Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 58
Текст из файла (страница 58)
«З Как обычно. на коппс промежутка, если он вкоднт в рассматриваемый промемзуток, речь идет о соответству~ощей односторонней производной. тг / Перввоблалнол и неовределлнные интегрпл а!у Определение 2. Соеокупность всех первосбравных функции определенных на некотором промежутке Е, называется неопределенным интегралом от функиии ~ на промеждгпке Е и обозначаегпся 'у (х) дх. (22.2) Если Р— какая-либо первообразная функции ( па Е, то пишут ~~(х) дх=-г" (х)+ С, (22.3) хотя было бы правильнее писать ~~(х) дх=(г" (х)+С). (22.4) Мы, как обычно принято, будем употреблять запись (22 3). Тем самым один и тот же символ ~ )(х)дх будет обозначать как всю совокупность первообразных функции (, так и любой элемент этого множества, т.
е. какую-то первообразную функции й Следует, однако, иметь в виду, что всякое равенство, в обеих часпых которого сгноят неопределенные интегралы, есть равенство между множеспиа ми. Значок ~ называется знаком интеграла. Под знаком интеграла пишут для удобства ие саму функцию /, а ее произведение на дифференциал дх.
Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной пишется первообразная. Например, х г г с гя 'гд =- —,+С, ) ' г= — +С. з Я Э здесь в обоих случаях берегся функция, записываемая одинаково х'г, но ее неопределенные интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными; в первом случае она рассматривается как функция от переменной х, во втором — как функция от переменной г.
Другие удобства, вытекающие из употребления записи ) ~(х)дх, будут указаны в дальнейшем (см. замену переменного в интеграле, п. 22.3). В формуле (22.2) поп знаком интеграла, очевидно, стоит дифференциал любой из первообразных Е функции ): дР(х)==-Р'(х)дх=: ~(х дх, х~Е, (22.5) О с и о в н ы е свойства н е о п р е л е л е и н о г о и н т е г р а л а Будем предполагатгч что все рассмелриваемые функции определены па одном и том же промежутке.
у Зд Определение и свойства неопределенного интеграла ! . ~ др (х) = г" (х)+ С. Справедливость этого равенства вытекает из определения не- определенного интеграла как совокупности всех функций, диффе- ренциал которых стоит под знаком интеграла (см.(22.5)) и общегс вида (22.!) всех первообразных данной функции. 2. д~/(х)дх=/(х)дх. В данной формуле под ~ /(х)дх понимается любая первообразная г функции /. Справедливость этой формулы также очевидна в силу (22.
5). 3. Если функции /, и /е илсеют первообразные, пю и фунсигия / + /е также илсеет первообразнусо, причем ~ )/с(х)+/,(х))дх = ')/с(х) дх + ~/е(х) с!х. (22.6) Это равенство выражает собой совпадение двух множеств функ- ций и означает, что сумма каких-либо первообразных функций /, и /е является первообразпой для функции /, + /, и что всякая первооб- разная функции /с + /е. является суммой каких-либо первообразных /, и /,, Свойство интеграла, выражаслсое формулой (22.6), называется аддитивносспью интеграла относительно функций.
Пусть )/с(х) с1х =-Рс (х)+С, ~/е(х) дх/-ре(х)+ С и, значит, Р; =-/„Р' = — -/„положисл Р—. Гс+Ге, тогда р'= = Р, +Ее=/с-! /„т. е. Р=-ус+ге является первообразной для /с+ /„ссоэтохсу (см. 22.1) ) [/с (х) + /е (х)] дх =- р!,х) + С = г с (х) + Р, (х) + С. Таким образолс, левая часть формулы (22.6) состоит из функций вида Рс + Ре + С, а правая — из функций вида Рс+Сс+ Ре+ С,. Ввиду произвольности постоянных С, С, и С, эти совокупности сов- падают. 4. Если функция / имеепс первообразную и /г — посспоянна, пю и функция /г/(х) также имеесп ссервообразнусо, причелс при /г ~ О справедливо риссенство ~ /г/(х) с!х == А ~/(х) с!х.
(22. с ! Действительно, пусть ~ /(х)с!х =- Р(х) + С или р =- /, торпа (/гр)' =- /г/. П!оэсому левая часть формулы (22. с) представляет собой совокупность функций вида /гр + С, а правая, очевидно, является в силу определения интеграла совокупностью функций вида й(Е + С,) =:. /гр + /гСс. ВвидУ пРоизвольности постоЯнных С и С„ и условия й Ф О, обе совокупности совпадеаот, 22.2 Тпалпчнь»е пнтегрплм Вопрос о существовании первообразной будет изучаться несколько позже (см. и. 29.2), а теперь рассмотрим методы вычисления перво- образных для различных классов элементарных функций.
У и р а а» н е и и е !. Йоказать, что функция з!яп х пе имеет первооаразной на всей всшсствепной осн. 22.2. Табличные интегралы Операция нахождения неопределенного интеграла от канной функции, называемая операцией интегрирования, является операцией, образной операции дифференцирования„ т. е. операции нахождения по данной функции ее производной (см. свойства 1 и 2 неопределенного интеграла в п. 22.1). Поэтому всякая формула для производных конкретных функций, т. е.
