Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 86
Текст из файла (страница 86)
А это и означает, что последовательность (36.7) на отрезке !О, 1) не сходится равномерно. б21 дб.2 Равноямрнпя сходьмость последоватем нпстел и рядов Сформулируем и докажем критерий равномерной сходимости последовательности, обычно такнсе называемый критерием Кошги. Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости последовательностей). Для того чтобы последовательность функций !„, и = 1, 2, ..., определенных на некопюром множестве Е, равномерно сходилась на этом множестве, неоГ>ходимо и достатгягтто, чпюбы для любого е) 0 существовал такой номер пв, чпю для всех номеров п> и, всех целых р 0 и всех точек хЕ Е выполнялось неравенстпво (36. 11) ! Гп ЬО (Х) — 1„(Х) ! ( Е.
Доказательство необходимости. Пусть последовательность (1„» равномерно сходится на множестве Е. Тогда, согласно определению равномерной сходимости, существует функцггя й такая, что для любого а) 0 существует такой номер ив, что для всех тг)~тгв и всех х~ Е У( ) — ».(~)»<+. Поэтому если и > ив и р)~0, то для всех хсчЕ Р +о(х) — ) ь (х) 1 ~( / Г«+п(х) — 1(х) /+ /1 (х) — (о(х)» ( з Доказательство достаточности. Если выполнено условие (36.11), то прн любом фиксированном х т- Е последовательность г„(х), и==1,2, ..., (36.12) является числовой последовательностью, удовлезеорягошей критерию Коши (см. и.
3.2), и потому сходится. Обозначим предел последовательности (36.12) на множестве Е через»(х). Покажем, что последовательность (1„» сходится равгюмерно к функции 1 на множестве Е. Действительно, в силу условия (36.11) для любого в' «О сушествует такое пв, что для всех п ~~ тгв, всех целых р>0 и всех к~Е »».+а(х)-~.(хИ ( —,"' . (36.13) Замечая, что 1пп» +е(х) ==.»(х), перейдем к пределу в пер- ° « равенстве(36.13) при р- оо, тогда для всех и) тгв и всех х~В получим »)( ) — ».(~)» <-~-<~ 522 4 тв.
Функссссональные последовательности и рндм а это н означает, что 1 на Е. Теорема доказана. Часто бывает полезным следующее простое достаточное условие равномерной сходилтснт последовательностей. Теорема 2 (признак Вейерштрасса). Если сусцепппует такая числовая пьследовонсельность (а„), что (36.14) йгп а„=О, ан > О, (36.16) 11 (х) — )„(х) ( ~~ а„ для всех и = 1, 2,... и всех х ~ Е, то последовательность (7,) равномерно на Е сходипкя к срункции Р.
Д о к а з а т е л ь с т во. В силу условии (36.14) для любого е) О существует такой номер п„что авк. е для всех и- и,. Но тогда в силу условия (36.16) ~п) — и нс для всех и > и, и всех х~ Е, а это и означает равномерн)чо сходимость последовательности (7„) к функции 1 на множестве Е. Теорема доказана. Для рядов, естественно, также можно ввести понятие равномерной сходимости. Определение О. Ряд (36.16) члены которого являсопсся функциялси, определенными на множесгссве Е, тьзывается равномерно сходясцимся на засоле лсножсстне, если последонасгсельность его частичных сумм равномерно сходится на Е. Таким образом, равномерная сходимость ряда (36.16) означает существование такой функции з(х), что зв(х) 'а(х) на Е.
(36.17) Поскольку из(36.17)следует, что за(х)- з(х) наЕ, тов(х) является суммой ряда (36.16). 1!оложим гв (х) ~с ин (х). ь-н-~- ! 623 86.2. Равномерссая схооамость аосяеаовательностест и ряоов '1'огда з(х) — ва (х) -= «„(х) и условие (36.17) можно переписать в эквивалентной форьсе: г„(х) . О яа Е, (36.18) откуда следует, что, для того чтобы сходящийся на Е ряд (36.16) равномерно сходился на «сноясестве Е, необходи.ио и достаточно, чтобы (36.19) !!гп эпр !г„(х)! =О. е- а «Ея Таким образом, из равномерной сходнмости ряда, в ттасттюсти, вытекает, что начиная с некоторого номера верхние граня ьнр ~га(х) ! тес конечны, а условие (36.19) сводит понятие равномерной сходкмости ряда к стремлению к нулю числовой последовательности этих верхних граней.
Докажем эквивалентность условий (36.18) и (36.19. В самом деле, если имеет место (36.18), то для любого е ) О сушествует такой номер п, что для всех номеров сг' п, н всех точек х ~ Е выполняется неравенство ! .( )!(-,„'-. Отсюда для всех и > и зпр)т.н(х)! ~„—,(е, сие 2 а это и означает выполнение условии (36.19). Обратно, если выполнено условие (36.19), то для любого е) О существует такой номер ив, что для всех п>п энр(га(х) ~(е, кее а значит, и подавно для всех п>тт и хС Е !г„(х) 1(е, что и означает выполнение условия (36.18).
