Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Если теперь на кривой Г в качестве параметра взята переменная алина дуги з: Г = (г(з); 0-. з - 5, ), то, согласно (16.17), д» ду, и — — -- соз а, - -. —. соз [) - - з(п а, а -[. [1 - = — ', (16.20) дг д«о 233 (Б Б Фоэккегкад глмгл огоозоодкой лектор-фдкклио где (рис. 56) гг — угол„ образованный касательной с осью Ох, а р— с осью Оу. Отметим, что эти формулы могу1 быть получены применением к «криволинейному прямоугольннкуа М„МР (см.
рис. 55) формул, выражающих синус и косинус углов обычного прямоугольного треугольника через его ка~еты и гнпотенузу, считая, как и выше, стороны указанного ктре- Рпг. ББ угольникак М„МР равными соотвьчствеино г!х, г(у, с!к Подобное обстоятельство имеет место н для пространственных формул (16.17). Такой метод получения формул (!6.17) и (16,20) является, конечно, необоснованным, однако он облегчает их аапоминанне.
16.5. Физ)аческий смысл производной вектор-функции Пусть теперь годограф Г непрерывно дифференцируемой зектор-функции Р(!) есть траектория движущейся материальной точки, а параметр ! — время движения. Обозначим переменнуюдлииу туги, отсчитываемую от некоторой начальной точки г(!о), через ; = 3(!). Пусть ! > 1„полагая Лз = Б(1+ Л!) — 3(!) „согласно (16. П), пол) чим Бг г. е.
длина вектора — совпадает с величиной скорости в рассматги Бб хчваемой точке(см. и. 9г4); сам же вектор ,-—, как мы знаем (см. йг и 16.2), направлен по касательной. Вектор — называется в зтом и! ;лучае скоростью движения в данной точке и обозначается сп 23Я /7. Крввизнп привоя й ГХ КРИВИЗНА КРИВОЙ 17.1. Две леммы. Радиальная и трансверсальная составляющие скорости Лемма 1. Пусть векпир-функция г(/), определенная на отрезке [а, Ы, в точке /ь ~ [а, Ы имеет производную г'(/„). Тогда, если длина вектора г(/) посгпоянна на [а, Ь), т. е.
[г(/)! = с для всех /~ [а, Ы, то вектор г'(/ь) ортогонален вектору /'(/ ), т. е. /" (/ь)г(/„) =О. (17.1) Доказательство. По условию [г(/)!' = се, отсюда и /'(/) =-се для всех /(-!а, Ы. Вычисляя производную функции г'(/) в точке /„ получим (см. п. 15.2) 2г (/„) г' (/ ) = О, откуда и следует (17.1) Лемма доказана, гризнческая иптерпретапия этой леммы состоит в том, что у ма- териальной точки, движущейся так, что она все время остается на поверхности сферы, ее скорость направлена по касательной к этой сфере и, следовательно, перпендикулярна радиус-вектору.
Пусть теперь вектор-функция г(/) определена на отрезке [а, Ы, /, ~ [а, Ы, /, + б/< [а, Ы н /ир — угол между векторами г(/) и г(/„+и/). Будем считать, что /Нр> О при Л/) О и Л/ <О при б/(О. Так//и образом, всегда — > О. ьч А/ Определение 1. Предел йш —,' если он ау/ирс/г/кует, назиласп/ся лч. м„е а/' скорое/пью вращения вектор. функ//ии г(О в и/очке /, и обозначается ы(/ь, г).
Лемма 2. Пусть век/пор-функция г(О определена на отрезке [а, Ы и пусть [/'(/) ! = 1 г)ля всех / ~ [а, Ы. Тогда, если в точке / г- [а, б! существуеп/ производная г'(/„), то в /тик) точке ст/и/есп/вует иско- рос~//ь вращения гь = ы(/гв г) рассматриваел/ой вектор-функ////и и Доказательство. Пусть /ь( [а, Ы, /, + /1/„~ [а, Ы, /1/„=7-0, й =- 1, 2, ..., !!и б/„= О и пусть /угр„— угол между векторами г(/,) и г(/„+ б/ь). Последовательность (/1/ь) разобьем на две части (одна из которых может оказаться пустой), отнеся к первой из них все такие б//, для которых /1/рх = О, а ко второй все остальные> т.
