Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Оказывается, что обратное, вообще говоря, неверно: существуот функции, бесконечно дифференцируемые, но и аналитические, и, значит, не представимые своим рядом Тейлора. Прин!ероы такой функции является функция ! г(х) — е " для х+О, О для х=О. (37.22) При хФ О эта функция имеет производные всех порядков, которые легко нычисляютс: ! ! г Г(х) = — —, е е*+ —,е ! 2 Г(х) = — я е х" и вообще ! (сн! (х) = Р„((( — ~)е ! — е "', т=0,1,2, ФИ (37.23) Это легко проверяется по индукции. где Р ~ †) — многочлен некоторой н( х) рядковыи номер а не степень линейная комбинация слагаемых степени относ!ггельно — (и — по- 1 мпогочлена), т.
е. )!">(х) есть вида Е ат. Сгееенн>ее ряды 848 ! Сделав замену переменного г' = †„ найдем, применив правило Лопиталя, вредел модуля выражения (37.23) при х-ь О: к1 ! кк 1!п> ! —,е "'1= 1!>и — =О. к- о!к'" ! > + е> Отсюда следует, что и предел выражения (3?.23) прн х-ьО так- же равен нулю и что 1йп )ге>(х)=!пп Р„~ — 1е ' =0 к о к-ко 'к «/ (37.24) прил>обом п=0,1,2, .... Из формулы (37.24) при а =- 0 и а = 1 следует, что функция 1 непрерывна вточке х = Ои)пп?'(х) =О, поэтому(см. лемму 2п, 1!.2) -о 1'(0) существует и 1'(О) = О.
По индукции легко убедиться подобным же образом, что 1>е>(0)=0, п=О, 1, 2, .... Таким образом, все члены ряда Тейлора функции (37.22) в точке х„== О равны нулю, поэтому его сумма при всех х также равна нулю н, следовательно, не совпадает с самой функцией й Заметим еще, что, согласно теореме б> п. 37.3, функция (37.22) не может быть разложена ни и какой степенной ряд (так как если бы это было возможно, то ои оказался бы рядом Тейлора), а это и означает, что она не является аналитической. Возникает вопрос: когда ряд Тейлора (3?.21) функции 7(х) на указанном интервале сходится к 1(х)? Чтобы исследовать этот вопрос, напишел> формулу Тейлора для функции 7 (см.
и. 13.1): )(Ф> ( ) (х) = уе " (х — хо)к+г„(х), (37.25) е=-о е в, (х) = ~, ' (х — х„)», ь. )>"!к.) е=-о перепишем формулу (37.25) в виде 1 (х) = з„(х)+ г„(х), где эе(х) — и-я частичная сумма ряда Тейлора, (37.26) которая справедлива при любом п = 1, 2, .... В этой формуле г„(х) обозначает остаточный член формулы Тейлора. Полагая 87.4.
Разложение фунннай в отененные ряды Отсюда видно, что, для того чтобы фуикния 7 равнялась сумме своего ряда Тейлора на рассматриваемом интервале, необходимо и достаточно, чтобы для всех х из этого интервала 11)и г„(х) = О. л-~ (37.27) к г„(х)= — ~ (х — !)"! н+')(!) И, ! о! . м (37.28) г„(х)= 1 1~! (х — х )"+'„ !н+ )1! (37.20) еде ) — хо1(1х — х) 1* ля+1) 1хо+В( — о)1 (1 О)л(х х )н+) (37 30) н! гдеО(О(1 ° Форл)ула (37.28) называеп)ся ос)па)почныл! членом формулы Тейлора в интегральной форл)е, форлгула (37.29) — в форме Лагранжа, а (37.30) — в форме Коши. Доказательство.
Из интегрируя по частям, получим )е 1(х) — 1(ха) = — 7' (!) (х — !) 1„+ ) Г (!) (х — !) й- я =)' (хо) (х — хь)+ ) Г (т) (х — !) й!. яе Если это имеет место, то из 4)ормулы (37.26) следует, что г„(х) является также и суммой п-го остатка ряда Тейлора (37.21). Теорема 7. Пусть функция 1 определы)а и непрерывна вместе со всеми своил)и производными до порядка и + 1 включительно на интервале (х„— /г, х„+ Ы, й >О. Тогда оспшто')ный член г„(х) ее форл)улы 7'ейлори (37.25) для всех х~ (х — !), хе + й) л)окно тписать в следующих трех видах: а З7. Степенные ряды 550 Пусть для некоторого пг~~п у>не доказано, что Р(х) — У(хл) =- Рк!(кл)» ! — — — - (х — хл) + 1)1~!(!)(х — Е)ы ' Й.
(37.31) я! (т — !)1,) к Проинтегрируем по частям последний член еще раз: к к 1 — — 1 7! (() (х — () ' Л = — — ! — 1'7! Я г((х — () ,р ~~ т),) к )!л'! (1) (х — !)л' М ! — — — — — — + — ) 7"' !!(!)(х — ()т ! = т! к, лп — (х — х,)т+ — "7!лнь" (е) (х — 4)те(г т! Подставляя это выражение в (37.31), получим 1(х) — 7(;) = т М с м (х — х„)»+ — ( )!т+!)(Г)(х — ()т«((, т1,) »-! т. е. получим ту же формулу с заменой т на т+1.
