Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(10.2)). Формулы (10.1) и (10.2) доказываются по индукции. При и =1, т. е. для производных первого порядка, они были доказаны в п. 9.5. Пусть теперь эти формулы справедливы для производных и-го порядка. Докажем их справедливость для производных порядка и+ 1. «1 Г. Лсавииц (1646 — 1716) — исисциий философ и иитсцвтив. где, как обычно, С„' обозначает число сочетаний иэ и элеменпюв 1ю й, и =- О, 1, 2, ..., и. Формула (10.2) обычно называется формулой Лейбница "1, ее символически можно записать в следующем виде, удобном для запоминания: !$0 у Ю. Прлнлплянне и д<сфференса<олы аыплнх поря<>кол В случае суммы функций имеем (ус+у ) л+')=((ус+у) л)!'=(у !"'+7 л)'= (7(л])'+( <л))~ <и+!)+7(л+!) Формула (10.!) доказана. В случае произведения функций вьскладки несколько сложнее: ! л (У 7.)<при=!(7.7,)<л)Г=~Х С.У'л 'У'ю л о л э(,(л+! — !»,<е>,,< — И,<е+(И с =-о ъ С е 7 < + ! е ) 7 < ю к С а 7 < л а ) 7 < а + л) ! п=е с=о л л-! ,(л+!) (0), Кт па (л+! — с:) (А) '~~ ле (л — А) (е+!), (о! (л+!) е=! е — о Теперь объединим первые слагаемые полученных сумм, вторые и т.
д. Тогда (У У )<л+!) (л+!) <о> ! ~ (Сл ! Сл ! ) (и+! л) (л) 1 (о) (л+ ) р=! Отсюда, замечаЯ, что Сл,-(-Слп ! =С'„+! е), полУчим О! Уг)( л > = 7( И Уг + 2 СРж! У( +! ш Ухи+ л--= ! п-!-! 1), ( )- =.с.. +! у! уг . в=о Формула (!0.2) доказана. С л е д с т в и е. Если с — постоянная, ау = 1(х) — функНсся, илсесоспая произлодную п-го порядка и точке х<н то и функция с/(х) также ипнеет производную порядка л л точке х<н прссчел! (Су)<л> == Еу(л>. (10.3) Действительно, если в формуле (! 0.2) положить у, =- е, у, = у, мы и получим формулу (10.3). Впрочем, зта формула следует также ) Б самом леле, зафиксируем один иэ л -1- 1 элементов, иэ которых составляются сочетания но р элементов.
Тогла число сочетаний, в которое ношел этот фиксированный элемент, равно Сл; ', а число сочетаний, в ноторые он не вошел, равно Сс', поэтому Сс,'+, —— С,", ' + С,"и !Озь Провэводнне виеиим оорлдков от словеинх функций очевидным образом и из п-кратного применения формулы (9.19) к функции су Рассмотрим пример. Пусть у=х'япх. Найдем с помощью формулы Лейбница производную уыо'. Имеем (х' я п х) <' "' —... хв я и (х+ 1Π—" 1+ 10 Зх' я и ! х+ 9. — ! + + 10 9 Зхз!п(х+8- — -)+10 9.8 яп(х+7 — ) =- = — х' з! и х+ ЗОх' соз х+ 270 х я п х — 720 соз х. 10.3. Производные высших порядков от сложных функций, от обратных функций и от функций, заданных параметрнчески 77усгпь функция у = у(х) имеееп вторую производную в точке х„а функция г — -- г(у) имеет впюрую производную в точке ув=у(х„).
Тогда в некоппрой окресенносепи пючки х„имеет смысв сложнал функцгт г!у(х)! и она также илгеет в точке х, вторую производную, причем г„„=-- г,,„у„+ г„у,„. (10.4) Действительно, по:кольку существуют производные у"(х,) и г"(у,), то существую~ производные у'(х„! и г'(ув). Следовательно, функции у(х) и г(у) непрерывны соответственно в точках х, и ув. Поэтому в некоторой окрестности точки хв имеет смысл сложная функция г =- г(у(х)!.