е. такие б/ь, для которых бгрь+ О. Перенумеровав элементы этих частей в порядке возрастания их индексов в последователь- язв 17.1 Две леммм г (Г, + ЛС„') — г И,! г (Со)= Иш, =-О. о-~ лс,' Итак, Ип1 лт )г (Со)! лс в (! 7.2) Рассмотрим теперь последователю|ос гь ', 1 "о). )г(1о)!=)г(1,+ЛС ))=(, то ! г(1о) хг(Со+ ЛС,) ~ =) г(Со) )! г(Со+ ЛС;)!! з(п Л р,) = В силу непрерывности фугпгции г(1) имеем Используя это, получим Поскольку ! 5)г1 Ля~о(.
)пилар =О. А лгр,, ) йр," ~ . ! лр„" 1 ) м,лц„ (пп —. = Иш ~ —. ~ =- Игп — —. Иш о ЛС, о ~~ Л!о 1 о о!паоро в ~ ЛГе ~ г Оо) х «(го+ лев) ~ = Иш (лр! (! 7.3) Но г (1о+ Л1) = г (1„) + г' (Со) ЛС + в (Л1) ЛС, где (! п1 ! е (ЛС) ! = О. Подл~-о ставляя это выражение в ((7.3) и замечая, что г(1о)хг(1о)=-0 и что Иш!г(1 )хе(ЛС))=-0, получим лс-о )(ш — „=)г(1,)хг'(Со)! =-)г(С,)))г'(Со)) м)п(гг'). е о лг В силу леммы (, г(1о)г'(Со)=)г((о))!г'(С )!созгг'.=О, поскольку (ю (1,))= (, то либо г'(1„)=0, либо угол гг' между векторами г(1о) и г'(Со) равен — "; в обоих случаях 2 ! г(1„) х г'(С,) ) =- / г (1,) ). ности (ЛС ), получим, вообгпе говоря, две последовательности (ЛСо) и (ЛСв).
Если хоть одна из указанных частей содержит лишь конечное число элементон, то ее исключим из дальнейшего рассхютрения. 1(ля последовательности (ЛС;,) из условия Л~р' =-0 следует, вс лр» первых, что Ип1 — =О, а во вторых, прп условии (г(1,+ ЛСо)) = о=-)г(1о)(, что г(Со+ЛС;)=-г(Со). Отсюда в свою очередь имеем 4 )7. Кроооона кроооа аза Такпл~ образом, 1!п1 — о = ! г' (!о) !. о.,о а), (17 4) Из (17.2) и (17.4) для всей исходной последовательности (Л)о) имеем 1пп — =)г ((о)! о, а)о и так как последовательность (Лгл) была произвольная, то 1пп — т ===)г'(Го)!. Ы о Лемма доказана.
3 а м е ч а н и е. Используя лемму 1, можно легко получить разложение производной вектор-функции на две ортогональные составляющие: в направлении вектораг()) (рог)вольная соспгааллюлйал) и в перпендикулярном направлении (лгрансоерсальнпн соотпполлющия). 1!усть вектор-фушсцпя г(!) определена в некоторой окрестности точки (о, г(() ='- О, и существует производная г'((о), 1!оложим го (У) = ' — — —, очевидно, ! го (К) ! =: 1.
В точке (о суп)всю ауег г !!) ! г (!) ! производнан — — — — )~ г' =:- — =.: гог', о!г! о) — о гг' л! щ )г! Лоо а значит, в точке ( супиютвует и производная - —, которая, о л! согласно лемл1е 1, ортогональна вектору го(Ф,), а значит, ~ вектору г((о). Дифференцируя равенство г(1) =-. /г(У)!го(!) в точке )о, полу- чим — го+)л ! = — (гог )го+(г! . (17 й) ои сУ кп Л! Это и есть искомое разложение. В случае, если годограф вектор-функции г(!) является траекторией движущейся материалщюй точки, то формула (17.6) даеч разложение ее скорости на составлшогцую поступательного движения (радиальная составляющая) и составляющую вр ащательного движения (трансверсальная составляющая).
