Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Общее определение равномерного стремления функции к пределу будет дано в п. 39.4. Теорема 4. Пусгпь Функция г=г(х, у) имеет непрерывные производные )„(х, у) н ) (х, у) на открытом множестве 6с: Ез. Тогда для ее приращения аг существует такое предсгпазление Лг=),.(х, у)бх+) (х, у)ау+ е,й«х+в,й«у, цто функции в,=-- =в,(х, у, Ьх, й«у) й е,=-е,«(х, у, бх, Лу) равномерно с«премятся к нулю при р= у'оке+ау" — 0 на любом замкнутом ограниченном множестве А с: 6.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пуси ь Л вЂ” некоторое ограниченное замкнутое множество, лежащее в 6. Тогда замкнутые множества Л н Е".6 не пересекаются, н так как А — ограничено, то д — р(А, Е".6) ) 0 (см. лемму 4 п. 18.2). Множество Ле =- ~(х, у): р((х, у), А) ( — ~ содержится в множестве 6 и является ограниченным замкнутым множеством (см. лемму 6 и. 18.2). Пусть теперь р=- '~ с«хе+Ау' — --, тогда при (х„у„) (- А получим (см. (20.13)) (х„+0«й«х, уь+ йу) С Лл, (х„, у„+ О, Ьу) С Лв, Г з и, следовательно, согласно формулам (20.14) имеем 1е,~ (ь«(р;),;Лл1, ! ! <сь('р;),; Ал1.
г/ «/ где в правых частях неравенств стоят соответственно модули непрерывности функций /„. и / . Из непрерывности частных производных (к и ) на ограниченном замкнутом множестве Ал следует, что 2 1ипы(р; )в«Лл =-=0 и 1«ты(р; )„«Лл — О. й 20 Частные производные, Дгг44ыуенчиугдемоств Поэтому для любого е > 0 существует 6 = 6(а) ) О, такое, что для всех р < 6 выполняются неравенства Поэтому для всех р(6 н всех (х„у„) ~ А справедливы неравенства )вг)(а, )ея((а.
Это и означает равномерное стремление к нулю при р -» 0 функций а, н ев на множестве А. Теорема доказана. Все определения н утверждения этого пункта переносятся и на случай функции у = 7(х), х =- (х„ ..., хп), любого числа н переменных, определенной в некоторой окрестности точки хгег. Например, условие дифференцируемости в данной точке хго' в общем случае выглядит так: Ьу=Агйхг+...-1 Лпйх„+о(р), р-»0, (20.17) где Р =- 1~ ~ Ьхг, ЛУ = г (х„..„хп) — ) (хг ', ..., х,',о'), е г 1 Лхг — -х,— хг, г=1, 2, ..., и, гог причем в этом случае дг'(хг г) Л, =- —, г =-- 1, 2...., гь дх, Таким образом, если функция ( дифференцируема; то г(х) =1(хгог)+ Л,(х,— хг я)+ ... + Л„(х„— х~„~)+ о(р), р — э.
О, (20.18) т. е. функция ) в окрестности данной точки с точностыс до бесконечно малых более высокого порядка, чем и р=- ~ г '» (х — х,'о')', равна линейной функции'г. Образно говоря, г 1 дифференцируемость функции в данной точке означает, чтс, функция ) <почти лннейна» в окресгности этой точки; точный смысл выражения «почти линейна» заключается в формуле (20.18). В случае, когда имеет место (20.17), линейная функция — Ьхг+ ... + Ьхп и переменных Ьх„..., дгх„(здесь вместо. д)(х) д((х) дх, ' "' дх„ «> Функции вида у=-.с„+с,х, ',— ...
+се хе, где с,— постоянные, нааы. веются линейными финкциялги и переменных, ппн линейными финкциями гпо<ки хс Еп, Ю 8. Пиффесенциоононне сложной функции хол написано х) называется дифференциалолс функции, или, подробнее, полным дифференциалом функции в данной точке т и обозначается йЕ(х): йЕ (Х) =.