Дифференцируя ее и опуская для простоты обозначение пргумс~па, имеем г =.г,у,; дифференцируя еще раз по х, получ м гвв == (г,), у,пьгг у„„=гг у„+г„у,„. Формула (10А) доказана. Аналогичным образом при соответствующих предположениях вычисляются и производные высших порядков сложной функции. Этот метод позволяет также доказывать существование и находить производные высших порядков от обратной функции. 1?усть функция у = у(х) определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестносепи иючки х„(ср.
п. 9.6) и пусть в точке хо суи!ествуюеп производные у и у, причем у (х,)+ О, пюгда и обратнал фуюпция х =- х(у) илмет вторую проижднегю в точке у, = у(х,), причеле она может быть выражена через производные у' и у" функции у(х) в точке хв. ЕО. Производные и двфференчволы выснюх »сродно» В самом леле, опуская, как н выше, обозначения аргумента, согласно теореме 5 з 9 (см. п. 9,6), имеем х,, = —.. Беря нронзвод. ! У, ную по у от обеих частей и вычисляя ее от правой части по правилу сложной функции, получим х =. (х,,) = Я х = — — '„' ' — = —, ° ° Апалогично при соответствуюпшх предположениях вычисля- ются и про вводные высших гюрндков длн обритнои функции По- добным же образом можно поступать н в случае так называемого параметрического задания функции.
Определение 3. Пусть функции л = х(Е) и у = у(() опреде. лены в некоторой окреслгнослие томки Е„и одна из элшх функций, например х = х((), непрерывна и строго монотонна в указанной окрестности, тогда в этой окресгпнослш для функции х(() суи(есле вует обратная функция Е = Е(х), а в некоторой окрестности точки х» имеет смысл суперпозиция у(х) = у(((х)). Эта функция у(х) и наллвается параметрически зодпнной функ- цией Выведем формулы для дифференцирования параметрическн заданных функций. Если функции х(!) и у(() имеют в точке Е» производные и если х'((») + О, то паралеел|рическн задонна функция у(((х)) пеакэхе плеев~ о т» чке х„= х((,) произеэднуео, примем у,(х») = —, (10. 5) ле ЕЕ») В самом деле, по правилу дифференцирования сложной функции имеем (опуская обозначение аргумента) Уе = Уе(н) по правилу >ке дифференцирования обратной функции Ен= —, ° ! (!0.7; Из йормул (10.6) и (10.7) н следует формула (10.5).
Голи, кРоме того, с((и(еслеодю~г~ хи(Е„) и Уо(Е»), то с((и(ест- вует и у,„(х»), причем Уе у„х,— у, гп сс.д Проивоодссыв высисих порядков от сяоясных финвииа Ассалогичио нычисляются производные более высокого порядка парамепсрическсс задинных функций. Рассмотрим в качестве примера параметрически заданную функцию х = а (1 — э|п !), у = а (1 — сссз с), — со (1(+ со. Графсск гной функции называется циклоидой (рнс. 29). Пусть для определенности а ) О, тогда функция х(!) = а(1 — сйп !) строго монотонно возрастает.
Действительно, пусть А! ) О, тогда, !1с а! замечая, что О ( яп — ( —, имеем х(1+ А!) — х(1) = = а( А1 — (гйп(! + А!) — згп!) ) = лс1 . лс1 2с 2~ =а! Ьг — 2соз (!+ — 1гйп — 1-. »а~ Л1 — 2 1 ° — ) =О, что и означает строгое монотонное возрастание фушсции х(!). В силу этого свойства существует однозначная обратная функция 1 = 1(х).
Далее. хс = а (! — соз 1) = 2а ейп 2 ~О, )с = а зсп 1, и хс обращается в ноль только в точках вида 1=2йн, й ==О, д- ), ~2, Поэтому, если ! + 2йп, го, согласно правилу дифференцирования функции, заданной параметрически, имеем ус в!и с у' — —, = — =-с(и — — ° 2 в си' 2 ! '! ! 1 в вссд 2 Е 10. Про>сэвоонне о с>о44еревцооли вв>оо>ох порядков 10.4. Дифференциалы высших порядков В настояшем пункте мы для удоГктва будем >цк>гда вместо симгола дифференцирования с! писать букву б, т. е.