77.2 Определение каоввзны кривой и ее вычисление 17.2. Определение кривизны кривой и ее вычисление Пусть Г = (г(з); О < з < Ь) — дпфференцируемая спрямляемая кривая, з — переменная длина дуги, О < з, < 5 н Лз=в ч» Определение 2. Пусть Ла — угол лсежду касательными кривой ~ аа! Г в тачкак г(зо) и г(во + Лз). Если суи(есгпвует предел !пп — ~, то а~-о ~ ав он называетсл кривизной кривой Г в точке г(!о) и обозна<ветел ?с =- й(7о) 1=1!т ~ — ~. ог Пусть теперь 7 = —,. Вектор 2 является единичным вектором, направленным по касательной (см.
п. 16.3). Согласно <тределению, кривизна есть скорость вращения (см. п. 1?.1) вектор-функции 2 = 1(з)." )с.=-о>(ьо г). В силу леммы 2 п. 17.1 отс!ода получаем (17.6) Определение 3. Величина, обратнал к кривизне, называетсн ра- ! диусон кривизны в данной гг!очке и обссзначаетел гс, так чпш лт = —,.
Пусть à — окружность радиуса Р,. В этом случае угол Ла между касательным ранен углу, образованному радиусами точек касания (рпс. 6?), йа 71а! ! а Лз =- КЛси. Г!оэтому ~-- ~ = —. к, ~ й' в и ав По определсчшю же кривизны для окружности имеем ~Ла) 1 Таким образом, в случае окружности ее кривизна /с постоянна (не за- рос. Д7 висит от точки) и равна обратной величине радиуса; радиус же кривизны окружности равен ее радиусу. Отсюда и произошел термин <радиус кривизны». Достаточные условия су!цествовання кривизны в данной точке и метод ее вычисления даются следующей теоремой.
/7д Главная карл«аль. Саяр««васою«««аг«сл аласкаггь где «', у' и й — единичные векторы соответственно в напоавленпи «сей Ох, Оу, Ог), получим ~ г' х г" ~ = уг(у'г" — у"г')'+(г х" — гх)'+(ху" — ху)', (!7.! 1) другой стороны, )г'( =- )Гх' +у' +г'; (17. 12) подставляя (17.11) и (17.12) в (17.7), мы и получим ««скол«ое выра- к«ение. 17.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость Вектор г — единичный, позтому вектор и перпендикулярен (см.
п. 17.1) вектору Формула(17.13) называется Г!«орл«улой Френео«. 8 Определение 4. Всякая прял«ая, проходяцая через н«очку кривой и перпендикулярная с касательной о заи«й точке, назь«еаегпся чормалыо и кривой е данной точке. Норлсаль рис. я 'с кр««ес««1, г«арс«ллельна««нектару и, нича«лаегпся "лпаной норлгалью. Вектор главной нормали и с точностью до бесконечно малых долее высокого порядка, чем Лз«, указывает направление, в кагором кривая в окрестности данной точки отклоняется от своей касательной (рис. 58).
Действительно, выбирая на кривой в ка«естве параметра перел«енную длину дуги з, согласно формуле Тейпора для вектор-функции (см. п. 15.2), будем иметь Лг «г (з + Лз) — г (з ) = — ' Лз + — ' Лз + о (Лзо), с«г (во] ! с««г !во) — ° о о— 2 лр «ли, замечая, что ««г грг — =-г, — =йи, с«в ««в« (17. 14) ««Ж. Фро««е (!80! — !880) — фроипузский математик. Обозначим через и единичный вектор в направлении век- ««Г ««г гора —, где с = — — единичный касательный вектор к рассл«атри- с«в' ««в лаех«ой криьпй. Из формулы (17.6) следует, что вектор и опредепен лишь для тех точек, в которых кривизна 1~=0, и что в этих точках — = ки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
