Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 51
Текст из файла (страница 51)
(19.14) ,(л)) ( „(л)) Но по конструкции последовательностей (х' ) н ) х" (ся(. 19.13) ! р (х" и ) — ( '(х' и ) ! )~ ео (19.15) для всех А=1, 2, .... Очевидно, условия (19.14) и (19.151 противоречат дру др у Зто и доказывает теорему 5. Отметим, что при отказе от условий ограниченности и замкнутости множества теорема перестает бить верной. Например, 1 функция у = — определена и непрерывна на интервале (О; 1), кох торый хотя и является ограниченным множеством, но не является замкнутым; зта функция неравномерно непрерывна на интервале (О; 1). Функция у = х' определена и непрерывна на всей веи(ественной оси, которая хотя и является замкнутым множеством, но не является ограниченным. Зта функция также неравномерно пе- в79 79 Б Ровно»явная нес рернляогть »7»вн»чае прерывпа на венгесзвенной оси.
Доказательство неравномерной не! прерывности функций у = — и у = к" на указанных ан)онгествах будет дано в этом пункте несколько дальше. Часто оказывается более удобным несколько другой подход к понятию равномерной непрерывности, а именно с помошью так называемого модуля непрерыеносгли функции Определение 10.
Пусто функция 1 определена на множестве Ес:.Е». Ее модулем ненреры»ности г»)(6: й Е) называется функция га(6; Р; Е) = зор () (к») — 1(х')), к' ~ Е, к" Е Е. (19,16) р («'. «") < б Часто для краткости вместо гя(6; й Е) пишется просто о)(6; )) или даже м(6). Нетрудно убедиться, что знр (У(х ) — 1(х ))= знр ()((х") — )(х')~), х'(:Е, х" ~ Е, р!«', » ) <б р!» ')<б т. е.
в правой части равенсп)а (19.16) под знаком верхней грани можно писать или не писать знак абсолютной величины, от чего величина указанной верхней грани не меняется. Очевидно также, что г»)(6))~0. Далее, если 0 с, 6, <. 6,, то (у: у = ((к") — ((х'), р(х', х") < 6,) с: ~(у: у=7'(х") — 7(х'), р(х'. х") < бя), откуда снр () (к") — 7 (к')) < знр () (х") — 1(х')), !» !«ь»") < 6 р г»ь «") < б, т. е. са(6,) < га(бя), иначе говоря, модуль непрерывности являетсл моногпонно возрастающей функиргеи са(б! й 0) Задача )2. ))усть 0 — область а й".
Йояааать. что сля Нв ' ' =О, б-.с то ! — постоянная фуяяяяя П р и м е р ы. 1. Найдем еа(6) для функции у = х', — оо Сх<+со. Для любого 6)0 н любого фиксированного х имеем са(6; к")= м)р (х»я — х' ! )~ха — (х — 6)'=-2хб — 6'. (19.17) !»" — »'! -6 й 19.
Предел и непрерывность функций многих переменное Это неравенство верно при лклбом хее и так как при л1обом фиксированном 6 !|пт (2х„б — 6к) = -)- сс, «-++о получим в(6; х') = зпр (х" — х' ( < 26 — бк, (19.18) |л" — х'1 < 6 с другой стороны, беря х' = 1 — 6, хн= 1, будем иметь в(6; х') = зпр (х"' — х"(': 1л"-л" 1< 6 ) 1 — (1 — 6)т=-26 — би. (!9.!9) Из оценок (19.18) и (19.19) следует, что на отрезке !О; 1! в(6; х')=26 — 6'. Записав зто выраженно в ниде о)(6; х')=1' — (1 — 6)', О <х<1, Рис.
72 видим, что в(6; х') совпадает с приращетп1ем функции на участке длины 6, на котором она растет наиболее быстро (рис. 72). 1 2. Рассмотрим функцию у=-яп — „, х+О. С одной стороны, в(6; з|п — ) = зпр (~з|п — — з!и — ~) < < знр (~з!и — (+(з!и — ~~ ~( знр (2)=-2. 1 1 С другой стороны, беря х„= —, х, =- —,—, вы — +2ип — и+ 2лп л 2 бирая и фиксируя п так, что (х„( < — „, „!х„(~< — и, значит, то из (19.17) получаем то(6; х')= +со, — со < х(+ со. Найдетс теперь модуль непрерывности для функции у = х' на отрезке !01 !!.
