Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 36
Текст из файла (страница 36)
и. 11.2), получим 1(х) — / (х)— /' (Ч» (х„— х» (х — хд» вЂ” /' (г» (х — х1» (х„— х» 1/' (ч» — /' (й»1(хк — х» (х — х» х — х, где х,(5(х(т»(хл. Снова применил~ теореллу Лагранжа: /" (ь» (хл — х» (х — хд» (1» — ч» хк — х, Отсюда видно, что если /" < О на (а, Ь), то, в частности, /"(ь) < О, и потому /(х) < /(х), т. е. функция / строго выпукла вверх; если же /" > О на (а, Ь), то 1(х) ) /(х), т. е. функция / выпукла вниз.
Теорема доказана. Условие знакопостоянства второй производной, являясь достаточным условием строгой выпуклости (вверх или вниз), не является вместе с тем необходимым. Так, функция у = х' строго выпукла вниз на всей числовой примой, однако ее вторая производная у" =- 12х' обращается в ноль при х = О. П р и м е р ы. 1. у = хл; у" = бх. Очевидно, что у" < О для х О и у" ) О для х) О. Поэтому на бесконечном интервале ( — оо, О) функция у = хл строго выпукла вверх, на бесконечном интервале (О, +оо) функция у = х' строго выпукла вниз, а точка х„являясь одновременным концом интервала выпуклости вверх н выпуклости вниз, является точкой перегиба.
ИЛ. Выпуклопь и гочки перегиба 19Э 3, э 2. 1(х)= ~/ха; с"(х)= — . Здесь с"(х)к, О для всех хтьО. 9,'/ хз Значит, бесконечные интервалы ( — оо, 0) и (О, + оо) являются интервалами строгой выпуклости вверх. Вместе с тем при любом с+0 =г" ( ):>0=1'(О), поэтому точка х = 0 не принадлежит никакому интервалу выпукности вверх (интервалов выпуклости вниз просто нет), по н нс явпяется точкой перегиба (рис. 39). Упражнения. 5. Доказать,чтоточках= 0 для функции у= хми ие принадлежит ни- 1 х каким интервалам выпуклости внерх или вниз н не является нк концами, 6.
Доказатсь что у = х' строю выпукла вниз на всей числовой оси. Теорема 6 (необходимое условие точки перегиба). Рис. Зу ссусть функция г определена и дважды непрерывно дифференцируема на интервале 1а, Ь), пюгда если точка хе~ (а, Ь) является точкой персгиба функции й то ) (ха) = О. Действительно, если бы с"(хе) < 0 (соответственно с"(хе) ) 0), то в силу непрерывности второй производной нашлась бы окрестность точки х„, в которой г"(х) ( 0 (ссютветственно с"(х) ) 0), и, значсп, согласно теореме 5, функция г была бы строго выпукла вверх (вниз) на этой окрестности, что противоречило тому, что х„является точкой перегиба, 3 а м е ч а н и е.
Подобно тому как все точки экстремума функции находятся среди точек, в которых либо производная функции равна нулю, либо не существует, так и все точки перегиба функции (дважды непрерывно дифференцируемой, кроме, быть может, конечного числа точек) находятся среди точек, в которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует. Теорема 7 (достаточные условия точки перегиба). Если функция 7 определена и дважды дифферснцссруема на итперии.
ле (а, Ь), кроме, бьипь может, точкгс хе ~ (а, Ь), в которой она, однако, непрерывна, и ее вторая производная л<сняесп знак сгри гггрсхгпй аргумента через псочку х, (т. е. суи(гспмуып Ь ) О, сгсакос, иполссбс 194 РЬ исследование поведения фунянии 0 прах,— б<х<хо и /"(х))0 при х,<х<х,+б, либо /" (х) .: 0 при хо — б < х < хо и /" (х) < 0 при хо < х < х, +Ь), то почка хо являепгся точкой перегиба функции. Действительно, в силу теоремы б в этом случае точка х, является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой выпуклости вниз, а значит. по опредепению — точкой перегиба. Мы видслп, что выпуклость вверх или вниз функции / зависит от знака ее второй производной.
Оказывается, что расположение графика дважды дифференцируемой функции относительно касательной также в определенном смысле связано со знаком второй производной. Теорема 8. Если функция / имеет г на ингпервп ге (а, Ь) вторую проггзводг ную, все значения которой имегот один и тот же знак (следовшпельно, интервал (а, Ь) является интервплом е а х а Ь х спгрогой выпуклости вверх или вниз), то, какова бы ни была точка х„( (а, Ь), есе точки грпфикп функцтг / на зпюгг интервале лежат одновременно либо над, либо под касшпельной, проведенной к грпфику в точке (хо, / (хо)) ггсклкягпзг, еспгесгивенно, сплгу огпу точку, которая лежит на графике Функцгги*г (рис. 40), Действительно, уравнение касательной в точке (хо, //хо)) имеет вид у = /' (хо) ( — х,)+ /(хо).
Обозначим правую часть этого уравнения через Е(х). Тогда /(х) — Е (х) =- (/(х) — /(х,)) — Г (хо) (х — х„) = = /' (й) (х — х,) — /' (х,)(х — х,) =- [/' ($) — /' (хо)) (х — х„), где а хо < Ь, а < х < Ь. а точка 5 лежит между точками х и х . Применяя еще раз теорему Лагранжа, но уже к приращению производной, получим / (х) — Е (х) = /" (з)) (5 — хо) (х — х,), 'г Если функция / определена и имеет одностороннюю производную в конце гппсрвзла а или Ь, то указанное свойство, как зто видно нз ннжеприводимото доказательства, выполняется и для касательной в точке (а, /(а)) (соответственно в точке (Ь, /(Ь))).
