Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Пусть для определенности й(х)в О для всех х(- (а, Ы, тогда (см. свойство б н следствие из свойства 7) из (28.35) следует, что ь ь ь ') тд(х)дх~(д! )(х)д(х)дх < ~Мй(х)дх, или ь во при лк>бом !л. Если же ~й(х)дхЧЬО, тогда в силу предпон ложения й (х),.:. 0 будем иметь ь ') д(х)дх)0; о ь ь ь и ') й (х)дх ) г(х)д(х)дх~М) а(х)дх. ь Если ~ д(х) дх = О, то в силу полученного неравенства ь 7(х) д(х) с(х = 0 и, следовательно, равенство (28.34) справедли- и у 2В. Овваетва ингегрируелнях функций 402 поэтому ь 1 7(х) у(х) ах <", <М.
1 д(х) вх а (28.36) Полагая ь ) /(х) у(х) ах а Р= ь ) д(х) г(х а мы и получим (28.34). Аналогично подобное неравенство доказывается н при й-с:О на отрезке 1а, Ы. С,п е д с т в и е. При дополнительном предполггжении непрерывноппи функции ) на отрезке (а, Ь1 существует такая точка $ ~ 1а, Ы, ь ь ~ 1 (х) д (х) Нх = 7' ($) ~ й (х) е(х. а (28.37) До к а з а те л ь ство. Пусть функция 7 непрерывна на оть резке (а, Ь1. Еспи 1'р(х)г(х = О, то в силу равенства (28.34) получим, что ~' / (х) д (х) дх = О и, следовательно, формула (28.37) справедлива при лн)бом выборе точки $ г'- (а, Ы.
ь Если же) йг(х)дх~О, тогда из формулы (28.36) и нз теоремы а о промежуточном значении функции, непрерывной на отрезке (см. и. 6.2), следует, что найдется такая точка $ Е (а, Ы, что 1 1(х) у(х) ах )© ь г. " т. е. что на отрезке (а, Ы существует точка 5, для которой имеет место формула (28.37) (см. рис.
87). Теорема 1 получается из теоремы Г, если положить у(х) = 1, х~(а, Ы. Спедствие из теоремы 1 обычно называется интееральной тюремой о среднель Это название объясняется тем, что в нем утверждается существование некоторой точки на отрезке, асредней точки», обля- 4ОЗ 2ЗЗ. Интегрируемость кусочно-нелрерызнык фрыций дающей определенным свойством, связанным с интегралом от функции. Следствие из теоремы 1' обычно называется обобщенной теоремой о среднем. Формула (28.34), а значит, и формула (28.37), остается очевидным образом справедливой и при а )~ Ь. У и р а ж н е н и е !.
Если функция 1 непрерывна на отрезке [а, Ь[. то на и итера ал е (и, Ь) существует точка о, лля котороа имеет место формула (28.37). 28.3. Иитегрируемость кусочно-непрерывных функций Обобщим теперь теорему 3 предыдущего параграфа об интегрируемости непрерывных функций на так называемые кусочно-непрерывные функции. Определение 1.
Функция 1 называется кусочно-непрерывной на отрезке [а, Ь), если существует такое разбиение т = (х!)г=о этого отрезка, что функция 1 непрерывна на каждом интервале (х; ь, х!) и существую т конечные пределы [(х! ! +О)=- 1!гп 1(х) к к. +О ! — ! ' !==1,2,..., й 1(х,— О)= [пп 1(х), к»к.— О Лемма. Оусть функции 1 и тр определены но отрезке [а, Ь) и [(х) — ср(х) на интервале (а, Ь). Тогда если г[!ункцггя 1 ингт!ггри- руегга на [а, Ь[, то и г)!ункция ср интегрируема на [а, Ь[ и ь о ) ьр (х) йх = ~ 1 (х) йх. о о Иначе говоря, изменение значения функции на концах отрезка не влияет ни на иптегрируемость функции, пп на значение интегра- ла, если функция интегрируема.