Утверждение доказано. Далее, замечая, что а! р анар(х) зн ~ (х) == ~т ссь (х), Й вЂ” -ц из теоремы 1 получаем следующий критерий равномерной сходи- мости. В Зб. Ф)>нкиионольные лоследоеотельности и ряды Теорема 3 (критерий Коши равномерной сходимости рядов). Для того чтобы ряд (36.16) равномерно сходился на ллножествс Е, необходимо и дог>ваточно, чтобы для любого е ьО сри(ествовал такой номер и, что для всех номеров и ) и, всех г(елых р> 0 и всех х~Е выполнялось неравенство ! +р ~~~ иа(х) (е. (36 20) Следствие (необходнмое условие равном е р н о й с х о д н м о с т н р я д а). Если ряд (36.16) равномерно сходится на множесплве Е, то и„(х) 0 на Е.
(36.2! ) Условие (36.21) получается нз (36.20), если положить р = О. Упражнение 2. Доказать, что Ип! знр и яьв услоене (36.2!) акеиаалентно колонию ! и, (х)! = О. У п ра >к не н не 3. Доказать, что если ряди ~~ и„(х) и ~', ии(х) раа- и=! номерио сходятся, то и ряды тл (и„(х)+о„(х)! и ~~ сия(х) н ! и=! равномерно сходятся. Часто бывает полезным следующий достаточный признак равномерной сходимости. Теорема 4 (признак Вейернгтрасса). Прслтгь даны два ряда: функциональный (36.16), членами которого являются функ!(гли, определенные на множестве Е, и числ!ней ,й,' а„, а„~~О, а=1,2, .... (36.22) п ! Если ряд (36.22) сходится и )гс„(х)! <сл„, а=1,2, ..., (36.23) то ряд (36.16) абсомотно и равномерно сходится на множестве Е.
Абсолютная сходимость ряда (36.16) на Е в случае сходнмости ряда (36.22) сразу следует по признаку сравнения из неравенства (36.23). Равномерная же сходнмость этого ряда легко следует нз теоремы 2 этого пункта. Л)ы, однако, приведем ее непосредственное докавательство. М.2. Раенонернае схода.ность лосеедоеательностед а рлдое Если ряд (36.22) сходится„то в силу критерия Коши для лю. л+л бого а)О существует такое пее что ~„' оне е для всех ну~ге и всех целых р~ О.Отсюда и из (36.23) следует, что ! «+р ! л игр «+е ~ ид(х) < ~ )ин(х) ! < ~ он< е ь=л ь л ь=л для всех л)~ пз и всех х~ Е. Поэтому в силу критерия Коши для равномерной сходимости ряда (см.
теорему 3) ряд (36.16) равномерно сходится на множестве Е. П р н и е р ы. 1. Рассмотрим снова (слс п. 36.1) ряд еь Кл 1+а+2! +-+ — „, +- (36.4) и покажем, что, каково бы ни было число г) О, ряд (36.4) сходится равномерно в круге ! г! ч;г. Как мы уже видели, ряд (36.4) сходится при любом комплексном г, в частности, при г =- г, т. е. числовой ряд Г тл 1 + г+ Ей + - + ра + " при )г)<г. Поэтому наше утверждение о равномерной сходимости ряда (36.4) непосредственно следует нз теорельы 4. Покажем, что ряд (36.4) не сходится равномерно на всей комплексной плоскости. Это следуег из невыполнения в данном случае необходимого условия равномерной сходимостн ряда (см. следствие теоремы 3). Действительно, при любом фиксированном и !пп —, = + оо. (36.24) Поэтому, если задано е'> О, то, каково бы ни было псл в силу (36.24) можно подобрать га так, чтобы сходится. Беря его в качестве ряда сравнения (36.22) для ряда (36,4), иыеел~ аав й дк «Рунк«(ионлльньье иоследовитвкьнотти и лиды ки т.
е. †, не стремится равномерно к нулю на всей комплексной пло' л( скости. 2. Исследуем равномерную сходнмость ряда (36.25) и.— ! Прежде всего заметим, что — ° хз1плх ) 1 «( '7)1 + лт (1+их«~ ~ )/Г+ лз (1+лхз) Далее, 1+их' > 2! х()/й*>, поэтому — — < (х( 1 1 < —,, (36.2?) )т(+ лз (1+лх«) 2 )ттл (1 + лз) з И так как ряд (36.26) Х+ и=! ли сходится, то по признаку Вейерштрасса в силу неравенств (36.26) и (36. 2?) исходный ряд (36.25) равномерно сходится на всей вещественной оси. 3.
Рассмотрим ряд Š— и' к' (36.28) и=--! Очевидно —.и'к«З(ПП»!<П)Х~Š— л'к Найдем максимул( функции о„(х)=п! хайека'"' при фиксированном п. Функция ои(х) четная, поэтому достаточно расслютреть лишь х >0 (почейу?).
Производная о„(х)=-п(1 — 2п'х') е-"'"" обрассается в ноль в точке х„= . Поскольку ои(х) ~0 для всех х о„(0)=0 и 1 увит 1(п( о„(х) ==О, то в точке хе функция о„(») имеет максимум к +и~ (почему«). Поэтому 1 1 1 ! 1 о„(х) < о„( — ~) — — з е з .< — з-, ьт «1 Мы воспользовались алесь неравен«твои 2ад и аз .)- Ез, которое сразу получаетса из он«вилка«о неравенства (а — Ь)з:-.. О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