— ~ Лх, + ... + — ЛХн. (20.19) Ок, йх„ Дифференциал, как и всякая линейная функция п переменных, определен на всем и-мерном пространстве Е". Таким образом, форлсула (20.19) имеет смысл для всех значений Лхь е = 1, 2, ..., и, в то время как формула (20.17) — только для тех, которые не ьыводяеп за область определения функции Е. Переменные Лх, называются также дифференциалами переменных х; и обозначаются йх;, Е =- 1, 2, ..., и. В этих обозначениях дифференциал фушоцин Е записывается в виде (20.20) дх, ох„ Очевидно, что ЬЕ(х)=дЕ(х)+о(р) при р — ь0. Если же рассматривать дифференциал и при изменении точки х = (х,), то он будет уже являться функцией от 2п переменных: ко ..., хн, йхо ..., йХ„, Теоремы 1 — 4 настоящего параграфа очевидным образом обобщаются на функции и переменных, поэтому мы не будем приводить их формулировки.
20.3. Дифференцирование сложной функции Теорема 5. Пусть функции х(Е) и у(Е) одного переменнс ео е дифференцируемы в елочке Е„(что, как мы знаем, эквивалентно существованию у них производных в пючке Е„, см. и. 9.2) и пусть хь= = х(Еи), уь = у(Еи). Если функция г == Е(х, у) дифференцируемо в точке (хи, у„), то в некоторой окреппности пкеоас Еи имеет смысл суперпозицйя Е(х(Е), у(Е)), сложная функция г = Е(х(Е), у(Е)) в пючке е„ йе иуеееп производную „— и в веной точке (20.21) йЕ Вх йЕ ЗГ йЕ' или, подробнее, аЕ(к(Е„), Г(Е„)) ВЕ(к,, у„> йх,Ее) ВП,„Г,> йу(Е,) йЕ сх йЕ + э 20.
Честные иеииевидние. Диф4е1мнцируеиипи До к а з а т ел ь с т в о. В силу дифРеренцируемости функции 1(х, у) в точке (х„у,) она определена в некоторой окрестности этой точки. Из дифферснцируемости же функций х(1) и у(1) следует их непрерывность в точке 1 . Поэтому, согласно замечанию к теореме 2 в п. 19.3, в некоторой окрестности точки 1и определена сложная функция 1(х(1), у(1)).
Дифференцируемость функции г=)(х, у) в тога ( и уе) чает, что ее полное приращение Лг=)(хи+Лх, у„+Лу) — 1(хе, у ) представимо в виде Лг = — е Лх+ — Лу+ е у' Лх'+ Лу', (20.22) дк д» где функция а=-е(Лх, Лу) такова, что Вт в(Лх, Лу)=-0. и-и Здесь, как обычно, р=- уеЛх'+ Лу'. Доопределим функцию в (Лх, Лу) в точке (О, 0), положив е(0, 0)=.0 (ср. с доказательством теоремы б в п. 9.7). Так доопределенная функция а(Лх, Лу) является непрерывной в 1очке (О, 0). Пусть теперь Л1 — приращение переменной 1 и Лх =- х (1„+ Л1) — х (1„), Лу = у (1 + Лг) — у (1 ). Разделим обе части равенства (20.22) на Л1: При Л1-иО в силу непрерывности функций х(1) н у(1) в точке 1„получим ЛхиО и Лу-иО, а значит, и )пп р= — О. Отсюда ы-и по теореме о суперпознции непрерывных функций (см. и.
19.3) 1пп а(Лх, Лу)=-0. а~-о Далее, аь,и ~/ 1(а1~ 11а111 Из всего этого следует, что при Л1-иО правая часть формулы де дх де дг (20.23) стремится к конечному пределу — — -+ — — (1 =- 1 ) дк д1 ду д1 ае поэтому и левая часть этой формулы, т. е. — — стремится к тому 20.8, Лвффврвнчировиние сложной фунниии же пределу, а зто и означает, что в точке ге существует про>иИг водная — и выражается формулой (20.21). Ж '1 еорема доказана.
