Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 31
Текст из файла (страница 31)
3 а м е ч а и и е. Отметим, что формула Лагранжа (11.3) может быть переписана в ниде /(а) — /(Ь) =/' 5) (а — Ь), где а ( Ь. Отсюда следует, что формула (11.3) справедлива не только в случае а ( Ь, но и в случае а,» Ь. Отметим две леммы, легко доказываемые с помощью теоремы Х!агранжа и полезные для дальнейшего. Лемма !. Пуси>ь функц«т /: 1) определена на некопюром промажу«>>ке (конечном или бесконечном); 2) имеет проижадную.
равную нулю во всех его внугпренних точках; 3) непрерывна в каждом из концов рассматриваелюго пролгежутка, если он ему принадлеэхит, тогда фуюи!ия / постоянна ни указаннол« промежутке. Действительно, каковы бы ни были две точки х, и х», х, ( х„ рассматриваемого промежутка, функция /, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке [х„х«[, и, значит, / (х«) — /(х>) =- /' (3) (х. — х«) где х, $( х,. Но, согласно условию 2 леммы, /Я) =- О, и, значит, /(х,) = /(х.! для любых ааух точек л:, н х, нз области определения функции /, что и означает, что функция / пес>овина, У г!.
Теоремы о среднем для дххяхре)н нцнруелнхх фуняина )в2 С л е д с т в и е. Если две функции ! и о дифференцируемы во всех внутренних !почках некоторого промежутки и в этих !!!очках а на кониах прол!еэхутка (если они в него входят) функции ! и д непрерывны, то элли функции ошличикхпся на рассматриваемол! промежуписе лии)ь на поппоянную Действительно, функция Р = ! — )! удовлетворяет условиям леммы, в частности, г' = !' — д' = 0 во внутренних точках про- межутка и потому г = с. Лемма 2.
Пусть функция ср: 1) непрерывна на интервале (а, Ь); 2) дифференцируема во всех иконах ишпервала (а, Ь), кроме, быть л!ожет, некоепорой точки хе ~~(а, Ь); 8) суи(ествуесп )ип гр' (х), х. хе тогда суи(есп!ве)ееп и производная ер'(хя), причем гр'(хе)= )ип гр(х). к х„ Действительно, пусть !)гп гр'(х)=А. Если а(х(Ь н хааке, х х, то по теореме Лагранжа <р(х) — ц (хе) = ер' (5)(х — х„), где 5 ~(х„х), если х)хе, и $~(х, х„), если х(хя, отеюда е (х) — Е )хе) х — х„ Будем для определенности считать, что х .> хен Точка $ = ()(х) является функцией от х и притом, вообн)е говоря, многозначной.
В)лберем произвольно для каждого хрг(а, Ь) одно какое-либо значение 5, тогда получим однозначную функцию (как говорят, однозначную ветнь многозначной функции). Поскольку х ( 5(х) с, х, то )ип 5 (х) = хсе х ке Применяя правило замены переменного для пределов функций (см. и. 4.5), получим, что существует предел )! )п ер' Я) = А, х- х„ /(.2 Георельы ролла, Лгьаранхго и ((оьььи о средних этменилк ььа а следовательно, существует и предел йш о(ю — с (хеь к- кц Это и означает, что производная ьр'(хе) существует и равна Л.
У п р а ж н е н и е 3. Г(усть функнии / непрерывна на интервале (п, Ь! и аифференцируеиа ио всех точках этого юперньаа, кроне, быть иожет, некоторой точки х«Г(а, Ь). Пусть сушесгвуют ьнп /'(х! и 1ип /'(л), прнк кк-О к к к+О чеи они ае равны льельду собой. Йокааатгь что нрн этих пренполоькеььинх /'(х„! не суньествует. Как в теореме Ролла, так и в теореме Лагранжа (а также и в нижеследующей теореме Коши) речь идет о существовании некоторой точки й, а ($(Ь, как можно сказать, «средней точ к и», для которой выполняется то нли нное равенство.
Этим и объясняется название «теорсмы о среднем» для этой группы теорем. Докажем последнюю нужную нам теорему этого типа. Теорема 4, (Коши). //усгььь чьунль(ии / и (/: 1) непрерывны на оньрезке (а, Ь!1 2) и ььеют производные в каждой точке интервала (а, Ь); 8) лроизводнаи ц + О ьо всех точках интервила (а, Ь), тогда суи(есьнвуеог шакая тгкька $, чгно /(Ь) — /(аь /' (сь — — — а«" 5(Ь. а(Ь) — а (о) а' (В) (11.11) г (х) =-/(х) — Льь(х), (11.12) где число Л выберем таким образом, ьтобы г(а) = г(/ь), т. е.
