Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 64
Текст из файла (страница 64)
22.2 может быть представлена в виде суммы правильной рациональной дроби н может бьггь трансцендентной функции вида Аагс16(а, х+аа)+С, яв- Л х ляюшейся псрвообразной от дроби вида ~ — — д < О). ха+ рх+ д 4 Поэтому всякая нервообразная любой рашюнальной дроби представима, вообще говоря, в виде суммы рациональной дроби (алгебраическая часть) и трансцендентной функции, являющейся первообразиой от суммы дробей вида А Л!х + й рх х — а х'+ рх+д ' 4 Таким образом, если — — правильная рациональная дробь и Р (х) Я (х) Я(х) ==(х — а,)"1 ... (х — а,," (х'-1-Р, х-1- ц,)Р' ...
(ха+ Р,х+ дг)й— разложение ее знаменателя в виде (23.10), то +'~ „. 1 Р(х) Р„(х) ( ~,' А~ ' М.х-1- Л'. Г~(х] Яс(х) ) (,еа х — а~,ам х" +Р.х+ д. '1 отсюда, произведя под знаком интеграла сложение дробей, имеем Ь вЂ ' Р(х) 1 Рс(х) + 1 Рх(х) (24.7) Г)(х) ~,(х) ) О (х) где (1а(х)=(х — аг)" (х — а)(х'+Ргх+4г)" (х'+Р х+Ч)1 формул (24.2) и (24.6) следует, что миогочлен б1,(х) имеет вид (~,(х)=(х — а,) ' 1...(х — а,) ' (хх+Р,х+а,)~' '...(ха РР,х+цг)й и, значит, лшогочлен ()„(х) является общим наибольшим делителем многочлена (1(х) н его производной (7(х) (см.
(23.23)). формула (24.7) называется формулой Осгароградскагох>. Второе слагаемоз правой части формулы (24.7) называется трансцендентной частью интеграла ~ — дх; это естественно„ибо из сказанно- Г Р(х) 3 о(х) Рз(х) го выше следует, что всякая первообразная дроби — -„- с точностью до постоянного слагаемого представляет собой линейную комбинаа1 М. В. Осхроградсккй (!801 — 1881) — русский математик. б 24. Интегрирование рациональных дробей с((х) = Я1 (х) Ял(х) Р,(х) Рх(х) получим и = и + и . В силу того что дроби — и правиль- 1 ге Оь(х! От(х) ные, степени многочленов Р,(х) и Р,(х) соответственно не выше, чем и, — 1 и ил — 1, и, значит, в этих многочленах число отличных от нуля коэффициентов соответственно ие превышаег и1 и и;, таким образом, что число неизвестных коэффгшиентов равно и„+ ил = и. Дифференцируя первообразные, входящие в обе части формулы (24.7), получим (опуская для краткости обозначение аргумента) соотношение (24.8) Производя дифференцирование, получим Р~ О1 — Р1О, Р, +— Ое Заметим, что Р;О,— Р,О', Р,'О,— Р,(( (24.9) О,' От Оь где О1 О, Я=в От цию логарифмов и арктангенсов от рациональных функций и, значит, как это можно показать, будет являться, вообше говоря, трансцендентной функцией.
Первое же слагаемое, называемое алгебраической частью, может быть найдено чисто алгебраическим путем, если известны многочлены Р(х) и Я(х) (а значит, и (~'(х)), т. е. без интегрирования каких-либо функций. В сал1ол1 деле, многочлен Я1(х), являясь обшим наибольшим делителем многочленов Я(х) и Я'(х), всегда может быть нацден с помощью алгоритма Евклида (см. п. 23А), тем самым для отыскания многочлена (,11(х) не требуется знания корней многочлена Я(х); однако, если корни многочлена С((х) известны, а значит, известно н его разложение вида (23.17), то многочлен ((1(х) сразу выписывается по формуле (23.23).
Многочлен Ох(х) находится как частное от деления Ех) на Я1(х). Для отыскания же многочленов Р,(х) и Р,(х) можно применить метод неопределенных коэффициентов. Поясним его. Обозначим степень многочлена (21(х) через и1, степень многочлепа Ял(х) — через и„тогда из равенства 24д. Метод Остроградского нас является миогочлсном. Действительно, если г — корень много- члена Ят кратности л, то, как мы знаем (см.
и. 23.3), г является корнем кратности л — 1 для производной 9 и однократным корнем многочлена Ях поэтому в этом случае г является и корнем кратности Х для многочлеиа 1;)Дз. Отсюда, согласно формуле (23.7), сразу следует, что миогочлен т,')1 ттз нацело делится на многочлен Ят, т. е. что г( также является многочленом.
