Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Более того, мы показали, что если существует представление функции 1 в виде (14.9), то я и 1 находятся по формулам (14.10) и (14.11). Следовательно, если существует представление (14.9), то оно единственно. х' — Зх — 2 Найдем по этому правилу асимптоту функции)(х)= х+1 найденную нами выше другим способом: 1(х) . х> — Зх — 2 Й=Иш — =Ипг ' =1„ «с х «+! /х> — Зх — 2 Г . — 4« — 2 1=Иш ~ х+! 1 „„х+! — х)г= Игп — 4 т. е. мы, как и следовало ожидать, получаем тоже уравнение асимптотыу=х — 4. В виде (14.8) может быть записано уравнение всех прямых, кроме параллельных оси Оу.
Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Оу. Определение 8. Пусть фумкг)ия)определена енекоторой окрестности гложи х (бьиль может, односторонней) и пусть Игп )(х)=со, или 1ип )(х)=со, (14.12) «««-4 «-«.+о В ПС Исследование ноееденал 4<иннина !эз илн и то и другое. Тогда прял<аз х = х (рис. 43) называется вертикалнной асах<си<!оп<ой (в он<линие от асихттоть< види (74.8), которая называется наклонной). В случае вертикальной асимптоты, как и в случае наклонной аспмптоты, расстояние МР = х — х, между точкой М н прямой х = х;, стремится к нулю, когда точка графика М = (х, 7(х)) сгремится по графику в бесконечность, т. е.
когда х — х, — 0 нли соответственно х- х, + О. Для того чтобы найти верти- а кальные аснмптоты для функции надо найти такие значения х, для которых выполняется одно или оба условия (14.12). Например, функция в .г хе — Зх — 2 Рас. ев л+ ! имеет вертикальную асимптоту х = — 1. Вообще если 7(х) = — — рациональная функция (Р(х) и (!,'х) — многочлены), Р (х) <7 (х) (г(х<)==-0, Р(хе)+ О, то прямая х=х, является асимптотой функции 7(х).
14,5. Построение графиков функций Изучение заданной функции и построение ее графика с помощью развитого нами аппарата целесообразно проводить в следующем порядке. 1. Определить область существования функции, область непрерывности и точки разрыва. 2. Найти асимптоты. 3. Приблизительно, вчерне, нарисовать график функции. 4. Вычислить перву<о, а если нужно, и вторую производну<о (без производных более высокого порядка часто удается обойтись). 5. Найти точки, в которых первая и вторая производные либо не существуют, либо равны нулю (так называемые крилшчгские точки).
6. Составить таблицу изменений знака первых и вторых производных. Определить участки возрастания, убывания, выпуклости вверх или вниз функции, найти точки экстремума (в том числе и концевые, если такие имеются) и точки перегиба. 7. Окончательно вычертить график. Ид Построение графиков фунхт)ий 1ав При этом чем большую точность графика мы хотим получить, тем больше, вообще говоря, надо найти точек, лежащих на графике функции. Обычно бывает целесообразно найти (быть л)ом1ет, с определенной точностью) точки пересечения графика с осями координат, точки, соответствующие максимуму и минимуму функщ)и; другие точки находятся по мере потребности.
В случае очень громоздких выражсний для второй производной иногда приходится ограничиваться рассмотрением тех свойств графика, которые моя<но изучать лишь с помощью первой производной. П р и и е р 1. Построить график функции хе — Зх — 2 7'(х) = + Эта функция определена и непрерывна для нсех х + — 1. Она, как мы уже знаел! (слс п. 14.4), имеет всимптоты у = х — 4 и х = — 1, причем 1нп /(х) = + оо, Иш 1(х) = — оо. к — 1)а к — ! — а Мы видели также, что 1(х) = х — 4+ —, поэ)ому 2 х-1-1' Рис. 4т 7(х) ) х — 4 прн х ~ — 1 (график функции находится над аснмптотой) и 7(х) < х — 4 при х ( — 1 (график функции лежит под асимптотой).