что- Г>ы /(а) — Лц(а) = /(Ь) — Лд(Ь). Для этого нужно взять / (Ь) — /(и) д (Ь) — у (оь. Фуьькьььья Г удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, поэтому существует такая точка с, что г'(5) = О, а ( 5 ( Ь. Но из (11.12) /о(х) =- /'(х) — ),.'(х), поэтому /'(=.) — Ла' Е =- О, Заметим, что из условий теоремы следует, что написанная форльула (11.11) ильеет смысл, т. е, й(а) Ф //(Ь). В самом деле, если бы й(а! = д(Ь), то функння ц удовлетворяла бы условиям теоремы Ролла и, значит, нашлась бы такая точка Ц, что д'Я) = О, а <.'х(Ь, что противоречило бы условшо 3.
До к аз а тел ь ство. Рассмотрим вспомогательную функ- пию (2. Рпскрыгие неопределенностей по привила Лопиголя 1б4 откуда следует, что Р (4) а!' (Е! ' Сравнивая (11.13) и (11.14), получим формулу (11.!1). обычно называемую 4(!орлг!?лаг) конечнык арарагг(ениг! Коган. Отметим, что формула конечных приращений у!агранжв является частным случаем формулы конечных приращений Коши, соответствующим Дх) = х. Эти формулы доказаны независимо, во-первых, из-за той важной роли, которую играет формула Лагранжа, а во-вторых, чтобы иметь возможность, используя одну н ту же идею, применить ее дважды в доказательствах, причем сначала для большей наглядности в более простом случае.
Формула Коши (11.11), так же как и формула Лагранжа (11.3), справедлива не только в случае а ( Ь, но и в случае а ) (?. У пр а !к не иие 4. Пусть !(л) = к'.!п — прн л ~ 0 и )(0) =О. При- 1 к меняя к этой функции на отрезке 10, л.! формулу Ла~ранжа. 1 / 1 ! ! х з!п = ~24 5!п — соя ~ к, с! ° где 0 < $ < х. Сократим обе час~и равенства на кчЬО: ! ! 1 к з1п — = 2Е з1п — — соз —.
Переходя здесь к пределу при х 0(при этом,очевидно, 4 - 0), получим 1 1!щ соз — =-О, 4- о так как два других слагаемых очевидным образом стремятся к нтл!о. Вместс с тем предел соз —. при стремления аргумегпа к нулю не существует! 4 Где ошибка? $12. РАСКРЫТИЕ ИЕОПРЕДЕЛЕИИОСТЕЙ ПО ПРАВИЛУ ЛОПИТАЛЯ Если при нахождении предела некоторой функции, заданной формулой, при стремлении аргумента к некоторой величине (числ) или одному из символов оо, +со или — оо) при формалыюй подстановке этой величины в качестве аргумента в формулу, задающук 0 рассматриваемую функцию, получаются выражения вида--- "0 —, О со, оо — со, О", со", О или 1, то они и называются не (аа Ннонпндвхенновха вида О О о!!ределеннос!нами, так как в этом случае по получающимся выражениям нельзя судить о том, существует нли пет указанный предел, не говоря уже о его значении в случае его существования. Наряду с основным методом нахождения пределов функций методом выделеппя гпавной части существуют и другие способы отыскания пределов; ряд из них, носящих общее название правил Лопал!аля'!, мы и изложим в этом параграфе.
12.!. Неопределенности вида— О О Теорема 1. Пусть Функции /(х) и д(х), определенные на полуинтерволе (а, Ь), талие, что: 1) 1(а) = д(а) = О; 2) суи(естеуюп! производные (односторонние) ('(а) и д'(а), причем 8'(а)+О, и да Ип! 1() р(! х- ° а+о я (х! е' (а) ° Для доказательства этой теоремы применим метод выделения главной части. Д о к а з а т е л ь с т в о.