!4.З. Вьтрхлогть и тоти п«регион де точка т! лежит меясду точками 5 и х,. Поскольку прн х+ х ~сегда (в — х) (х — ха) > О, то для х+ хв /(х) — Е(х) ) О при /" ) О та(а, Ь) и //х) — ь(х) < О прн /' ( О на(а, Ь). Теорема 9. Лустпь /" (ха) = О, / (х„) + О, гпсгда х, является почкой перегиба. Если при этом у = Е(х) являегпся уравнением сасагпельной к рафику функции / в точке (х„ /(хо)), то при перехо- У те аргумента через точку х, раэ тоспгь /(х) — /.(х) меняет знак.
Доказательство. Покансем, что ха — действительно точка перегиба. Из условия / (ха) Р О следует, что функция /' возрастает илп убывает в точке х, и так как /"(х,) = О, то в некоторой б-окрестности точки хь функция /" имеет разные знаки по разные сгороны от точки х,. Если, например, /' > О при Рпс. 4Г х,— 6<х<х, и / <О при х, < х < х, + б, то точка х, является одновременно левым концом интервала вверх и правым концом интервала строгой выпуклости вниз, а следовательно, н точкой перегиба.
Далее, по формуле Тейлора имеем /(х) — Е(х) =- (х — хо)з+ о((х — х !а). 3 а д а ч а б. Пусть функция / непрерывна пя интервале (о, Ь! и пусть дпя любых точек х1 н хх, а < х, < х«(Ь /(х,!+ /(х„1,/ х, + х«) тогда интервал (и, Ь! является интервалом выпуклости вверх для фупнпии /, 3 а д а ч а 6. Для того чтобы дифференпируемая функпия Дх! была выпукла вверх или соответственно вниз на интервале (и, Ь!, необходимо и до статочио, чтобы ее производная монотонно возрастала, соответственно мо нотоино убывала на (о, Ь!.
Для того чтобы диффсргппируемая функоия /(х' была строго выпунла вверх (вниз! достаточно, чтобы ее производная строп возрастала (убывала! на (и, Ь!, Отсюда следует (см. замечание о бесконечно малых перед доказательством теоремы 4 этого параграфа), что знак разности /(х) — ь(х) меняется при изменении знака х — х . Таким образом, график функции / в некоторой окрестности этой точки переходит с одной стороны касательной на другую (рис. 41), н «перегибается» через касательную.
Отсюда и произошло название точка перегиба. РЛ Всслвдовиннв нов<дени» функции !96 14.4. Лсимптоты у=йх+1 (14.8) называется асияпспотой функции при х — ~+со (соотвепютвенно прсс х — » — оо). Существование асимптоты у функции означает, что при стремлении аргумента функции х-» + оо (или х-н — оо) функция ведет себя, «почти как линейная функциях, т. с. отличается от линейной функции на бесконечно малу!о. Найдем, например, асимптоту для функции л' — Зх — 2 У= л-! ! Разделив числитель иа знаменатель по правилу деления многочленов, получим 2 у=-х — 4-1- — — -, х+! ' Рнс.
42 и так как =-о(1) при х-н+ оо, то прямая у=х — 4 являет- 2 х+1 ся асимптотой даннои функции как при х-»+ оо, так и при х -» — оо. Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М =-(х, 1(х))— точка графика функции П М, — ее проекция на ось Ох, АВ— асимптота (14.8), Π— угол, образованный асимптотой с осью Ох, Отч —, М Р вЂ” перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту 2' АВ, Π— точка пересечения прямой ММ, с асимптотой АВ (рис. 421. Тогда ММ„= 1(х)„ЯМ» = йх+ 1, МЯ =- ММ, — ОМ = 1(х) — (йх + 1); МР = М1~ сов б.
Таким образом, МР отличается от МЯ лишь на неравный нулю множитель созО, поэтому условия МО- О и МР- О при х- + оо(соответственно при х- — оо) эквивалентны, т. е. если 1пн МЯ =- О, то и 1!гп МР =- О, и наоборот. к !- к Отсюда следует, что асимптота может быть определена как такая прямая, расстояние до которой от графика функции, т. е. отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М =(х, 1(х)) <стремится по гра- Определение 7.
Пусть функция 1(х) определена для всех х > а (аютвеснственно х < а). Если су цесспвуют такие чис !а й и 1, чпю /(х) — йх — 1= о(1) при х-н+ оо(соопюетспсвенно при х- — оо), то прялшя И.4. Лсьлхггогм фику в бесконечность> (когда х->+ оо или соответственно когда х -> — оо), Укажем теперь регулярный способ отыскания асимптоты (14.8), т.
е. регулярный способ определения коэффициентов А и 1 в уравнении (14.8). Будем рассматривать для определенности лишь случай х- + оо (случай х- — оо рассматривается аналогично). Пусть функция 1 имеет асимптоту (14.8) при х- + оо, тогда по определению 1 (х) = ях + 1+ о (1). (! 4.9) Разделим равенство (14.9) на х и перейдем к пределу при х- + оо. Тогда Игп 1 ) =й. (14.10) «+ Найдя й по этой формуле, для определения 1 из (14.9) получим формулу 1- Игп (1(х) — йх). (14.11) «+о Таким образом, формулы (14.!О) и (14.11) сводят задачу отыскания асимптот (14.8) к вычислению пределов определенного вида.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
