Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 26
Текст из файла (страница 26)
22 Рнс. 24 Рнг. 2Б (последнее вытекает, например, из того, что дифференциал функции единствен, нли нз того, что касательная к графику функции в данной точке единственна по самому своему определени1о). У и р а ж н е н и е 2. Показать, ччо если фунинин у.= /(х) непрерывна в точас х„н н этой точке у' = + со, то графин фуаинни / имеет вил, изображенный на рис. 22, сели нзе у' =- — ес, то — на рис. 23, а если у' =- ос, то график фунинии / может иметь один из видов, изображенных на рис 22, 2з, 24 нли 25, дл, Физический смысл лроизоойкай и йиффереси(иола 9.4. Физический смысл производной и дифференциала Пусть функция 1(х) определена в некоторой окрестности точки х, и, как и выше, Лх = х — хо, Лу = 1(хо+ Лх,) — )(хо).
Пусть для определенности Лх ) О. Отношение —, равное измелу Лх ' нению переменной у иа отрезке [х„хо+ Лх[, отнесенному к единице измерения переменной х, естественно назвать еелнчс>ной средней скорости изменения переменной у иа отрезке [х,, х„+ Лх! относительно переменной х. При стремлепви к нулю Лг, т. е. при стягивании отрезка [хо, х, + Лх! к точке х,, отношение — дает Лг Лх величину средней скорости переменной у относительно переменной х все в меньшем и меньшем отрезке, содер>кащем точку х,. Все сказанное, конечно, справедливо и при Лх ( 0 для отрезка [хо+ Лх хо!. Предел !нп —, если он существует, т.
е. производную !'(хо), лг Ь.олл естественно поэтому назвать величиной скорости изменения переменной у относительно переменной х в точке х,. Заметим, что если в точке х, существует производная 1'(хо), то, рассматривая предел средних скоростей переменной у относительно переменной х на отрезках [хо — Лх, хо + Лх)(Лх ) 0), содер>кащих точку хо внутри себя в качестве центра, при стягивании их к точке хо (при Лх -о 0)мы придем в пределе к тому же значению величины скорости переменной у относительно переменной х в точке х„, т.
е. к /'(хо). л(ействительно. величина средней скорости изменения переменной у относительно пе>>еменной х на отрезке [х, — Лх, х„ + Лх! равна " + — „ " (частному от деления изменения функции на длину отрезка, на котором произошло это изменение), отсюда !'пп 1 (со -1- Лх) — 1(хо — Ьх) глл = — ~ 1нп — — + !пп — — ~ =Г (хо). 1 Г .
1(к + Лх) — 1(>о) . 1(ло — Ьк) — ! (х )1 г Ьх — лл На интерпретации производной как величины скорости изменения одной величины относительно другой и основано применение производной для изучения физических явлений. Применение же дифференциала основано на том, что замена приращения функции ее дифференциалом позволяет заменить функцию линейной функцией, т. е. считать, что процесс изменения зависимой переменной «в маломо происходит линейно относительно >за 6 9, ПС>оизводлал и с>се(>г>хнс>ссп. аргумента. Иначе говоря, можно считать, что изменение функции прямо пропорционально изменению аргумента или, как говорят, что упомянутый процесс «в малом» происходит равномерно При такой замене получающаяся погрешность оказывается беско.
печно малой более высокого порядка, чем приращение аргумента П р и м е р ы. !. Пусть а=а(1) — закон движения материаль. ной точки (рис. 26); з — длина пути, отсчитываемая от некоторой начальной точки Мо; 1 — время, за которое пройден путь з. Пуст> М вЂ” положение точки в моь>ент лс лс' времени 1, а М' — в момент времени 1+ Л1 и Лз — длина пути от точки М до М', т. е. Лз = л сух =з(1+ Л1) — з(1). Тогда —, ест> Ркс. 26 то, что называется в ьсехапикс вел>>нанос! средней скорости дви. да жения на участке от М до М', а !нп — = о есть величина ско.
ас о дс рости движения в точке М или, как говорят в механике, еелнчинс мгновенной скорости в момент времени 1. Таким образом, вели- сь чина мгновешюй скорости о = — '. д>' По определеншо дифференциала сЬ = ос(1; следовательно, дифференциал пути равен расстоянию, которое прошла бы точка за промежуток времени от момента 1 до момента 1+ Л1, если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной величине мгновенной скорости точки в момент 1. Величина же Лз действительного перемещения точки будет Ла = сЬ + о(Л1).
Мы видим, что с механической точки зрении замена Лз на й> означает, что мы считаем дни>кение на рассматриваемом участке равномерным (в смысле величины скорости*') движением. 2. Пусть с) = с)(1) — количество влектричества, протекак>щес через поперечное сечение проводника за время 1; Л1 — некоторый проме>куток времени; Лс) = с>(1 + Л1) — с>(1) — количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента 1 до момента 1+ Л!. Тогда — называетси Лч сс1 средней салий токи за проме>куток времени Л1 и обозначается 1„„ дс! а предел Вгп 1е„= (пп —, называется силой тока в данный мое>-о дс-о л> мент времени 1 и обозначается !.
Таким образом, У = — . дч д! ' '> Следует иметь в вику, что скорость — вектор н потому характериэуетеа ссо только величиной, но н направлением. 9.5. Правила ви«виляния ирои»войн»их >33 х х+вх С х 9.5. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями Все функции, рассматриваемые в этом пункте, предполагаются определенными в некоторой окрестности точки х,. 1.