В силу условия 2 имеем (см. п. 9.2) Кх) = 1(а) + !'(а) (х — а) + о(х — а), д(х) = д(а) + д'(а)( х — а) + о(х — а). Откуда в силу условия 1 следует, что 1(х) = 1'(а) (х — а) + о(х — а), (1(х) = д'(а) (х — а) + о(х — а), т. е. (см. теорему 1 в п. 8.3) !(х) 1' (а) (х — а), д(х) — д'(а) (х — а) при х — н а+ О. Поэтому (см. теорему 2 в п. 8.3) Ищ — =!пп 1(к) . р (а1(х — а) р (а х а+о Е (х) х а+о а' (а) (х — а) й' (а) ° Теорема доказана.
В теореме 1 предполагалось существование производных в точке а. Докажем теперь теорему, в известном смысле близкую по содер- жанию к предыдущей„ в которой, однако, не будет предполагаться существование производных 1'(а) и и'(а). Теорема 2. Пусть функции 1(х) и 2(х): 1) йафференцируемы на интервале (а, Ь); 2) Ип! ((х)--:х Ищ (((х) —.....О; х а+О г. а * Он~ — ноа — н„а„„ !66 3л раскрытие неонределенноегей но нрааилу Лотаолл 3) р'(х) + 0 для всех х~(а, Ь); 4) сущестоуееп (конечный или бесконечный) предел !пп ) (х) ко+Он() тогда суи(ествуеки и !!щ — =-: !пп ) (х) . р (х) к„„+О Е(Х), с+О Е' (Х) ' До к а з а тел ь ство. В силу условий теоремы функции )и д не определены в точке а; доопределим их, положив )(а)=))(а)=-0.
Теперь функции ) и д будут непрерывны в точке а и будут удовлетворять условиям теоремы Коши о среднем значении (см. п. 11.2) на любом отрезке 1а, л1, где а хс Ь. Поэтому для каждого х, ас" х( Ь, существует такое ~ =- 6(х)~(а, х), что (12.!) е(х) Ях) — е(о) е'(Ц . Фиксируя для простоты для каждого х одно из указанных аначений $, получим, что !пп 5(х)к- и (ср. с доказательством к с+О лемОеы 2 в и. 11.2).
Поэтому, если существуег !пп —; — =--й,то р (х) „ ,+О Е'(х) иа правила замены переменного для пределов функций следует, что существует и !!ш —, -=-к/и Теперь из (12.1) полу раем Г (ч)) , .+О Я' (Е) 1пп — == 1пп —, ° == Е 1(х) Г (ч) +О Я (Х) с , +О Ь" (Ч) Теорема доказана. Теоремы 1 и 2 остаются справедливыми с естественными видоизменениями и для случая х — а — О. Теорема 3. !)усто функции )" и йц 1) дифференцируены ири х)с„ 2) 1пп )(х)==.0, !!гп сх(х)=-кО; к +н к + 3) 3'(х) чьО для всех х >с; 4) суи(еотвуеи1 (конечный или бесконечный) предел р (х) !1п~ о (х)ю глогди существуегп и !!ш !.(.") =-:= !пп ! (х) Е(х) к +, Ан(х)' До к аз а тел ь ст во.
Без ограничения общности можно считать с,. О (если сс, О, в качестве нового с возьмем, например, о 12.!. Неонределенноети вида— О 1 ) 1) Г!) с= 1). Сделаем замену переменного х=- —. Функ)щи 1~ — ~ и п1 — 1 1) определены па интервале(0, — ); условшох — +г ) соответствует 1) условие 1-е +О; ца интервале (О, — ) существуют производные У'(() (в д( = й)'(() (в '(-') = Иш — — —, =-Иш —. =/г.
о-ео,( 1,) х +. в (х) я ~-,(- Иш )-+о „( 1) ТеЩ)ь нз теоремы 2, Щ)вмененной к г~)ун(щ)гям 1 — и Д вЂ” ' еле. дует> что Е( г ) 1Ип — = Й. ( (о (1) где штрихом обозначены производные функций 1 и (1 по первона- чальному аргументу. Из сказанного и условий теоремы следует, что функции г 1 ) Г( — ) и д( — ) на интервале (О,— )удовлетворяют условиям 1, '(() ~ Е~ ('с1 2 и 3 теоремы 2. Покажем еще, что из существования предела Ип) г' (х1 ,„я'(х) ~ который мы обозначим через й, следуют существование предела "(-') гу Иш —,—, и равенство его й, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