Апа.погичпое утверждение, ко- нечно, справедливо при изменении значений функции в любом ко- нечном числе точек. Доказательство леммы. Функция 1 интегрируема и, спедовательно, ограничена: [1(х)[ <м дпя всех х с [а, ь). пусть Мо--!пах(М, ьр(а), !р(Ь)). Возьмем какое-,пиборазбиениет=(х!)!' о о~резка [и, Ь) и составим интегральные суммы Римана от[1) и от(ср), выбирая одни и те исе точки 5! ~[х! ь, юг]. Пусть, как всегда, Лх,-=х,— к, !, 1«к[, 2, ..., [г. Поскольку [~([[!) Лх, [ «,-Мобт, [Яо) Л.тг [~~Ма бт ['у(ев!) Лх! [~(Мобт и [ц!(еьо) Лхо [ < Мобт й ра Снос!стао онгегририеямл фннкчвл !ип ) ($с) Лх, = 1ип ! (Ц) Лх„= 1ип ср ($!) Лх, = 1ип ср Щ Лх» = О. л -о л -о л -о л -о Поэтому 1ип ок(сР) = !ип ~с сР (з!) Лх, = 1!гп ~~ сР (сь!) Лх, = о л-о! ! Ь ос=в т т" » †! » О = 1ип ~ ) ($ !) Лх, = 1ип ~с ) ($с) Лх, = ) ) (х) с(х.
Лт-.о с в Ь, о с=! и Следовательно, интеграл ) ср(х) ссх существует и равен интегралу а ~ )(х) с(х. О Лемма доказана. У п р а кс не я я е 2. Доказать, что изменение значения функции в кояечном числа точек нв влияет ик ка нктегрнруемость фукккик, кв ка вкачекке интеграла, если ок сувсествуат, Теорема 2. Функ!(ил й кусхсчнонепрерывнал на отрезке (а, Ы, интегрируелса на этол! отрезке. Доказательство. Пусть функция с кусочно-непрерывна на отрезке !а, (с! и пусть т=(х!)с"» — разбиение отрезка (а, б), указанное в определении 1.
Пусть )(х) при хс с(хс(х„ )с(х)= )(хс с+О) при х хс ) (х! — О) при х хм Функция с на каждом отрезке )хс с, х,) отличается от непре. рывной функции (с, быть может, только на концах этого отрезка, н, следовательно. по лемме функция ! инчегрируема иа (хс с, х ) и с кс ) (х) с)х = ~ ) с(х) с(х, с' = 1, 2, ..., )с. к к ! — ! с-! Применяя свойство 3 интегралов, получим, что функция ) интегрируема на отрезке (а, Ц и что 6 "с ~ с(х)с!х -~~у' ) !с(х)с(х а ! «! Теорема доказана. «У.А Непрерывно««ь ингегрплв ло верхнему ляеделд 5 2Э. ОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ 29.1.
Непрерывность интеграла по верхнему пределу Пусть фу нкция /(х) интегрируема на отрезке [а, Ы, тогда она интегрируема и ца любом отрезке [а, х[, где а -. х=. Ь, т. е. » для любого х~ [а, Ы имеет смысл интеграл [ /(/)с//. Положим Р (х) =- ~ / (/) г/Е е (29.1) л -Ьа» Е(х р Лх ) /(1)с(/ = ('/(/)(/+ ~' /(1) //= = Р(х)+ ) /(/) г[1, поэтому (рис. 88) бу = Р (х+ Лх) — Р (х) л+дл — ~ /'(/) г(1. (29.2) Рмг. Ф? Поскольку функция / интегрнруема на отрезке [а, Ы, опа ограничена на этом отрезке, т. е. существует такая посто>иная А(~ О, что [ /(х) ) .
А/ для всех х(1а, Ь[. Применяя это неравепспю для оценки выражения [ЛЕ[, получим 1см и. 28.!) ~ «вал 1»+а» 1 1«+ал ~дг~ ) 1 ям«в<! [ ~пв>«г)<)[ мв !«лчь ~. х 1 л л Функции р определена на отрезке [а„Ы н называется интегрололг с переменным верхним пределоль Изучим некоторые свойства этой ф)'нк!~ии.
Теорема 1. Если функция / инпгегрируема на отрезке [а, Ы, то функция [29.1[ непрерывна на этом отрезке. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть х г [а, Ь[, х+ Ьх ~ [а, Ь[, тогда из формулы (29.1) следует, что Э кй Определенные интеграл о лере»генным меркнем пребелом Из этой оценки следует, что !цп ЛГ = 0 лли любого х ~ (а, И, д» г' а это означает непрерывность функции Г в каждой точке х~ (а. гг!. 29.2. Диффереггггируеогосгь нигеграла по верхнему пределу. Су цгестаоаание первообразной у непрерывной функции Теорема 2.
