к интегралу (25.13) этот результат выглядит т+! т+! следуя!щим образом: когда одно из чисел р, — или — + р о о является целым, юпеграл (25.13) может быть сведен к интегралу от раш!опальиой дроби. ! !ри этох! в случае, когда р целое, это сведение осущ!с!вляет поде!зпоака й Вк Интегриринииие неноторыл иррациональностей Здесь 1 3 тп= —,, в= — —, 2' 2' ,О= — и т+1 — = — 1. л « имеем второй случай. Сделаем укаэанную выше подстановку: г=(1 — х э), (25.!5) отсюда г х=(1 — ге) 3, б с(х = 8 (1 — ') ' Чс(г, и потом) 21 1 !1+а! 1 — — !п~ — 1=агс!ц г+С.
3(1 — е') 6 ~ 1 — е~ 3 где г выражается через х, согласно формуле (25.15). «) П. Л. Чебышев (1821 — 1894) — русский математик. т+1 и+! где число э является знаменателем дроби —, т. е. — = —; л л б т+1 в случае, когда — целое, — подстановка 1 г =(а+ Ьх")', г где число э является знаменателем дроби р, т. е. р = —; а в слу- чае, когда — +р целое, — подстановка т+1 л 1 г=(ах-л+ Ь)', где число з также является знаменателем дроби р.
П. Х). Чебышев и' показал, что при показателях и, п и р не удов- летворяюшнх вышеуказанным условиям, интеграл (25.13) не вы- ражаегся через элементарные функции. П р и и е р. Рассмотрим интеграл (' тлн(х) гдзс Пнтггрохм надо ( =.-. дх ,л' Ьт охл ь ьх + " 399 25.4. Интегралы вида ~ — ==': — дх Р„(х) 1' ахл -г ах+ с Рассмотрим интеграл где Р„(х) — мпогочлен степени п > 1. С принципиальной точки зрения этот интеграл всегла лго>кно свести к интегралу от рациональной лроби с помощью одной из подстановок Эйлера (см.
п. 25.2). Однако в данном конкретном случае значительно быстрее к цели приволнт обычно лругой прием, Именно покажем, что имеет место формула Р„(л) .= с(х= Ртохл + Ьх + с =Рн ~(х) )Гахх+ Ьх+с+а( ", (25.16) 9 ~'ол" + Ьх + с гле Ро ~ (х) — многочлеп степени не вьпне, чем и — 1 а а — нек<лорое число. Итак.. пусть многочлен (25 ! 7) Р„(х) =- а„х" +а, ~ хн — ' -!- ...
-, 'а, задаю Если существуег мпогочлен Рн — ~(х)=Ь„~х" '+Ьн сх" г+ ... +Ьс, (25!8) удовлетворякзцнй условию (25.16), ло. дифференцируя зто равенство, получим =. Р„~ (х) гт ахх+ Ьх+ с -1- 1/олх+ Ьх+ с Рн ~ (х) (гох+ Ь) +" — + у.*!-ил= С глсл или 2Р„(х) = 2Р„1 (х) (ах'+ Ьх+ с)+ Р„~ (х) (2ах+ Ь)+ 2а. (25.19) Р„. ~(х)=-(и — 1) Ьн ~ х" х-)- ... -)-)гЬлх '-1- ...
-1-Ь, (25.20) Здесь слева стоит многочлен степени п, а справа каждое слагаемое также является мпогочленом степени не больше и. Замечая, что 370 а Ж Инте»радова»не некоторых ирроин<ноеьностеа и подставляя (25.17), (25.18) н (25.20) в (25.19), имеем 2(а„х"+а„< х"-'+ ...
+а,х+а,)= =2(ах'+Ьх+с)((п — 1)6»»х»-г-1- ... +66»х» '+ ... +6,1+ +(2ах+Ь)(Ь„<х" '-1- ... +Ь„х»+ ... +6)+2а. Приравнивая коэффициенты у одинаковых степеней х, получим следу<ощую систему п линейных уравнений с и неизвестными Ье, Ьд -., Ьн-ь рп 2а, =- 2сЬ,+ Ь6,-1-2сс, 2ад —— 266»+ 4сбг+ 2а6»+ ЬЬ<, 2а» -- 2 (Ь вЂ” 1) аЬ» < -1- 2ЬЬЬ»+ 2 (й+!) сЬ»+< + (25.21) +2аЬ» <+ ЬЬ», 2ан <=2(п — 2)аЬе г+2(п — !)ЬЬ» <+2аЬ„г+ЬЬо 2а„= 2 (и — 1) аЬ„< + 2а 6, Из последнего уравнения сразу находится Ь„ а„ Ье,= —" аа Г1одставляя это выражение в предпоследнее уравнение и замечая, что в этом уравнении коэффициент у неизвестного Ь„г равен 2п(п — 1)+О, найдем значение Ь„г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
