Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 35
Текст из файла (страница 35)
п. 8.2), / /Гпо("о) а(х) =о~ — Лхя). н1 Поэтому, согласно сделанному замечанию, существует такое 6)0, что при (Лх!(6, Лх+О, ! а(х) ! ~ — ~ — ' Лх" ~. 1 ! /Сп1(хо! Отсюда следует, что при ~ Лх ! <, 6, Лх чЬ О, знак правой части равенства (14.5), а значит, знак Л/ совпадает со знаком первого слагаемого правой части. Если и = 2й, /г = 1„ 2, ..., то Лх возводится в четную степень, поэтому знак Л/ не зависит от знака Лх, и, значит, точка х, является точкой строгого экстремума, причем точкой строгого максимума пРи /1»»1(хо) к, 0 (в этом слУчае Л/к.
0) и точкой стРогого минимУма при /1'и>(х ) ) 0 (в этом случае Л/) О). Если же и = 2/о + 1, й = О, 1, 2, ..., то Лх возводится в нечетную степень, поэтому знак Л/ меняется вместе с изменением знака Лх, и„ значит, точка х, не является точкой экстремума. Когда Лх менЯет знак с « — » на «+», то пРн /1»о+и (хо) ) 0 пРиРащение Л/ меняет знак с « — » на «+», и, значит, точка х, является точкой возрастания функции /, а при /1»о+ "(хо) < 0 приращение Л/ меняет знак с «+» на « — », и, значит, точка хо является точкой убывания функции /. Теорема доказана.
И.2. Экстремумы Функций гав Из доказанной теоремы, в частности, прп и = 1 и п = — 2 вытекают два следствия. 1. Если 1'(хо) ) О, то х, является точкой возраппания грункции' если 1 (х ) с О, то х„является точкой убываагггя срункции. 2. Если /'(хе) = О, а 1"(х,) Ф. О, то при 1"(ха) ) О точка хе является точкой строгого минимума, а при Р"(ха) <" Π— точкой строгого максимума функции й Все полученные правила справедливы лишь в том случае, когда функция 1 определена в некоторой окрестности точки х,. Об экстремуме функции можно говорить не только в этом случае: пусть функция 1 определена на некотором числовом множестве Е; точку х,СЕ будем называть пючкой максимума (минимума), если существует такое б ) О, что если х С Е и [х — х,[ ( 6, то 1(х) < [(ха) (соответственно 1(х) > 1(хе)).
Подобным же образом в этом случае определяются и понятия строгого максимума и строгого минимума, следует лишь знаки нестрогих неравенств заменить знаками строгих неравенств и дополнительно потребовать, чтобы х+ х,. Например, если функция 1 определена на полуинтервалс [а, б), то точка а в указанном смысле может являться экстремальной. Заметим, однако, что производная (правосторонняя) в этой точке, вообще говоря, не обязана обращаться в ноль. Так, функция у =- х, рассматриваемая на отрезке [О, 1[, имеет строгий мингзмулг прн х =- О и строгий максимум при х = 1, однако в этих точках, как и всюду на отрезке [О, 1[, у' =- 1. Выяснение обстоятельства, имеет или нет функция экстремум на концах промежутка, принадлежащего ее области определения (такой экстремум будем называть концевым), требует специального исследования.
Упражнение 4. Пусть функция 1 определена на отрезке [о, Ь[ и имеет производные в точках а и Ь; тогда если /+(и) >0 (1 (Ь) ~0), то точка х ==. о (соответственно х== Ь) является точкой строгого минимума; если 1„(е) ~0 (1 (Ь) > О), то точка х= о (соответственно х= Ь) является точкой строгого максимума. развитые нами методы позволяют общим прпемом решать новый круг математических и физических задач, в которых требуется найти экстремальныс значения какой-либо величины. Пусть, например, требуется определять наибольшее значение функции 1 на некотором отрезке [а, Ь[. Для этого следует найти все точки, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует. Затем из этих точек надо с помощью тех или иных методов отобрать точки, в которых возможен максимум (можно заведомо отбросить точки, удовлетворяющие достаточным условиям для точек минимума).
После этого достаточно лишь сравнить 190 4 ПХ Исследование неведении функции между собой по величине значения функции в полученных точках н значения )(а) и 1(Ь); наибольшее пз этих значений и будет наибольшим значением функции на отрезке!а, Ь). Эта задача заведомо может быть решена, если множество критических точек состоит из конечного числа точек. В случае, если функция определена на полуинтервале (конечном плн бесконечном), например на полуинтервале вида (а, Ь), задача об определении наибольшего значения функции на этом полу- интервале требует дополнительных исследований; найдя множество указанных выше точек, надо изучить еще поведение функции при х - Ь вЂ” О. Аналогичным образом решаются и задачи на определение наименьших значений функций.