График функции Ях) пересекает ось Ох в точках, в которых 3*у' 12 х' — Зх — 2 = О, т. е. при х,, х, = или прнблизителыю в точках х, = 3„5, х, =- — 0,5. Ось Оу график пересекает в точке у= = — 2. ото позволяет нарисовать график функции 7(х) в виде, указанном на рис. 44. Дальнейшее исследование имеет своей целью нахождение точек экстремума, точек перегиба и интервалов выпуклости вверх илн вниз графика функции. Для этого найдем у' н у": хк+ 2х — ! х (х+ 1)к "=( + П' й И. Исследование неведение флиннцни табаева ! о + Не сущест- вует Не сущест- вует Из этой таблицы видно, что функция 1(х) в точке х = — 1+ ~I2 имеет строгий минимум, а в точке х = — 1 — у'2 — строгий максимум; при х — 1 функция строго выпукла вверх, а при х > — 1— строго выпукла вниз. Точек перегиба нет, так как при х = — 1 функция разрывна. Мы нашли общий характер поведения функции.
Чтобы построить график более точно, надо найти ряд точек графика, как это отмечалось выше. В дальнейшем для краткости таблицы, подобные табл. 1, будем называть таблицами поведения функций и иногда сразу отмечать в них точки экстремума, точки перегиба и интервалы выпуклости. Пример 2.
Построить график фуннции 1 (х) — — (х+ 1)в тл хе. Область определения этой функции — вся вещественная прямая, причем она непрерывна в каждой точке и потому не имеет вертикальных асимптот. Из того, что йгп — = оо 1(,т) х л Слл следует, что нет и наклонных асимптот. Для построения вчерне графика функции /(х) заметим, что 1) 1(х) обращается в ноль в точках х = — 1 н х =. 0; 2) />О при х > — 1, хть 0; 3) 1<0 при х( — 1; Отсюда видно, что у' = О в точках х = — 1 — )л'2= — 2,4 и х =- — 1+ р'2=-0,4. В точке х = — 1 производные у' и у не существуют.
Составим таблицу изменения знака первой н второй производных в зависимости от изменения аргумента, включив в нее критические точки. охо, Погтрогинг графиков рриипий 4) 1ип 1(х) = + оо и 1пп /(х) = — оо. х +ь х -ы Приблизительный вид графика функции, который можно нари:овать на основании этих замечаний, изображен на рис. 45. Проведем теперь более подробное исследование функции с помощью производных. Находим у' и у": 2 (х+ 1] (44х'+ 1бх — 1) Зх ~Гх Рис. 46 Сделаем лишь несколько замечаний.
Для нахождения асимптот, паряллельных оси Оу, надо найти такие значения 1ввв>, для которых '> Г!ри этою здесь не прсдполатаетсн, что пара функций х = х(1), у .=- у(1) опрсделнет однозначную функцию у = у(х) пли х = х(у). '*> Здесь н в дзльнейп>ен (з — число плп одни из символов -1- а, — ео. Отсюда видно, что у'=О 2 прн х= — 1 н х= — —; П* Риг. 45 у"=О при х= — 1, а также Я когда 44хз+16х — 1 = О, т. е. приблизительно при х,—.
22 1 И и х,= —. Прн х = О производные у' и у не существуют. Составляем таблицу поу ведения функции — таблицу 2. Теперь график функции у = (х+ 1)зу' х' можно нарисовать более точно. Его вид изобраисен на рис. 46. Как видно, с по1 ! мощью исследования про! »»~Ю ЦУЛ ~Ю х,-„ох, уточнили вид графика (ср. с рис. 45). Развитый аппарат позволяет строить и графики функций, заданных параметрически; х:==х(1), у=у(1)*1. ( — (. к~) (- — „, о) (к„-Ькы (о. к ( — «с. — () Не су- шеству- Интсрва. лы монотонности н точки зкстрему- Минн.
