Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Для аюго чтобы иоследоаасиельность хом = = (х!~ао, ..., хо"') ~ Е'", и = 1, 2, ..., сходилась и точке х=(хх, ..., х„) ~ Е", необходсало и достаточно, чтобы 1пп х)"о=хи 1=1, 2, ..., и. (18.14) Док а зательство. Докажем необходих1ост.ь условия (18.14). Пусть йш х<ео=х. Зафиксируем произвольное е)0; тогда, сог- Н > ласно (18.13), существует такое т , что х(ач (- Р (х; е) при всех т)~те, т. е. ~ хс — х,1(е для любого с=1, 2, ..., и и при т)~те, а это и означает, что !!ш х) '= — хн т=1, 2,..., и. ю-~ л Докажем доста~очнссть условия (18.14). Пусть 1!пух)"о=хи ФИ ! =1, 2, ..., и, и Р (х; е„..., е„) — заданная прямоугольная окрестность точки х.
Тогда для каждого е;)О, 1=1, 2, ..., и, существует такой номер т;=т,. (е;), что для всех т,- т, выполняется неравенство (х) ' — х,!(еи с=1, 2, ..., и. (18.15) Обозначим через та наибольший из номеров т,, ..., т„: т, == шах (т„..., т„), тогда при т>то и всех с=1, 2, ..., и будет выполнено усло- вие (18.15) и, следовательно (см. (18.7)), при т)~то будем иметь х<"и ~ Р(х; е,„..., е„), что и означает, согласно (18.13), что 1!щ хыо = х. (! 8.16) 1н Теорема докааана. Из теоремы 1 и свойств пределов числовых последовательностей следует, по если последовательность точек имеет предел, то он единствеи, и что всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и вся последовательность. У и р а ж н е н н е 1. Сформулировать н доказать необходньюе н достатошюс условие сходнностн оослсдовательностн точек пространства Еа, аналогнчное критерию Коши длн числовых носледовательноссей, Э И Мнпмества па плоскости и в пространстве Определение 9.
Множеспив Е~Ен называется ограниченным, если существует и-мерный куб Р(0; а) с центролт в начале координтп О, такой, что Ег:.Р(0; а). Аналогично лемме 2 доказывается, что, каков бы ни был шар 0(х; е), существует куб Р(х; б), такой, что Р(х; Ь):зО(х; е), и обратно: каков бы пи был куб Р(х; 6), существует шар 0(х; е), такой, что 0(х; е);зР(х; б). Отсюда следует, что можтю дать еще одно эквивалентное предыдущему определение ограниченного множества.
Определение 9'. Множестпва Е~ Е" называется ограниченным, если сущеппвует п-мерный итар 0(0; ь), такой, что Ес:.0(0; е). Определение 1О. Последоватпельность точек х' ! ~ Е' т = 1, 2,..., называется ограниченной, если множество ев значений образует ограниченное множество в ттростпранспттм Е". Если последовательность хт ' = (х)"о), т = 1, 2,..., сходится, то она ограничена, ибо каждая нз коордзшатпых последовательностей х';н", т =-1, 2, ..., с — Фиксировано(1= 1, 2, ..., и), в этом случае также сходится и, значит, ограничена. Теорема 2.
Из любой ограниченной последовательноспш точек пространства Е" можно выделить сходящуюся подпоследоватпельность. Эта теорема, как и в одномерном случае, обычно называется, теоремой Больцано — Вейерштрасса. Доказательство. Пусть задана ограниченная последоеательность точек хин1=(х,""'), тп=1, 2, ..., пространства. Очевидно, что каждая из и последовательностей (х,' '), с = 1, 2, ..., и, также ограничена. Поэтому, согласно теореме Больцапо — Ведерштрасса (см. п. 3.2), последовательность (х(но) содержит сходящуюся подпоследовательность; пусть это будет последовательность х', л ~, й = 1, 2,.... Последовательность (х~~ е т), как подпоследовательнссть последовательности (х3ею), также ограничена и, значит, содержит сходящуюся подпсследовательность. Пусть это будет последовательность х( '1, й = 1, 2,....
Последовательность (х('",'*1), как подпсследовательнссть сходящейся последовательности (х('"," 1), очевидно, также будет сходящейся. Продолжая этот процесс дальше, через и шагов получим п сходящихся последовательностей (хт'плн'), с=1, 2, ..., и, каждая из которых является подпоследовательностью, соответственно последовательности (х,'"ч). Тогда, согласно теореме 1, последовательность точек ( х(ечч)] пространства Е" будет также сходящейся. 257 18.2 Различные пюи лгнолееете 18.2. Различные типы множеств Настонщий пункт по своему содержанию н по своей форме отличается от остальных: в нем имеется 17 определений, много ут- верждений, семь из которых названы леммамн, и ни одной теоремы.