Таким образом, формула (37.31) доказана по индукции для всех т:., п. При и = н она превращается в формулу (37.28). Применим теперь обобщенную интегральную теорему о среднем к интегралу (37.28), вынося за знак интеграла «среднее значение» производной )'л'! (см. теорему 1 и упражнение ! в и. 28.2): к ел (х) =. — ( 1!л+ ' ! (г) (х — ()л Й = л),) к )!л~-!!(ц р )!л+!)(к) ! (х !)л+! )к — — ~ (х — ()л!)7 = к кл ч )!л+1! (л«) — (х — х„)л+', (п+ !)! где Ц лежит па интервале с концаин в точках х„и х, г. е, / Ц вЂ” хл)е.. )х — х„).
Формула (37.29) докази!а. 87.4. Разложение функ>>ид и отененные Роли ББ! Если же применить интегральную теорему о среднем к интегралу (37.28), вынося за знак интеграла есреднее значение» всей подынтегральной функции (см. п. 28.2), то получим л и+1 > л->! > гн(х) = — ~ 1>и+»(!)(х — !)' оИ = . (х — $)н(х — х,), (37,32) н! и где $, как и выц:е, лежит на интервале с концами в точках хо и х, т. е. й>==х„+0(л — к„), 0(Ок 1.
Отсюда х — ч = к — х,— 0(х — к,) = (к — хо)(1 — 0). Подставляя это выра>кение в (37.32), получим формулу (37.30). Теорема доказана. Укажем теперь одно достаточное условие разложимостн функции в степенной ряд. Теорема 8. Пустынь Функция / и все ее производные озраничены в совокупноспш на инп>ереа,>е (хо — Ь, хо + >!), и!. е. сугцес»вуе>п такая настоянная М)0, сино 1(ои>(х)! < Л4 (37.33) для всех х (- (х, — и, х„+ й) и всех и = О, 1, 2, .... Тоеда на июпервале (х — )>, х, + й) Функ>!ия) раскладывается в ряд Тейлора, >и.
е. ) (х) =. ь ! ("о) (х — хо)", 1к — к 1( 1!. (37,34) и о До к а з а т ел ьст во. Прежде всего заметим, что, каково бы ни было число а, 1ип — = О. ин (37.35) и-о» П! Действительно, пусть п„такое, что 1а! ! 'о. по 2 Тогда при всех п)~п„ 1'1 н 2 и поэтому аи аи и а а и ! и.„ ( — -. (-)'" а последнее выражение стреми!си к нулю прц и — н ао, Равенства (37.35) доказано. Е 37. Степенние ряди Для того чтобы доказать формулу (37,34), достаточно убедиться (см. (37.27)), что 1»и «л (х) = О, (37.36) где «л(х) — остаточный член в формуле Тейлора функции Возьмем «л (х) в форме Лагранжа (см.
(37.29)). Из неравенства (37.33) следует, что 1(л+» (л> > 1»» >л+> 1«„(х) ! =! (х — х,)"+' ~.<Л4 ', 1х — хе( 7>. 1 (+>Р ' ~ (+>1> Поскольку в силу (37.35) йп, 1" — "е(л+' =О л (л+ >1> то прп >х — хо>с, й выполняется условие (37.36). Теорема доказана.
37.5. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора Прежде всего найдем разложение в ряд некоторых основных элементарных функций. 1. Разло>кение в ряд функции >(х)=е'. Так как 7<л>(х) = е', то для любого фиксированного й ..л 0 при всех»(( — й, 7>1 и всех н=О, 1,... 0 (7>л>(х) (е". Таина> образом, условия теоремы 8 выполнены (х„= 0), поэтому функция ес раскладывается в ряд Тейлора (37.34) на любом конечном отрезке, а значит, и на всей вещественной осн. Поскольку в данном случае «м>(0) = 1, то это разложеиие имеет вид е'= ~~ —.
(37.37) и> л=о Напомним, что в и. 36.1 было установлено, что ряд абсолюп>о сходится на всей комплексной плоскостна>. Мы видим теперь, что для вещественных г = х его сумма равна е.". В случае л> Впрочеи, ато следует, со«леско >еореие Авели, и аа доказанной се>тиас вани сходииости ряда (37.371 иа всей аежествеииой оси. ЯУ.Б. Рпплллеенне нлелентпнннк 4лнкцнй и рнй телкино существенно комплексных г его сумму по аналогии обозначают е'; таким образом, формула не= (37.38) и-о нп агк = а~1+ею (37.39) для любых комплексных г, и гз.
Мы знаем, что ряд (37.38) абсолютно сходится, поэтому ряды и г ! е- = Ф л! и О чт Ео Оля = т! т=-О можно почленно перемножить (см. п. 35.6), причем, поскольку получающийся прн этом ряд также абсолютно сходится, его члены можно располагать в произвольном порядке. Соберел» асе члены, содер- жаЩИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ г!гни С ОДИНаКОВОй СУММОЙ П+ И, И РаСПО- ложны этп группы членов по возрастаншо л + пц л+т л+т — А е! ° нн иин (л + т — а)! л ! ~п.=-о А=-О Нк, ае, Хи! (л+ т)! инн (л + гл — А)!а! и-Р» 0 ' и — -о и.!-т — и и х! хз = — = е"+'*. и (г1+ еа)"+т (л+ гл)! и+т О 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