Пусть О < х" — 6 < х' < х" < 1, тогда, в силу неравенства х" — х" < х"' — (х" — 6) = 2х" 6 — 6' < 26 — 6~, 281 о Б. Ронномерннл ненрерынносгь функций !х,— х„! < !к„!+ !х„~ <6, будем иметь ! т . ! . ! со ~6; з!п — ) > з(п — „— з!п —, =1+! =2. кн х„ Полученные оценки дают ! 1 о> ~6; з( и — ) = 2.
! 3. Рассмотрим фуикцию у=- — — иа иитервале (О; 1). х При тобом фиксироваииоы 6, 0(6(1, имеем в~6; — )= зпр ~ — — — )= епр ~ — — — )) 1 ! «! б — — — — — оо при хо->- +О. ка ха+6 ха (ка+ б) Таким образом, В терминах модуля непрерывности равиомериая непрерывность а!ожет быть выражеиа следующим образом. Теорема 6. Для того чтобы функция 1, определенная ни множестве Е, была равномерно непрерывно но епюм множесп>ее, необходимо и доопопючно, чтобы 1! (6; 1; Е) = О. (19.20) б--! о До к а з а т ел ь с т в о.
Пусть функция ! равиомерио иепрерывиа иа ыио>кествс Е, т. е. выпоап!ейы условия (19.10) — (19.! 1); тогда для любого в ) 0 существует бв = 6 ~ц') О, такое, что если ,в! х' ~Е, х" ~ Е„р(х', х") < 6., то (!(х") — !(х')!<. —. 2 О!с!ода следует, что для любого 6 <. 6 выполняется иеравенство зпр (!!(х") — !(х')1) ( — <" е, р !х', «"> < б 2 т. е. если 0 < 6 <„6, то ы(6) ( е, что и означает, что 1пп о>(6)= О.
Необходимость условия (19,20) доказана, б +о М Здесь ха таково, цто О < ка < ! — б. у /Э. Предел и непрерыеность фунхцгга многих перененнмх Докажем достаточность условия (19.20). Выполнение условия (19.20) означает, что для любого е > 0 существует такое 6 > О, что если 0 ( 6 ( 6., то ог(6; ?; Е) <р„ поэтому (см. (19.16)) при р(х', х")<6, х' ~ Е, х" ~ Е, и подавно Ц (х") — 1 (х') ! < е, т. е. функции ? равномерно непрерывна на Е. Теорема доказана. Мы видели выше, что на отрезке 10, 11 иг(Ь; х') = 26 — 6«, поэтому )цп ог(6; х')=0 6 +о и, следовательно, функция ха равномерно непрерывна на этом отрезке, как и должно быть согласно теореме 5. Модуль непрерывности той же функции х", но уже рассматриваемой на всей веществен- 11 ной оси, так же как и модули непрерывности «о~б; з(п — ?г, х ~ О, х?« !т и ог(6; -р 0 ( х ( 1, нестремятсн к нулю при 6-и+ О, и потому все эти функции не являются равномерно непрерывными на соответствукгщнх множествах.
Введем теперь еще некоторые цонития, полезные для дальнейшего. Определение 11. Пусть Е с: Е". Великана с! =- знр р(х', л") «'егг. « "е ь называется диамепгром мнозкеспгвп Е и обозначатся г?(Е). У п р а >к и е и и к. й. Пусть Оь — и-керима игар с и«паром а некоторой точке хфг и радиусом г: Он =. 0(хгог, гд тогда в(Оп) =- 2г. а, Доказать, что множество Е~ Ен ограничено тогда и годько тогда, когда гг(Е)< + о«. Определение 12. ??успгь гр??нкцггн ? опрвг)елена на множестве Е, июггба величина со(с((Е); ?: Е) называется колвбанггем г)г!?нкг(ии ? на множеыпве Е и обозначается ог(?; Е) н,та проспю ог(?). Очевидно, что в силу (19.!5) ог ?; Е)=- зцр (?(х") — ?(х')).