П р и м е р. Два тела двигаются с постоянными скоростями и, Ысек и оз мlсек по двум прямым, образующим прямой угол в направлении вершины этого угла, от которой в начале движения первое тело находилось на расстоянии ам, а второе в на расстоянии Ь и. Через сколько секунд после начала движения расстояние между телами будет наименьшим? Пусть р = р(() — расстояние между точками через ( сея, после начала движения, которое будем считать начавшимся при ( = О. Тогда ре (() = (а — и ()е ( (Ь и ()е Функция р((), очевидно, достигает минимума в той же точке, в которой достигает минимума функция у = р'(().
Физически ясно, что расстояние р(() должно достигать минимума (тела начинают сближаться), а максимума заведомо нет, ибо р(() -+ +си при ( -++си. В силу необходимого условия экстремума это может быть только в точке, в которой у' =-- О, и так как у' = — 2и~(а — о1() — йсе (Ь вЂ” пе(), то нз условия у' = О получаем единственное значение ае1+ Ьее (О е 2 г 2 которое и дает ответ на поставленный вопрос. 14.3.
Выпуклость и точки перегиба Пусть функция г определена на интервале (а, Ь) и пусть а к. х,к" хе С Ь. Проведем прямую через точки А(х,, )(х,)) и В(хм 1(хе)) графика функции А Ее уравнение имеет вид ) (хе) (х — к1) + ( (хО (хе — х) х, — х) /дЗ. Викуклоггь и гонки певогибо 1Э1 Обозначим правую часть этого уравнения через /(х), тогда оно кратко запишется в виде у = /(х).
Очевидно, /(х ) = /(хс), /(Хо) == /(хе). Определение 3. Функция / называется выпуклой вверх (выпуклой енпз) на интервале (а, Ь), еслаг, каковы бы ни были точки х„и хо„ о < х, < хо < Ь, для любой ттки х, интервала (х„хз) выполняегпся неравенство /(Хо) < /(Хо)ь (14.6) (соответственно /(хо) )~ /(х,) . (14.7 Геометрически это означает, что любая точка хорды ЛВ (т, е.
отрезка прямой у =- /(х) с концами в точках Л и В) лежит не выше (нс ниже) точки графика функции /, соответствующей тому же значению аргумента (рис. 36). ыкгклоеьгь гне Вьгпуклоекгь Вьи Рис. 88 Определение 4. Если вгяеспго (!4.6) и (!4.7) выгголнягогпся строгие неравенства /(х,) /(х,) и соогпеетсгпггенгсо /(х,) ) /(х,) при ЛЮбЫХ Хьь Хг и Хеь ПгаКПХь ЧГПО а " Хс < ХО <, ХО < Ь та Г/Гуякс!ССЯ / называется строго выпуклой вверх (сгпрого вьтуклой внсю/. В этом случае любая точка хорды ЛВ, исключая се концы„ лежит ниже (выше) соответствующей точки графика функции. Определение 5.
Всякий ингпервал, на которолс г/гункция (строго) выгссгкла вверх, соответственно вниз, наэываегпся ггнгперггалон (строгой) выпуклости вверх, соответственно внгш, для тяпой гуункс!сгсс. Если функция / (строго) выпукла вверх на интервале (а, Ь), то функция — / (строго) выпукла вниз на этом интервале; поэтому в дальнейшем при доказательствах мы большей частью будем ограничиваться лишь рассмотрением функций, (строго) выпуклых вверх. Определение 6. Г/усгггь г/гункцсся / определена в некоторой' окресгпности точки х„и неггрерывна в эпюй точке, Точка хо наэьсвается точ- ПЬ Вееледоеание поеедених функции юй перегиба функции /, если она является одновременно концом инпервала строгой выпуклосепи вверх и концом иеипервала опрогой вы1уклости вниз. В этол~ случае точка (х, //ха)) называется точкой церегиба графика функции. Очевидно, что точка перегиба функции не принадлежит ника. тому интервалу строгой выпуклости вверх или вниз. Теорема 5 (достаточное условие строгой выпуклости).
Пусть функция / определена и дважды дифференцируема на интервале (а, Ь). Тогда, если /" < О на(а, Ь), (по функция / строю выпукла ~еерх, и если /" ) О на (а, Ь), то функция / строго выпукла вниз на мпом интервале. Доказательство. Пусть а(х,(х(х,(Ь. Тогда 1(х) — /(х)— 1/ (хе» вЂ” /(х»1(х — к1) — 1/(х» — /(хд)(к, — «» Применяя теорему Лагранжа (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