фора»ула вида Р'(х) = /(х), может быть обращена (записана в виде интегральной формулы)! ~ ) (х)»(х = г' (х) + С. Используя это соображение, напишем таблицу значений ряда интегралов, получающуюся непосредственно из соответствуюцгей таблицы производных элементарных функций' (см. 5 9). »Х+ 1. ~ х" дх=- — +С, х~0, а ~ — 1.
а+! Если»пюло а таково, что степень х" имеет смысл и для всех х < О, го формула 1 справедлива на любом промежутке, принадлежащем области определения функции к". Например, формула гз ') х'»2х = з +С праведлнва для нсей числовой оси. г гх Однако для интеграла ~ —, уже нельзя написать подобную единую )»орыулу, справедливую на всей числовой оси с выкинутым нулем, в этом случае имеем — — +С, для х)0 ! — — +Са для х(0.
! 2. ) — „=-1и ( к ) + С. аа любом промежутке, на котором х~0. З 22 Определение и свойства неопределенного интеграла 3. ) асс!х=. — -!-С, а)0, аФ!. ! тпс В частности, )е" с!х=-ее+С. 4. ~ ь!и х ссх =- — соз х+ С. 5. ~ соз х ссх .= з! и х + С. дх 6. ~ — о,л „=!8Х-!-С. дх 7. ! —.— = — с15 х + С. ,) в!от х 8. ~ з!тхс!Х=с!1х+С. 9. ~ сй хс!х = з)с х-(- С. дх 19 ) с!се с =Йх+С, е дх 11 3 выл .= — с1)сх+С йх ! х 1 х 1й, с — — = — агс!6 — +С =:: — — агсс!6 — +С.
ст +ат а а и а дх 18. ~ — -- =-,— !п~.— ' — ~+С. „1 х' — ат 2а ~х+а де . х с 14. ! — =- агсей и — + С = — агссо — 5- С, ! х ! ( ! а ',. ' с !/ср — ет а 15. ~~= — — - =- !и!х+ )/х~~а'~ -1-С, л )/не~- и" причем, когда под корнем стоит хе — а', предполагается ! х~ ~ ! а!. Само собой разумеется, что если знаменатель подынтегральной функции обращается в ноль в некоторой точке, то написанные форму- лы будут справедливы лишь дли тех промежутков, в которых не происходит обращения в ноль указанного знаменателя (см. формулы 2, 6, 7, 11, 13, 15). То, что производными функций, стоящих в правых частях этих формул, являются соответствующие подынтегральные выражения, проверяется непосредственным дифференцированием (см.
примеры в э 9). С помощью интегралов 1 — 15, называемых обычно глабличнылш пнспегралавш, и доказанных выше свойств неопределснного интегра- ла можно выразить интегралы и от более сложных элементарных функций также через элементарные функции. 228. Иноггрироаание лодетаионкоа 323 Например, Й- 4 (5созх+ 2 — Зха+ — — „,, ', йх= хг-~, !! = 5 ~ соз хйх -)- 2 ~ дх — 3 1 х' йх+ ) — — 4 ~ —. — -- = Гах Г Вх ) х'4! = 5 з! и х+ 2х — х'+! и ! х ! — 4 агс!и х+ С.
Отметим, что для псякого многочлена степени и существует первообразная и она является многочленом степени и+1, точнее, (а„+ а, х+ а, х'+ ... + а„хн) дх = и, хг а, к' ал к"+' =а х-1- — '+ — '+ ... + " +С. 2 3 "' и+1 (22.8) 22.3. Интегрирование подстановкой Теорема !. Пусть функции 1(х) и ф(!) определены на некоторых промежугпках и имеепг смысл сложная функция Е(гр(!)); если функция !'(х) имеет первообразную Е(х), а функция ер дифференцируема, пш функция 1! р~(!))гр'(!) также имееюа первообразную и ~ 1 !чг (г)! 'Р (!) "! -- г ! ф (!)! + С (22. 9) Д о к а з а т е л ь с т в о. Г!оскольку функция Е(х) определена натомже промежутке, что и функции !(х), то сложная функция Ягр(!)) имеет смысл и по правилу дифференцирования сложной функ- ции -, †, Е! 2(!)! = -д †„' )и , †„ =-- ! !гр (!)1 р' (!).
дя(х! $ дЧ(!] т. е. функции !(ф(г))гр'(!) имеет в качестве одной из своих первообразных функцию Е(41(Х)), и потому формула (22.9) доказана. Формула (22.9) часто применяется на практике при вычислении различных интегралов. Для этого ее удобно записать в виде ~ / (гр (!)! <р' (!) Ш = ~ 1(х) !х ~ и Это следует из свойств 3 и 4 неопределенного интеграла (см.
и. 22.1) и формулы 1 этого пункта. Если первообразная некоторой функции ! являепгся элеменпшрной функцией, то говорят, что интеграл ~!(х)йх выражаегпся через элементарные функции, или что мпот интеграл вычисляегпся. ?24. интегралов«ни« яа «апяа — э1 :делаем замену переменного 1 = у 1а1( +;-1 и положим й.! э« 1= с —,—, тогда получим лх 1 Н 1' ах«+ эх+с г'1а ) .~ 1' .ь «я+ а (перед Р стоит знак «+», если и ) О, и знак « — я, если а < 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
