Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Задача 8 (зесрсма Жердина). Доказать, по всякий простой контур ка плоскости разбивке< плоское<ь падве области (ограниченную н неограничен. ную); зтс означает, вп-первых, чтп еп являетси границей каждой из ззнх п«<пастей, ве-вторых, пе никакие две <очки, принадлежа<кис различным указанным областям, нельзя соединить крнвси, не пересекающей данный контур. Рисса<озрик< ориеитировацпую кривую Г =- (г = 1(1); а<1<(<) Пугль задана век<лоран функция ! == !(т), а;т с,.р, строго ьюио. топи<< возрастающая и пепрерывиви иа отрезке (а, й); причем Е(а) =- а, !(()) == (<, тогда вектор-фупкш<я р(т) == г(1(т)), а <' т.<. () с ппается по определению зак>ке представлением ориептироваииой кривой Г.
Отметим, что обратный переход от представлеиия р(т) к п едставлеиию г(1) осуществляется также с помощь<о строго 2!8 й !б. Плинп дуги кривой монотонно возрастжощей и непрерывной на отрезке (а, И функции т =- т(!), являющейся обратной к функции ! = 1(т) (см. п. 6.3). Функция ! = !(т), а-'..т -р, называется преобразованием пара- метра. В зависимости от рассматриваемых вопросов на нее накла- дываются различные дополнительные условия, причем всегда таким образом, чтобы они выполнялись и для обратной функции. Напри- мер, условие дифференцируемости и необращения в ноль производ- ной, непрерывной днфференцируемости и необращения в ноль про- изводной,дважды непрерывной дифференцируемостн и необращения в ноль первой производной и т.
п. Такие преобразования парамет- ра называются допустил(ызш г(реобрпз(каниями. Например, чтобы нз непрерывной дифференцируемости представ- ления «(!) кривой Г следовала непрерывная дифференцируемость другого ее представления р(т), и обратно, естественно потребо- вать, чтобы преобразование параметра ! =- !(т) было непрерывно дифференцируемо н чтобы его производная не обра(цалась в ноль, Пусть теперь задан некоторын класс допустимых преобразова- ний параметра.
Две вектор-функции, получающиеся одна из другой с помощью допустимого преобразования параметра, называются экг«иевлев!иными. Очевидно, в силу нашего соглашения эквивалент- ные вектор-функции явлгпотся представлениями одной и той же кривой (при заданном классе допустимых преобразований пара- метра). Таким образом, окончательно приходим к следующему опреде- лению. Определение Г. Кр(«впя — этп геометрическое меапо точек прострпнстпвп плюс спог((ветсггищюи(ий клпсс егв эквивал«ччтныл пред- стпвлгнийч'. Люгое из представлений кривой полностью определяет весь класс эквивалентных ее представлений (всегда предполагается, что условия при которых вектор-фупкпии счита(отея эквивалентными, заданы), а значит, саму кривую Г, поэтому по-прежнему будем писать Г = («(!); и с! <((), илн Г = [«(!)), где «(!) — какое-либо из векторных представлений кривой Г.
Будем также иногда пи- сать Г =-= [г (!); а с!<1~)„или Г =- (г(1)), где г(!) — некоторое пред- щавление кривой Г, т. е. непрерывное отображение отрезка (а, 1() в пространство Если р(т); а .< т к (3 и г(1), а .. 1 <Ь, — два представления кривой Г, 1 =-- !(т), а .. т : р, — допустимое преобразование па- Р « ~ Р «« "" г, Р(ч( .«„« *. р «« множество точек кривой («геол(етрнческое нссто точскъ) нграет нодчнненнукт роль н его беэ ун(ерба можно отбросить, онределнв крввую просто как класс соответствующая эквввалентник вектор-функннй. йуы этого не сделали для Г(ольюсй гсонетрнчесгой ваглядностн, 1В.
К Понятие кжиюй г(1,), естественно, сч>лаются одной и той же точкой кривой Г топ да и только тогда, когда т„=- т(1,). Если на представление кривой и на допустимые преобразо. ванна параметра накладывать те или иные ограничения, то будем получать различные классы кривых. Определение 5. Кривая Г =- (г(1)) низывается (непрерывно) дифференцируемой, если ее векпюрное предспшвление п(1) — (непрерьие но) дифференцируемая функция, а допустсикыл>и преобразованиями пароме>яра яе«яюепся (непрерывно) дифференцируемь>е преобразования с не обращающейся в ноль производной. Аналогично определяются и раз (пепрерывно) дифференцируе. мые кривые при п.л ). Указанный подход к понятию кривой естествен с точки зре.