Итак, из (24.9) и (24.8) имеем Р Р 0«рт й Р« +— 0 С) Ох откуда Р$ 'ст 1 1'х+Рз кт' (24.10) Многочлен Р имеет степень не выше, чем и — 1 (ибо дробь— Р правильная). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях 7г, )г = О, 1, ..., п — 1, переменного х в обеих частях равенства (24.10), получим и линейных уравнений относительно п неизвестных. Выше было доказано (см. (24.7)), что многочлены Р, и Р всегда (в частности, при некотором фиксированном многочлене Я и при любом многочлене Р степени, не превышающей л — 1) существуют; поэтому полученная система линейных уравнений имеет решение при любой правой части«'. Отсюда следует, что определитель этой системы не равен нулю, а значит, про рассматриваемую систему можно сказать, что она не только имеет решение, но и что оно единственно.
Тем самым не только получен метод для определения неизвестных коэффициентов в формуле (24.7), но и доказана единственность этого представления. Формула (24.7) сводит, вообще говоря, задачу интегрирования любой правильной рациональной дроби к задаче интегрирования правильной рациональной дроби, у которой знаменатель Я(х) имеет только простые корни. С помощью этой формулы при интегрировании правильной рациональной дроби можно найти указанным выше Г Р(х) путем алгебраическую часть интеграла ~; — йх, а затем проинтег- ) 0(х) Рт(х) рировать более простую рациональную дробь — — ), если, конечно, мт(х)' случайно, не окажется, что Р,(х) — тождественный ноль: в этом случае задача будет уже решена. Описанный здесь метод интегрирования рациональных дробей носит название метода Остроградского.
«) Каи обычно, предполагаем, что все члены уравнений, содержащие неизвестные, перенесены в левую часть равенства. а 24. !!нгегрирование раиионакьннх дробей П р и м е р. Применим метод Остроградского для вычисления интеграла к' + 2ха — 2ха + х х)а (! + ха)а г(х. Согласно формуле (24.7), 'х'+ 2ха — 2ха+ х Кх'-1-Ех'+Мх+ М Г багха+ (х+т à — г(х — — -, — +~ — г(х, (1 — х)а(1+ х')а (1 — х)а(!+ ха) ~ (1 — х) (1+х) юзтому х'+2ха — 2ха+ х ( Кха+ Ех'+ Мх+ Л! 1' Ака+ !х+ т (1 — х)а(ха+1)а ~ (1 — х)а(! -!. ха) ~ + (1 — х)(!+ха)' Произведя дифференцирование, получим ка+ 2ха — 2ка+ х (1 — х)а (1 + ха)а + (ЗКк+2 !.к+ М)( ! — х)(ха+1) — ( К х'-г (х'+Мк+ Н) 1 — 2(! + ха)+(1 — х)2х) (1 — х)а (1+ ха)а Аха + !х+ и + (1 — к) (1 + ха) ' Этсюда х'-)- 2х" — 2х'+ х = (ЗКх'-!- 21 х-(- М)( — х'-(- х' — х-)- 1)— — (Кха+ 1 х'+ Мх + И) ( — 4ха + 2х — 2) + + (Аха + 1х+ гп) (ха — 2ха+ 2ха+ 2х+ 1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по.учим Л4+2Л!+а!=0, — М+ 21 +2Л4 — 2Л! — 2т+1=1, ЗК вЂ” 21. + Л1-1- 2Š— 2М+ 4Л! + Л вЂ” 21 -(- 2т .=- — 2, — М-(-21.— ЗК+ 2К вЂ” 21. -( 4М вЂ” 2К+ 21 — 2т =-= 2, ЗК вЂ” 21.— 2К+ 4Е+ 2А — 21+ т = 1, — ЗК+ 4К вЂ” 2Е+1== О, А= — О, 28.3 Метод Оппрогродохогл нли М + 2Л)+ гп =- О, 21. + М вЂ” 2Л'+ 1 — 2т —.— 1, ЗК вЂ” !14+ 4Лг+ 1г — 21-(-2ш = — 2, — К + ЗМ вЂ” 2й + 21 — 2га =- 2, К+ 21. + 2й — 21+ и =- 1, К вЂ” 2й+1=-0, й=О. Решая эту систему уравнений, находим К=- —, 1.= — —,, М=- —,, Лг= — 1, 1 1 3 1 2 )г= 0, поэтому х" -1-2хх — 2хх+ х ! хг — хх -1-:!х — 2 !1 — х)г(х" + 1)х 2 (1 — х)г (1+ хх) à — х+1 1 ! х' — х'-1- зх — 2 + 2 ~ (1 — х)(1+х") 2 (! — х)а(1+хе) + 2 ь + й 23.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕ)(ОТОРЪ|Х ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ ерункцпя вида р (ио ..., ил) й (и„..., и„) =. —,, (25.1) где Р и (') — многочлены от переменных и„..., иго т. е. функции вида Х л ах,,х иг ... и„, и+...+х (л называется раг(ггоналгдгыии ердккг!иями от и„..., и„. Если в формуле (25.1) переменные и„..., и„в свою очередь являются функциями, выражающимися с помощью суперпозиций радикалов и рациональных функций от одного переменного х, то получаюгцаяся сложная функция называется рациональной относительно радикалов. зео й ка, Интггрирооансг нскоторых ирраяионпльногтеа Например, функция зт 1(х) = х+ то(ха — 1)" 1/х — 1т хе +! является функцией указанного вида, действительно, здесь 1(х)=)т(х, 1т"х, 1'х' — 1, отх'+ 1), где и, -(- и" Й (п1 ах пх ц4) ик — ик и, ==-х, их=)т х, их =-ргх' — 1, и,= $'хх-)- 1.
