Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Б„(6) (пл. Я (Г). (31.т) В случае, когда оба множества Зы(6) и 5»л(Г) состоят из конечного числа квадратов, это следует из того, что площадь объемлкнцего многоуголышка не превышает площади объемлемого, а в случае, когда хоть одно из множеств 5,(6) и 5„,(Г) содержит бесконечно много квадратов, — из соглашения об употреблении символа +со. Переходя к пределу в равенстве (31.7) при пг- оо, в силу (31.3) получим неравенство (3! .6). Теорема доказана. Теорема 2. 1)тгспгь 6 и 6д, (г=1, 2,, — плпскиеоткрытые лиг олсестпва: бтс(ттс:...с(тдс... и 6= Ц 6„, д=! тогда (31.3) )пп пгез 6д —— пгез 6. д Заметим, что если при некотором )гь имеет место гпез 6д, = +со, то, согласно теореме 1, и для всех й > )гв также шез 6д = +оо; в этом случае равенство (31.8) означает, что пгез 6 = +оо (подобное соглашение было сделано перед равенством (31.31.
Прежде чем доказывать теорему, докажем несколько геометрических лелгм. Введем следугощее определение. Определение 2. 1)оследовапгсльнгтстггь квадратов (() ), /с== 1, 2, ..., мазывастсп тгослсдовалгсльностггьтв вложенных каздратпов, если ()т=збл~- =зЮд~Юд+г =»"" Лемма г. Длтг встгкой ппследоватсльнпспги валткн)гтггых влозсснных квадрчппон (Од), д.ттгна ребер которых слтрелшпил к нре>о при тг- оо, сцщсстпврып, и прппгом едпнапьекншь тпочкп тглосктхттги, ггрпнадлеэсагг( к всвлг кнпт)ргтпыг рассмпгпри кгвмой сиспгелп ь Дон азательс г во. Пусть квадраты Ц =- ((х, у); ад»с к: ад 1- т1„, Ьд "' у ~4 Ьд+ йд) образ)чот последовательность вложенных квадратов и пусть 1пп д„= О. д- ВС.2 Лсоссотоннол«нови отсо>ы>ых нножы>в Тогда системы отрезков [аы ах+с(н! и [(>л, (>о+с(н[, )с=!, 2, являются вложенными системами отрезков, длины дн которых сгрем>пся к нулю при )с- оо. Поэтому существу>от, >с притом единственные, числа 5 и т), такие, что 9 ~ [аы ах+ дл[, ) Е[б,, б.+д,[, й=-1, 2, ..., Отсюда следует, что Д, т!) ~(гы й=1, 2, ..., и чтотакая точка единственна.
Лемма доказана. Определение 3. Пусть Š— плоское множеспсво. Систелш Т? =(6„) аея открыспых плоских множеств (г! = (а) — некоторая совокупность индексов) назыьоется оп>крытым покрытиелс множьспяа Е, если Ес:. ([6„. аь91 Иначе говоря, система (31.9) называется открытым покрытием множества Е, если каждая точка этого множества принадяеж>п хотя бы одному множеству 6а из системы 1?. Определение 4. Она рытов ппкрьосше (31.9) множества Е, сосо>ока>ее ив конечного числа открыпсых множеств 6„называется и>нечньсм оспкрытылс >к>крыли>ем.
Лемлса 2 (Борель«>). Ив всякого опскрыпюгп покрыпшя плоского ограниченного эалскнупимо множества лсожно выделить конечное по>грос>яссе эсс>ого множеапва. До к а з а тел ь с т во. Пусть (31.9) образует открытое покрытие плоского с>граннченного замкнутого множества Е. Будем доказывать лемму от противногсн Пусть нз покрытия (31.9) нельзя вьщелнть конечного покрытия множества Е.
Поскольку множество Е ограничено, то существует замкнутый квадрат (>, содержащий множество Е. Разобьем квадрат 1г на четыре равных замкнутых квадрата (г„с =- 1, 2, 3, 4. Система (31.9) образует открьпос покрытие каждого из четырех множеств Е «Оы с =-- 1, 2, 3, 4. Среди этих множеств существует такое непустое множество Е 6,, (с, = 1, 2, 3, 4), что из покрытия (3!.9) нельзя выделить конечное покрытие указанного множества (в противном случае цз системы (31.9) можно было бы выделить конечное покры«> ьк Вороль !! 871 — 1эза) — фриссцузский м>пои«сии.
4!Ь ф И. Мера нлоскат открытие иноаееоте тне и всего множества Е, что противоречило бы сделанному предположению). Разобьем квадрат (2,, снова на четыре равных замкнутых квадрата (2нп с =- 1, 2, 3, 4 и т. д. В результате получим последовательность вложенных замкнутых квадратов (20:з (2> н. ~ " ~ (2>,е. л ~ - ° (31.10) длины ребер которых стремятся к нулю при й — ноо и каждый из которых обладает тем свойством, что из системы лс нельзя выделить конечное покрытие множества Е-(2;,и ..;, А = 1, 2, ... (сл принимает одно из значений 1, 2, 3 или 4).
Согласно лемме 1, существует и притом единственная точка (5, >1), принадлежащая всем квадратам системы (31.10). Поскольку ребра квадратов этой системы стремятся к нулю и каждый нз квадрате>в этой системы имеет непустое пересечение с множеством Е, то в любой окрестности точки (е, Ч) имеются >очки множества Е. Действительно, обозначим через с(„, й = 1, 2,..., длину ребра квадрата 12>н, е .