Отметим, что, хотя н окончательную г)юрмулу производной сло>кдг дг ной функции (20.21) входят только частные производные —, и— дх функции г = 1(х, у), по коду доказательства существенно использовалось более сильное свойство этой функции, чем существование частных производных, а именно ее дифференцируемость. У п р а ж н е н и е 1. >1окагать, что при отказе от требования лпфференпируегшсти функнии г = ) (х, у), а лишь прн предположении существования дг дг час>ных производных и — в точке(хг, ув) и суя>ествоваиин производных да оу йх г'у — н ' в >очке Ц формула (20.21>, вообще говоря, не имев> места н, болсетой> >и го, сложная функння 1(х(1), у(Г)) (предполагается, конечно, чго она имеет смысл), вообще говоря, может не ил>еть производной в точке йь С л е д с т в и е. Пусть теперь функции х = х(и, о), у =- у(и, о) определены а неколюрой окр~естпности >пенки (и„, ов), а функция г — — )(х, у) определена в некоторой' окресптосгшз пинки (х„, ув), еде х„== х(иы о„), ув =- (ие, ое), ив некоторой окрнстности точки (и„, ое) имеет сл>ьзсл суперпозиция /(х(и, о), у (и, о)).
Если функция 1(х, у) дифференцируема в >почке (х„, у„) и дх ду суи(ествуюгп частные производные — и — в точке (и, ов), то ди ди и е дг в точке (и„, о„) суи(ествуепг часпзг>ая произвсднагг — слолгной ди функции г==((х(гг, о), у(и, о)). Фиксируя о =- о„и рассматривая сложну>о функцию г ==- )(х(и, о„), у(и, о„)) одного переменного и, согласно формуле дг (20.21), получим, что производная —., н точке (и„, ов) существует и нырамсается по фюрыуле дг дг дх дг ду (20.24) ди дх ди ду ди Аналогично, если в точке (ие, од существуют частные производные — и --, то у сложной функции г =.. )(х(и, о), у(и, о)) существует дх ду ди ди' В гд. Честные орооееоднне.
Зифференцпруехгоеть в точке (и„, о,) частная производная по о и для нее имеет место фор- мула дг дг дх дг ду — +— до дх до ду оо (20.25) 20.4. Иивариаитиость формы первого дифференциала относительно выбора переменных. Правила вычисления дифференциалов Теорема 6. Т1усаагь функггия 1(х), х=-(х„..., х~, оагределена в некоторой окресапности и очки х'"г =- (х|ог, .... хго'), а г)аункции х, = хг (1), 1 = (1„..., 1ь), 1= — 1, 2... и, определены в некоторой олРесгапгоспги паочки 1'"'=-(1гг", ..., бог) и агцсть х("'=- х,(1'о'), г=-1, 2, ..., и. Тогда, если функция )(х) дифференцируелга в точке хгог, а функариг х,=х,(1), а =1, 2, ..., и, дифференцируемы в точке 1гоа, то сложная функция 1(х(1)) =- )' (х,(1), ...,х (1)) определено. в некоторой окрестноспш тоски 1<и и дифференцируелго. в этой пгочке. 1)ргг этом гифференциал й) функцгги 1(х(1)) в точке1'"' лгожепг быпгь затгсан в следуняцих двух видах: ~~ д)(х(гг а)) Й~ дг .йл (20.2У) й1 =-.
— — — —. Дхг, еде йх, — дхг(1)!а „агв>. д1(хгог) еюг дха ! г (20.28) Следствие доказано. В общем случае агусть вокреспгноспги точки х г =(хг"г,...,хг;а) задана функция у = у (х„..., хе), пусть заданы функгаигг х,=х,(гг, ..., 1ь), г = 1, 2, ..., и, такие, чпго хг (гагра, ..., 1агог) = хг"'.
Если функция га = у(х„..., х„) дифференцируема в точке хгог, если в точке 1го = (1'г", ..., 1л г) с)ггЦесапвУгот чатпные ггРоизгодные —, 1=- 1, 2, ..., lг, г = 1, 2, ..., и, и если в некоторой окресргдхг дг ° » "~ ю ности точки 1гог имеепа смысл суперпозиция у(х(1)), апо сложная функция у(х(1)) имеет в тгхгке Рог часпгные производные ду . г — 1= 1, 2„..., и, причем дгл ' ду ду дхг (20.26) л04. Инвариангноотн форам аврвого дифференциала (х, (1), ..., х (1)) ~ 0(х!'>; >1) при 1 ~ 0(бо>; 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