Возрастание нас ма Точка Выпук- лость Точка пере- гиба пере- тира лесть ьн(ы нер:- сиба вниз Интервалы выпук- ласти и точки переспба Выпуклость вверх Воз раст.(нас Точка Выпук- Макси Убь!аа- Выпуклость вверх Нс су- пьсству- ст Выпуклость вверх Таблипа 2 14,5 Поспсроенссе графикон сфункцна существует конечный предел Ипт х(1) = а или Игп к(1) = а, а )пп у(1), с-с,+о с- „-о с-с,+о соответственно Иш у(!), равен + оо нлн — оо. с-с„— о Если такие значения с, существуют, то х=а (!4.13) есть уравнение искомой аснмптоты. Аналогично для нахоигдсния асимптот, параллельных осн Ох, надо найти такие значения йи для которых существует конечный предел Иш у(1) = (с илп (пп у(1) = Ь, а Ипт х(1), соответственно с„+о с- с,— о с- с.+о Иш к(1), равен + о или — со.
Ес" и окажется, что такие знас с,— о чения 1 существуют, то у=й (14.14) есть уравнение искомой асимптоты. Наконец, для нахождения асимптот, пе параллельных нн осн Ох, ни оси Оу, надо яайти такие значения (о. для которых пределы Иш к(!) и Иш у(1) (или пределы !!п1 х(!) и Ипт у(1)) с- с,+о с- с+о с с,-о с,-о равны +со или — оо и существует конечный предел !пн — = у(0 «+ох (1) = А + О (соответственно Иш л (1) = А). Если для этого значения !о, (с) с- с,— о (~) х (1) кроме того, существует конечный предел Иш (у(!) — )гх(!)1=1 с- с,+о (соотвстственно Иш [у(!) — йх(!)1), то прямая с- с;о у=йх+! (14.15) является асимптотой рассматриваемой функции. Здесь везде го может быть как конечным, так и бесконечным.
У п р а ж н е н и е 7. Вывеста уравнения асимптот (14.!3), (14.14) н (14.1о), исходя из того, что асимптотой называется прямая, расстояние до которой от точки (х(с) у(1И графина фупицнн, заданной парамегрически, х = х(1), у=у(б, стремится н нулю, когда точка стремится по графику функции в оесковечность, т. е. когда усхз(11 + у'-(1) -нос при 1-ь са+ о или 1- С вЂ” О.
При предварительном вычерчивании графика функции, заданной параметрически, часто бывает полезно предварительно построить в отдельности графики функций х =- х(() и у = у(1). Для определения возрастания и убывания функции, заданной параметрически, определения ее точек энстремума, точек перегиба, выпуклости вверх и вниз надо использовать выражения дли производных у„и у,"„через производные к,', у,', х,", и у'„.
При этом следует иметь в виду, что функция, заданная парамстрически 4 !4 Игследиеение еиеедение финкиии (14.16) Асимптота, параллельная оси Оу, получается при ! = — 1; ее урав- нение 1 Х= —. 4 Наклонных асимптот в данном случае нет. Для построения графика функции вчерне полезно написать таблицу изменения знаков переменных х и у в зависимости ат изменения ! и некоторых характерных значений х и у.
Так, в данном случае полезна следующая таблица. Таблица 3 1 4 Теперь строим график (рис. 47). Для наглядности на графике укавано, как ветви графика соответствуют изменению параметра. Далее, 2! П х!= (! !)е ' (!+!)а ' поэтому (1 + ()а (1+ 2! — И) х„= 4 (1 — !)а (14.17) в целом, вообще говоря, задает не однозначну1о фуикцщо у = у(х), так что при исследовании графика функции надо все время внимательно следить затем, какая кветвьа графика рассматривается. Иногда бывает полезнее рассматривать, наоГюрот, х как функцию от у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