Если же в формуле (25.!) переменные ц„..., ао являются элементарными тригонометрическими функциями, то получающаяся сложная функция называется рациональной относительно элементарных тригонометрических функций. Примером такой функции является следующая: — =А'(з1пх, созх, (пх). 1якх Перейдем теперь к рассмотрению интегралов от функций подобного типа и покажем, что в ряде случаев они сводятся к рассмотренным выше интегралам от рациональных функций. 25.1.
Интегралы вида ~й ~х, ( ), ..., (~ — ) '~г(х Рассмотрим интегралы, указанные в заглавии пункта, при условии, что постоянные т„..., т, рациональны н определитель )а.о( ~ ~ О (а, б, с, д — постоянные). Последнее предположение естес г(~ ственно, так как если бы ~" ~ = О, то коэффициенты а, о были бы с д( пропорциональны коэффициентам с, й и потому отношение ах+ Ь ох+ и' не зависело бы от х. Подынтсгральная функция в этом случае была бы обыкновенной рациональной дробью от одного переменного, вопрос об интегрировании которой был рассмотрен выше.
Пусть ш — общий знаменатель чисел т„..., т,: т, = —, р; — целое, 1= 1, 2, ...„з. Р~ й зо. р!нтеерероеание некотармк иррациональностей Ползгая, согласи оогнему правилу, х = (е, г(х =-- 6)ь ь(! получим йх р !е ! р р йт1 — 1ь+ ! ,--- =- 6 1' — е)1.= 6 ~ 1 (!е — ! )-1) т)! — ~ — — 1-= — и '- -~ 1=- ~!+!~= )тх +!/х =61 — ' — ~+! — ! )!+1~1+С= = 2 1/х — 3 т/х+ 6 !/ х — 6 1п ( !/ х -(- 1) + С. К интегралам вида (25,6) сводятся иногда с помои!ью элементарных преобразований и интегралы других типов.
Например, если требуется вычислить интеграл ~ )/(х — 1) (х — 2) ь(х (25.7) то, вынося в подынтегральной функции множитель (х — Ц за знак радикала, получим интеграл вида (25.6): именно при х > 2 )Г(х — 1) (х — 2) ь(х =- ~ (х — 1) ~/ ":, г(х, а при х<! !/(х — 1 (х — 2) с(х= ) (! — х) )/е'-~-: — е(х. Прн 1 ~ х~ 2 подыинтегральное выражение чисто мниьюе. Рассыотриы, например, случай х > 2. Полагая здесь (см. (25.2)) (е, ив к — !' получим 2 — И 2! а'! ьт " (! !т]2 Поэтому "/2 — !т ! 2!т тн Г !ее!! ф'(х — 1) (х — 2) дх ==- ~ ~ —,— 1~ — — -'-.
— =- 2 ~ — —, 1! — ге 1 (! — пр =,)! (! -. )ян * получили интеграл от рационалыюй д)юби, который был вычислен ра!нгие (см. п. 24.2). г5.2. Ннтегсяям яядя ) тт (х„)/яхт + дх + е) дх 25.2. Интегралы вида ) гт'(х, ')/ ах'+ Ьх+ с) дх. Подстановки Эйлера. Указанные интегралы могут быть сведены с помощью замены переменного к рациональным функциям. Рассмотрим трп замены переменного, носящие название псдсщансзск Зилсра. Итак, пусть дан интеграл ) )с(х, )/ах'+Ьх+с) г(х, а+0.
(25.8) Первый случай: а)0. Сделаем замену х на ( следующим образом: у ах'+ Ьх+ с = + х )/а 3- г (25.9) (знаки можно брать в любой комбинации). Возведем обе части написанного равенства в квадрат: ах'+Ьх+ с=-ах' (-2х()/а+(з, отсюда г'е — С х= = г(л((), з+ зг )/я Йт (() — рациональная функция ог (, значит, Й, (г) — также рациональная функция. Далее, г(х=й, (()г((, )/ах'+Ьх-( с = — ~)тт(() )/а 4- Г=-й,((), где, очевидно, Йз(() — рациональная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