ния физической интерпретации кривой как траектории материаль. ной точки: положение движущейся мгпериальной точки на ее тра. ектории можно задавать, пользуясь различными параметрами, например, временем движения, длиной пройденного пути и т. п. П р и м е р. В силу нашего определения кривые х=-соз1, у=з)п1, 0(1(2п, х=соз1, у= — з)п1, 0 <1(4п, явля>отея различными, хотя носители их совпадают: они представ лают собой одну и ту же окружность х' + у' = ). В первом случае эта окружность «проходится» один раз, во втором — дважды. Представления же х = соз 1, у =.
ып 1, х=) 'с (2 — т), у=т — 1, 0<с(2, задают одну и ту же кривую, если допустимыми преобразованиями параметра считаются все непрерывные строго монотонно возрастаю. щие преобразования. Действительно, фучжция т = ) + ып 1 непрерывна, строго монотонно возрастает на отрезке ~ — "- — "1 и 2' 2) переводит одно представления в другое. Множествах> точек кривой, т, е. ее носителем, является в этом случае полуокру>кность х'+ у' = ), х > О. Определение 6. 11уыпь задана кривая Г = (г(1), а-.с<Ь), причем и качссп>ве класса допустилиех преобразований паралытра вз>ии к >асс ыпро 'о монотонно возраспииои(их непрерывных функций.
220 16. 7<линп дуги криаьй Пус«вь 1 =- !(т) — спгрого лгонотонно убывагои<ая и негг!гермвния на опгрезке (а, (<) функция, причелг 1(а) = Ь, 1((<) = а. Кривая, определяемая предсгггавлением г =- г(1(т)), а < т < (<, назгхвае«ггся кривой ориенпшрованной ггро«гшвополозкно крив«гг! Г и обозначаглпся — Г. Если т С (а, (<! н г, = 1(т„), то точки «(1„) и «(1(ть)) соответственно кривых ! и — Г называготся соответствую<цнии друг лругу.
Одна точка кривой Г предшествует лругой точке этой кривой тогда и только тогла, когда точка кривой — Г, соответспгуклпая первой гочке, следует за гочкой, соответствующей второй. Зтггы оправдывается термин тггротггеогголожно ориентированная кривая». Подобным же образом опрелеляются пргпквоположпо орггеггтггрованные кривые и прн других до<густиных преобразованиях параметра. Если г(!), а<!«Ь, — представление кривой Г, то г(а + Ь вЂ” т), а < т < Ь, является представлением противопологкпо ориентированной кривой — Г, нбо функция 1 = а + Ь вЂ” т, а-,т-<Ь, строго монотонно убывает. В заключение сформулируем еще несколько полезных лля дальнейшего определений.
Опрехеление 7. Пусть задана кривая Г=(г(!); а ..1-.. Ь). Если (а', Ь'!с:(а, Ц, пго кривая Г'=(г(1); а' <! < Ь') назглвается частью красой Г (или ее дугой) и пигиегпся Г'с:Г, Если 1»~(а, Ь), Г,=(г(1), а <1<1„), Г;-=(г(1), 1, <! <Ьгг; то кривая Г называется суммой кривых Г, и Г, и пишегися Г=Г, Г,. Аналогично определяется сумма конечного числа кривых. Определение 8. Пуспгь Г = (г(1); а <1.< Ь) — плоская крагюц располозхенная на плоскоспш х, у. Если суи<ествует неггрергвгна«г функг<ггя Е(х, у), такая, что геолгетрическое место точек (х, у), удовлетворяющих условию г" (х, у)=0, (16.1) совпадаепг с носигпелелг кривой Г, то говоряпг, что уравнение (16.1) является неявным представлением кривой Г.
Следует, однако, иметь в виду, что, вообще говоря, геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению вида (16.1), где Р(х, у) — некоторая непрерывная функция, не является множеством точек какой-либо кривой в вьппеопределснном смысле. Например, геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению (х+у)('+у» — !)=-6, представляет собой окружность х' + у' = 1 и точку (О; 0).
Можно показать, что это множество не является непрерывным образом отрезка. 22! 16.2. Косо«ел»ноя к кривой Пакоиец, отметим, что множество точек кривой всегда ограничено, т. е. лежит в некотором шаре; это следует из того, что функции координатного представления кривой, согласно теореме Больцгцо — Вейерштрасса, ограничены в сииу их непрерывности. Вместе с тем уже в элементарной математике встречаются неограниченные кривые, к таковым относятся, например, прямая, парабола, гипербола, синусоида, график 1а х и т. и.
Чтобы охватить и такие «кривыеа, можно определить класс так называемых «открытых кривыха по схеме, подобной вышеприведенной, в которой за основу взята непрерывная вектор-функция, определенная уже на интервале, а не на отрезке, как это было сделано выше. Открытые кривые, в частности, могут быть и неограниченными. Подробное и точное формулирование всех этих понятий предоставляется проделать учащемуся по мере потребности. 16.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