Если функция г' инпгеерируема на опгрез- ке (а, в! и непрерьгвна в тггочке к ~ (а, б(, гпоеда функция к Г(к) = ) ! (г) ггг а «иффгеренцируема в точке хо и 'гр ("о) гг» )х о го а з а т е л ь с т в о. Покажем„что рлп — = ! (хо), др д -о Дх где ЛГ=Г(х„+Лх) — Г(к„), ко+ Лхс- (а, (г!. Для этого оценим ДР модуль разности — — ) (хо): Дх д» 7 с,+Д» )(В Ег — ) Угког Ег к,+Д» ггбсгг 1 др г г(ко)~ = г (хо) дх Дл »» !УИ) — ~(ко)! гй . (29.3) к, с,-г-л к — Г у(г) — )(х,))а(~< ' дл 2 ) (л! Пусть теперь задано е ~ О. В силу непрерывности функции Г а точке хо сугцествует такое б=б(а), что если (х — хо! < б и к~(а, 6(, то (г (х) — )(ха)! <в. (29.4) с»+Д» ! —;" — гг*.г(< —" )" »с~ ..
др А это и означает, что Игп — — — г(ко). д оД» Выбирая теперь Лк так что (Лх!<б, из неравенств (29.3) н (29.4) получим 222 Пигдгдере«иаруемаггь ггнтеграла «а верх«ему «реве«д Теорема доказана. Теперь мы можем решить вопрос о существовании первообразной функции для непрерывной функции.
Теорема 3. Если функции ) непрерывно на отрезке (а, Ь), то ни этом отрезка у функции / существует первообризнил. Действительно, согласно теореме 2, такой первообразной является, например, функция Е(х)= ) )(г)Ж, а < х (Ь. — ( ) (() г)( ==- ) ( ), о < « Ь. ах д (29.5) Доказанные теоремы показывают, что операция интегрирования с переменным верхним пределом приводит «к улучшепиюь свойств функции: из интегрируемой функции получается непрерывная функция, а из непрерывной функции получается дифференцируемая. Заметим, что операция дифференцирования в определенном смысле «ухудшаетэ свойства функции: например, производная непрерывной функции, если она существует, может быль уже разрывной функцией.
Из формулы дифференцирования по верхнему пределу (29.б) можно легко получить и формулу дифференцирования по нижнему пределу. Пусть функция ) интегрируема на отрезке!и, Ы, тогда на этом отрезке определена и функция ь б(х) =~ )(Г)г)2, и (х < Ь, причем из тождества ь ~)(()((=~ ц()б(+ ~)(() (г имеем б(х) =- ~ )(() г(( — Г(х). а (29.
6) Таким образом, операция интегрирования с переменным верхним пределом, примененная к непрерывной функции, приводит к перво- образной функции, т. е. является операцией, обратной для операции дифференцирования: 40 В В ГЬ Опрегтеленннр ннхегрпл е перел~ереме перхнеп превелпя Если функция г' в точке х~ (а, Ь! непрерывна, го, как было доказано, функция р в этой точке днфференцнруема.
Из формулы (29.6) следует, что в этом случае функция 6(х) в точке х также дифференцируема и йа (х) йг (х> йх и'х Таким образом, — ~ ) (г) йг = — ) (х). е е ь'х 29.3. Формула Ньютона — Лейбница Теорема 4. (основная теорема интегрального исчисления). Лусть функция )' непрерывна на отрезке (а, Ь! и пусть функция Ф является какой-либо ее первообразной на ехпоя отрю. ке, треба ь )ег'(х)Их Ф(Ь) — Ф(а). (29,7) Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим х Р (х) = ! ) (г) с(г. а Поскольку г и Ф вЂ” две нервообразные одной и той же функции г, то Р (х) = Ф(х)+ С, а < х < Ь, т. е. к 1 1 (г) д( = Ф(х)+ С, и < х < Ь. При х=а отсюда следует, что С вЂ” Ф а). Таким образом, ~ ) (г) йг = Ф (х', — Ф (а). е Полагая здесь х = Ь, получим формулу (2Ь.У). Теорема доказана. 80З. Замена несо меннаеа Для краткости записи часто употребляется обозначение Ф(х) ~. =Ф(Ь) — Ф(а), или (Ф(х)С =Ф(Ь) — Ф(а). 1 П р и м е и и. 1 Найти ~ хедх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