Это связано с тем, что здесь будут рассмотрены вопроси, вспомо- гательные для дальнейшего изложения математического анализа, связанные с геометрией и -мерного пространства, Определение 11. 7)усть Š— некоторое лгножеапво точек ев- клидова пространства Е". Точка х ~ Е наэаваеокя внутренней гпоч- кой этого множества, если существует е-окрестность втой пгочки, содержаи(аяся в множеспгве Е, т. е. суи(ествуеггг такое е ) О, опо 0(х; е)г:Е. Определение 12. Множество точек пространство Е", кажотч точка кото- Г рого является внутренней точкой этого множеспгва, называется открытым мно- г жест волг. I Важный класс открытых множеств ) устанавливается следующей леммой.
Лемма 1. Всякая е-окрестность ! 0(х; е) любой точки х ~ Е" является открытым множеспгволг. г' Дои аз ател ьство. Пусть задана некоторая окрестность 0(х, е) и пусть у ~ 0(х; е). Положим б =е — р(у, х) (18.17) и ггокажеы, что 0(у; 6)с:0(х; е) (рис. 68). Если г ~ О(у; 6) и, значит, р(г, у) ( б, то, применяя неравенство треугольника и (18.!7), получим р(г, х) < р(г, у)+р(у, х)(6+р(у, х)=е, т. е. г ~ 0(х; е). В силу того, что г — произвольная точка множества 0(у; 6), это означает, что 0(у; 6)с:0(х; е). Лемма доказана.
Открытые множества пространства Е" будем обозначать большей частью буквой О. Очень удобным оказывается следующее определение. Определение 13. Всякое открыпгое лгножество, содержащее точку х называется ее окрестноппью и обозначается О(х). 3 а и е ч а и и е. При таком определении сохраняется свойство (18,12), т. е. точка х является пределом последонателыюсти (хге'г) гзв Э тв. Множества на плоскости а в пространстве тогда и только тогда, когда для любой окрестности 0(х) существует такой номер тр, что для всех т ~ т выполняется включение хою ~ О (х). Определение 14. Точка х с Е" называется точкой прикосновения множества Е~Г, если любая окрестность этой точки содержит по крайней мере одну пючку множества Е.
Очевидно, что каждая точка множества Е является его точкой прикосновения, ибо всякая окрестность точки х ~~ Е содержит саму точку х. Определение 15. Если у точки хГс Е существует окрестность, не содерзсащая никаких других точек множвспаа Е, кроме самой точки х, то эта точка называется изолированной точкой множества Е. Определение 16. Точка хС Ен назьюагттся предельной точкой лсножества Е, если любая окреапность точки х содержит тю крайней л~ере одну точку лсножеспэю Е, отличную отп х.
Очевидно, что предельная точка является точкой прикосновения. С другой стороны, всякая точка прикосновения множества Е является либо его изолированной точкой, либо его предельной точкой (в последнем случае опа может как принадлежать, так и пе принадлежать самому множеству). Рассмотрим и р и и е р ы. Пусть и = 1, Е =- (О; 1), каждая точка отрезка [О; П является точкой прикосновения и предельной точкой множества Е, при этом точки 0 и 1 не принадлежат самому множеству Е.
Если Е =- [О; П, то множество точек прикосновения множества Е совпадает с самим множеством. Наконец, если множество Е состоит из интервала (О; 1) п точки 2, т. е. Е= (О; 1) ~т(2), то точка 2 является его изолированной точкой, а множество его точек прикосновения образует множество [О; П (2). Определение 17. Совокупность всех точек прикосновения лсноже ство Ес Е' назьюается зал~ыканием лсножества Е и обозначается Е. Как уже отмечалось, каждая точка множества Е является его точкой прикосновения, поэтому Е ~ Е.
(18.18) Определение 18. Множество Е назыатется зськкнуптылк если Е = Е, т. е. если оно содержит в себе все сюи точки прикосновения. Например, прн и = 1 интервал (О; 1) не является замкнутым множеством, а отрезок [О; П вЂ” замкнутое множество. Все пространство и пустое многкество являются одновременно замкнутыми и открытыми множествами (проверьте это). Лемма 2. Замыкание всякого множества является замкнупгым множеством. И2. Различные тини л!иожеетв Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Š— замыкание множества Ег: Е". Согласно определению замкнутого множества, надо показать, что множество Е сош!адаег со своим замыканием, т. е., что Е=Е. Так как, согласно (18.18), Е~ Е, то достаточно показать, что является открытым множеством (см.
лемму 1), поэтому его часто называют также и-мерным открытиыл! шаролт, Множество же к е"=( =(.,т!: ь !,— г "). т=! (18.21) являющееся замыканием открытого шара 0", называется и-мерным замкнутым шаром. В случае и=2: Я' — открытый круг, Оз — залжнутый круг; в случае и = 1: О! — интервал, О! — отрезок, Замкнутый шар Ок получается из открытого шара Я добавлением к нему множества л х = (х!) ! ~~, (х, — а,)' =- г', т=! называемого (и — 1)-мерной с!рерой ради!!са г с центром е и!очке а-... (а,), Иы ее будем обозначать 8" ''. В случае и — 2: Б' — окруж. ность; в случае и =1: Ео — пара точек. ЕсЕ, (18. 19) иначе говоря, надо доказать, что если некоторая точка х~~ Е, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