вместо ду, с!х писать равнозначные выражения бу, бх. Пусть функция у == )(х) днффереицируема пв некотором интервале (а, Ь). Как мы знаем, ее дис)ференциал с!у = !'(х)дх является функцией двух переменных: точки х и переменной дх. Пусгь функция !'(х) в свою очередь дифференцируема в некоторой точке хв~(а, Ь). Тогда дифференциал в этой точке функции с!у, рассматриваемой как функция только от х (т. е. при некотором фиксированном с(х), если е>о обозначить символом б, имеет вид б (ду) =б )!'(х) с(л)~, „= 1!'(ч) дх) ~ „бх =!" (х„) с!х бх. (10.8) Определение 4.
Значение дифференциала б(с!у), т. е. дифференциала схл первого дифференциала, при дх = бх ниэываетгя еспорым дифференциалом срункцссс> ! о нючке х„и обозничаеосел сРу, т. е. (1().9) сР у.= !'(х„) с(хя. Заметим, что в силу этого определения с)чх = О, нбо, при вы шелепин дифференциалов мы считаем приращение дх =- Лх постояннь>п>. ПодоГ>ным же оГ>разом в случае, когда производная (и — 1)-го порядка у'я '> дифференцируема в точке хо или, что эквивалентно, когда в точке х„сушествует производная и-го порядка ус*", определяется оифференциал и-го порядки с!'у функции у = 1(х) в точке х, как дифференциал от дифференциала (и — !)-го порядка с!в ' у, в котором взято бх =- дх: с!' у = б(с1в — 'у)> Покажем, что справедлива формула д" у= — усв>с!х, и==1,2,.
((б.(О) (для простоты не пишем оГюзначения аргумента). Доказательство этой формулы проведем по индукции. Д,пя л ==- ! и н:== 2 опа доказана. Пусть эта формула справедлива для дифференциалов порядка и — 1: лв-с у .. усо — » с(х» — > <0 4.
«<««ффе<<е«««<««а.<и ««ы««««««х «««<<<«««Э««па с!" у = 6 (с!" ' у) ! . = — у<" > с(х". < к«=а.« Формула (10.10) доказана. Из формулы (10.10) следует, что 1,<ю а «<" у дх" (10.! 1) Отм<тим некоторые свойства дифференциалов высших порядков. 1. с(««(у,+у,)=с("у,+с!" у, 2.
«!««(су) =- сс(««у, с — пес соя иная. «« 6. с!" (У<Уз) =~ С,",с!" — «у<с!ху„из<и, упо<ребляя символиче- л-а скую запись, с(" (у, у«) =- (с(у, + с!уг) (" 1, где для како.'1-либо функции с< мы считаем (с!а)' ! =-- с!«и !« = 0 1, 2, ..., и, с(о и = и<щ «!хо =.. и. Зти формулы непосредственно следуют нз соответствующих формул для производных и-го порядка (см. (10.!), (10.2), (10.3) и формулы (10.10)). В а ж н о е з а м е ч а н и е. Формулы (10.10) и (10.11) справедливы, вообще говоря, при и ~ 1 (в отличие от случая и — -- !) только тогда, когда х является независимым переь<енньнн.
В случае ди«х<герен<хиалов высших порядков по зависимым перез<вин<я< дело обстоит сложнее. Пусть г =- г(у), у = у(х), имеет смысл суперпозипия г!у(х)) и функции г(у) и у(х) двагкды дифферепцируемы. Тогда с!г= г с(у, дифференцируя еще раз и не прибегая для простоты записи к символу 6, т. е. считая запись с((с(г) равносильной записи 6(«(г)<ы ,<, (так всегда и поступают па практине), получим с(ха с((с(г):=- с((г с(У) =- с((гх)с(У+ г с! («(У) г с(У'+ г„«РУ (10.12) Тогда, согласно данному выше определению, для вычисления дифференциала и-го порядка «г«у надо взять сначала дифференциал (мы его обозначим символом 6) от дифференциала с!" 'у: б (с!' — ' у):= 6 (у<" — ' < с!х" — ') —.— (у <"-и с!х" — ') ' бх = у<«о бх с(х««-< затем положить Бх=с(х: 6 ?Е Теорелы о среднеи для дифференцоууелиех функций !66 (мы написали ((е' = ехт((у на основании формулы (9.26), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