Пусть е ) 0; выберем й, так, чтобы е(е, (/2 е'е. (31.11) Это возможно в силу условия !пп с(л -— — О. Теперь, если и (х у)б(2 н, т,, то 'г'(ь' — х)'+ (Ч вЂ” у)'(А 'у'2 (а Поэтому точка (х, у) лежит в е-окрестности точки (с, >1) и, следова- тельно, весь квадрат (20 и е„, в том числе и его точки, принад- лежащие множеству Е, содержатся в рассматриваемой е-окрестности точки Я, >1).
Таким образом, точка (я, Ч) является точкой прикосно- вения множества Е. Но множество Е залнснуто, поэтол>у Д, >1)" Е. Поскольку система (31.9) является покрытием множества Е, то сУщсствУет такой индекс аос-~21, что 5, >1) ~ б„. Множество 6 открыто, поэтому найдется такой номер /с „что ор Ф,т....е„ ~= би .
(31.12) Чтобы убедиться в этом, достаточно взять какую-либо а-окрест- ность точки (е„ч), содержащуюся в бс,, и выбрать |г„удовлетво- ргнощее неравенству (31.11). Из условия (31.12) следует, что Е - ~>и,..л с:бо, й, и, следовательно, нз системы (31,9) можно выделить конечн~е покрытие множества Е-42>и,...т, а именно покрытие, состоящее ° ° '' л 419 ай2 Монотонность мери открытых лноасеста только из одного множества 6 . Это противоречит аы~юру мно.
жеста Яиг,...г . Лемма доказана. У и р а ж п е н и я. Б Доказать аналог чеммы 2 для ограниченного зам кнутого множества и-мерного евклидова пространства Е", л > 2. 2. Доказать, что, каково бы ни было конечное открытое покрытие И == (6»], » = 1, 2, ..., и, ограниченного замкнутого множества Е г:. Е", суцествуег такое число Г>0, что, каково бы ни было множество 0 ~ Е диаметра меньшего чем б сушествует множество Е» с- й, такое, что В с- 6 3, Доказать теорему Кантора о равномерной непрерывности фупкнин, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве, с помощью леммы Бередя.
Лемма 3. 77цспгь бгн )с= 1, 2, ...,— открытие плоские лгнозкества, пусть 6»Сб,С ...Сб»Сб»+1 С ... (3!.13) и аусогь 6= () 6». » ! (31.14) 7'огда есла Š— ограниченное замкнутое многсество и Ес:6, Р1 13) то существует номер уса, такой, что Есб»,. (31. 1Б) Е ~ () 6»р г ! Обозначим через Фз наибольший из нолгеров )тн..., )т . В силу условия (31.13) имеем РФ () 6», =6»„. г=! Следовательно, Ес:.6» .
Лемма доказана. Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2. Предварительно заметим, что из условия б,сбзс... 6 с:... следует (см. теорему 1), что гпеа бз < тез ба < ... < гпез 6» ~( ..., (31.17) Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (31.14) и (31.15) следует, что система (6„), гг = 1, 2,..., образует открытое покрытие множества Е. Поэтому, согласно лемме 2, существует конечное покрытие (6»„..., 6»и) множества Е: ф Л Чара пло»как открыты» мноие»т» поэтому последовательность тез 6», /г = 1, 2,..., всегда имеет предел, конечный или равный + со. Рассмотрим два случая.
1. Пусть всемножества5 (6), т = О, 1, ..., состоят из конечного числа квадратов. В этом случае каждое нз множеств 5,„(6) является ограниченным замкнутым множеством и, согласно лемме, для всякого номера п~ существует такой номер /г,», что 5 (6) ~ 6», и = 1, 2, .... (31.18) При этом выберем й„, так, что й )й„при т') нь Это всегда можно сделать, например, следующим образом. Если выбраны номера А, ( й»( ... ( А ~ и для множества 5 (6), согласно лемме, найдено множество 6,„, такое, что 5 (6) с 6».. (31.
19) то обозначим через /г какое-либо натуральное число, такое, что й )А,», и я„> А»™тогда 6р,,~6», и, значит, 5„(6)с:6» . т Ф Таким образом, последовательность А„„т =- 1, 2, ..., является подпоследоватсльностью последовательности натуральных чисел. Обозначим теперь через 5 (6) совокупносгь всех в~утренних точек множества 5 (6). Очевидно, 5„,(6) — открытое множество и 5„,(6):5 (6) 6 поэтому в силу теоремы 1 щез5(6) ( п»ез6» (31.20) Поскольку 6„с: 6, /г=-1, 2, ..., то в силу той же теоремы 1 п»ез 6» ( гпез 6. (31. 21) Объединяя неравенства (3!.20) н (31.21), получим пл.5»,(6) пл.
5„,(6) с гпез6», -, шез6. Переходя в этом неравенстве к пределу при т- со, в силу (31 3) имеем !!шгпез6» =шез6. Ю! Последовательность (пюз 6„), как отмечалось выше, имеет конечный нли бесконечный предел, поэтому он совпадает с пределом любой ее подпоследоватсльности, т. е. !! т п»ез 6„= гпеь 6. Теорема в первом случае доказана. 42! ад2 >Ионотонмогть >ге>ть> отьрьпмх ммоттетть 2. Пусть существуьч множество Ъ (6), содержащее бесконечно много квадратов, тогда пл. о,ь(6) = +оо„а потому и гпез 6 = + оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