«'е гд «" ее Заключительное замечание. Из сказанного в этом параграфе следует, в частности, что в ряде вопросов, относящихся гдзь Частные араизаадные и наехно|е дифференниалы к функци|ьм лнюгих переменных, Всю их специфику можно В достаточной мере усмотреть уже в двумерном или трехмерном случае. Ьлагодаря удачно выбранным определенинм и обозначщшям доказательства теорел| автоматически переносятся со случая и =- 2 на ПРОИЗВОЛЬНЫЙ П-МЕрНЫИ СЛуЧай, ИНОГда ЛИШЬ Нрнаадя |1 НснОтО- рому техническому усложнению записи.
Случай >ке и =- 2 имеет преимущество геол|етрической наглядности и более простой оаинси, когда в ней участвуют координаты точек. Поэтому для большей ясности и простоты изложения мы, как правило, будем подробно рассматривать лишь случаи и = 2 нли и = 3, а в случае произвольного и — лишь формулировать соответствующие результат(>1 или даже только отмечать возможность вх обобщения на случай произвольного и. Если же ири рассмотрении какого-либо вопроса ири и ) 3 возникают какие-либо специфические трудности, то этот вонрос будет детально рассматриваться в общем случае.
й го. чАстные ИРОизводные. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 20.1. Частные производные и частные дифференциалы Рассмотрим сначала случай функций трех переменных. Определение 1. Пдс>пь в некоторой окрес|пноспш точки (хео уо, го) задана фйнкция и = и(х, у, г). Фиксирй>1 переменные у и г так, что у = у„г = г|н волочим функцию одного переменного х: и= и(х, у„г„). Обычная производния (см. и. 9.1) мной фйнкции в точке х = х, называется частной п>эоллэводной функции и(х„у, г) в точке (хо, уо, г,) по х и обозначив>пся Таким образом, ди(хо, уо, >о) ди(х, уо хоЦ дх йх аи Если вспол|нить определение обычной производной (см. и.
9.1). то, согласно этому определению, можно написа|ь ди(хо,уо ео) 1. и(хо+Ах, у|нее) — а(хо уо >о) — = 1!п| дх Л -,о Лх или, если внести обозначение и (ХО+ (Лх, УО, га) — -и (ХО, УО, га) = Гони й гд Чиетнне ироигооднне. Пиффереинируел(осто (Ь„и — прира<цение фугнсции по переменной х), ди .
Л и — = !пп —. дх ах-о (>х Аналогично вводятся частные производные по у и г: ди(хо Уо го) ди(хо у го)) "У ду )т-уо ди (хо, уо, го) ди (хо, уо, г) ~ дг дг ее= оо или ди Ьти ди . Л и — =И>п —, —,= Ип>— ду,Ь-о Лу '>г д -о дг где Ьуи и А,и — прира(пении функции соответственно по переменным у и г. По аналогии с функциями одного переменного линейные д ди ди функции — дх, — ду, — дг переменных дх, ду, ((г, называемых дх 'ду ' дг дн(р()>еренциалали( незавиеилых лереленных, пазы за(отея част- ныли дифференциалали функции и (х, у, г) соотнегственио по переменным х, у, г и обозначаются ди ди ди д и = — ((к, д и= — ((у, ((ои= — ((г.
Аналогичные определения имеют место для любого числа пе- ременных. Если функция у=-у(х„..., х ) определена в некоторой окрест- ности точки х<о> = (х( >), то, по определению, д) ге<о> х<о>Ъ д) Гх<о> (о> х х(о> <О>11 дх дх( (о> ' л =л' или, что то >ке, опуская обозначение аргумента, ду х.у — „= !нп — * где Лх у=)Ь>, ..., х( >, х, +Ах>, х,+>, ..., х„)— т <о> (о> <о> <о> <о>ъ — у(х(>о>, ..., хЫ, к((о>, х((о+», ..., х(").
Для обозначения частной производнон — применяются такду дхг тке обозначения у„или („. ?0.Д Уистиав производные и частные дисКереитеиилы Чаетпньсй дне)тференцпал с1, у определяется по формуле т у= д,' "х; — (с)хт(+со ду т 120.2) и тем самым является линейной функцией переменной с)хь называемой ди44еренцпалом независимой переменной хь Здесь везде 1 = = 1, 2, ..., а. В случае п = 1 частная производная совпадает с обычной производной, а частный дифференциал — с обычным дифференциалом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