Пусть функции у, = 1,(х) и у» = 1»(х) имеют производные в >почке х„тогда их счмма ух + у, = г',(х) + 1»(х) также имеет в точке х, производную и ()»+1») 11+12. (9.15) Таким образом, производнан сух>мы функций равна сомме про- изводна»х* дифференциал йц = 1Л1 равен количеству электричества, протекшего через поперечное сечение проводника за момент времени Л1, если бы сила тока была постоянной, равной силе тока в момент Л Как всегда, Лд — й) = о(Л(). 3.
Пусть дан неоднородный стержень длины 1 и пусть гп=гп(х)— масса части стержня длины х, о < х ~( 1, отмеряемой от одного фиксированного конца (рис. 27), Пусть Лт = ~п(х + Лх) — т (х)— масса части стержня между точками, располо>кенными со- вих! л »1 "' Р х и х+ Лх от указанного о Л>я конца. Величина — назы- Риа хг лх вается средней линейной плотностью стержня на указанном участке и обозначается р,„. лт Предел 1пп р,а = 1!гп — называется линейной плотностью стержолх ачя ня и данной точке и обозначается р. Таким образом, р =- —.
лх ' Если плотность р не зависит от х, т. е. постоянна, то стержень называется однородным. Если вернуться к рассмотрению произвольного, вообще говоря, неоднородного стерн<пи, то для него дифференциал йт = рЛх равен массе однородного стержня длины Лх с постоянной плотностью р, равной плотности рассматриваемого стержня в данной точке. Мы видим на этом примере, что, интерпретируя производную как величину скорости, мы должны это понимать в широком смысле слова. Например, плотность стержня тоже «скорость» — скорость изменения массы относительно длины.
Е Э Прагмиидиоя и диФг)хрен!гиря Действительно, пусть у =-11(х)+ 12(х) Луг =11 (хо+ Лх) — 11(хо! Лу =1,(х,+Лх) — 1,(х,), тогда Лу = [11 (хо-[- Лх)+ 12 (хг!.[- Лх)! — [11 (хо)+12 (хо)! = ЛУ1+ ! гуо Поэтому — = — + —, Лх+О. ЛУ ЛУ1 ЛУО Лх Лх Лх' (9. 16 у, 1,(х! а если у эь О в х, то и частное — '= — ' также имеет в точ- 2 о у, 1,(х) ке хо производную, причем Ф Г У! УО У1 Уо ( '('= у,/ (9.18, Действительно, пусть у = 11 (х) 12 (х), Лу, = 1, (х + Лх) — 1, (х,), ЛУ,=1,(х,+ Лх) — 1,(хо), тогда "— 11(ХО+ ЛХ)12(ХО+ ЛХ) 11(Хг!)12(ХО)— = [11 (Хо)+ Луг! [12(Хо)+ Луо! 11(ХО)12(хо) = = ЛУ1 12 (ХО) + 11 (ХО) ЛУО+ ЛУ1 Л) 2 Отсюда —. = — 1 (хо)+1 (хо) — + — Лу, лу лу, ЛУО ЛУ! лх лх Лх Лх и так как в точке х, И У1 И, у 1!гп ЛУ2 -О ЛУ1 ' .
ЛУ, Лл-О ЛХ '.12 О Л! "Лх О Пределы 1(гп —, и 1[ггг —, согласно предположению, сугцелу, . Лу, л -о лх л„ о лх * ствуют и равны соответственно производным уг и уя в точке х„. поэтому предел левой части равенства (9.16) при Лх -ьО суще ствует и равен уг+уо. Но 1ип — =у', поэтому у' в точке х, лу Лх Ллх существует и у' =- у, + у, Формула (9.16) доказана. 2. [?ус!по 41(нкцигг У,==1,(х) и У,=12(х) имеют ггроизводнвю в точке хо, тогда и произведение у,у2=1,(х)1,(х) имеет в точ ке х, производнцю, причем (у, М'= у,' у,+ у, у,'р (9.
1?, З.Э Йяапппа пичиахепия пяоиэпознь!х (функпия ул имеет производную, а потому и непрерывна в точке ХО), то при к=хо существует (нп,—:= у' и лу дк ОЛХ У У! )2+УХУ2' т. е. г!х!рмула (9.17) доказана. Пусть теперь )2 (х,) + О, тогда существует такое Ь) О, что 7(хо+ Лх)+ О для всех Лх, удовлетворяющих условию (Лх)()!. Если положить г = — и ах выбрать так, что й (х) /О (х) (Лх(()г, то лг= й (хо + Лх) г! (хь) г2 (ХО + ЛХ) !О(КО) Ь! (Хо) + Лу! !! (хь) Лу! )О (хь) !! (КО) ЛУО !О (ХО) + ЛУО !О (ХО) 1)2 (КО) + ЛУд (О (ХО) поэтому лу, л„ Л )О(КО) — ГО(КО) Л Лх (!О (КО! + ЛУО1 !г (хо) Отсюда, как и при доказа!ельстве формулы (9.17), заключаем, Лх что при х=х, существует !ип „вЂ” =г' и д„о Дх У! У2 У!У2 г 2 У2 Итак, формула (9.18) также доказана.
Сл едет в и е 1. Пусть функция у = г(х) имеет проиэводнуо в гпогке х„, тогда функция с)(х) (с — посл!санная) также имеет в втой точке производнуго, причем (су)' = су'. (9.19) Таким образом, прогюводна произведения функции на постоянную равна произведеншо этой посгпоянной на производную функции. Действительно, вспоминая, что с' = О, из формулы (9Д7) получим (су)' = с'у+ су' = су'.
С лед с та и е 2. Пусть функции у, = — )л(х), ..., у„=- )„(х) имеют производные в точке х„тогда функция сл/(х) +...+ с 1„(х) также имеет в точке хо производную, причем (сл у, + ... -1- с„у„)' =- сх у ! + ... + с„у„, 9.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
