Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если функция г' дифференпируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных— точки х и переменной г(х: ду = А(к)дх. П р и м е р. Пусть у = х", тогда Лу = (х + Лх)' — х" = Зх'Лх + Зх(Лх)з + Лхз; главная часть выражения, стоящего справа, при Лх- О равна Зх'Лх, поэтому ау = Зх'дх. Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и сугцествованием производной в той же точке.
Теорема 1. Длл тово чгнобы гйункнич / была ди44ервнцируел~а в некоторой точке хв, необходимо и доппаточно, чтобы она имела в воюй гпочне производную, причем в венам слрчав ду = )' (х,) дх. (9.7) Доказательство необходим ~сти. Пустьфункция ( днфференцируема в точке хм т. е. Лу = АЛх+ о(Лх). Тогда 1пп — =А+ йгп — А. Лу . о (Лх) д -оах а -о В Э Пуоссзвуднал и дпффеуенциал $26 Поэтому производная /'(х,) существует и равна А. Отсюда с/у =- = /'(х„) с/х. Доказательство достаточности. Пусть существует производная /'(х„й т. е. существует предел (нп — =-/'(х,). Ьу Ьх О Гогда — г= — /'(х )+а(ссх), где йгп е Лх)=-0, и для Ах+О ас-у Лу ==/'(х,) Ах+ а(йх) Лх, (9.8) и так как е(бх)Лх = сс(бх), то наличие равенства (9.8) и означает дифференннруемость функции / в точке х„.
Теорема доказана. Иэ доказаннс го следует, что коэффициент А, участвующий в опре- делении дифференциала (см. (9.4)), определен однозначно, именно А:=- /' (ха); тем самым и д и ф ф е р е н ц и а л ф у н к ц и и в д а и н о й т о ч к е о п р е д е л е н о д н о з н а ч и о. Это, впрочем, вытекает также из леммы п. 8.4 о единственности глав- ной части бесконечно малых определенного вида, Из формулы (9.7) получается новое обозначение для производ- ной функции у =- /(х): дх Здесь правая часть представляет собой дробь, у которой числитель является дифференциалом функции, а знаменатель — дифференциалом аргумента.
Формула (9. 7) позволяет находить дифференциалы функций, если известны нх производные. Так, например, используя производные, найденные в п. 9.1, получим с/о =. О (с — постоянная), с( 5! и х = соз х с/х, с/ соз х =- — сйп х с(х, с/а-'=а~ 1пас(х, в частности, с/е*=- е'с/х, с/х" = пх" — ' с/х (а — положительное целое). В заключение этого пункта выясним связь между дифференцируемостью и непрерывностью в данной точке. Теорема Уд Если с/сйнкцсся / дссфс/серенцссрйелис и некослоросс писаке, сио онп сс нглргрывнп в эспой аючка. 9.3. Гепнетрнчссний с.числ нронзаоднай и д~фс/г>>енниала 122 В самом деле, пусть функция / дифференцируема в точке х, т. е. в этой точке Ьу =- АЛХ + о(ЛХ) при бх — >- О.
Тогда (нп Лу = А 1цп Лх + И п1 о (Лх) =- О, ан- о йл -О йл-О что и означает непрерывность функции / в точке х,. Заметим, что утвер>кдение, обратное утверждению теоремы 2, неверно, т. е. из непрерывности функции / в данной точке не следует ее дифференцируемость или, что то >ке (см. теорему 1), существование производной в этой точке. Например, функция /(х) = ! Х(, очевидно, непрерывна в точке х = 0 (как и но всех других), но не имеет в этой точке производной. В самом деле, так как /(х) =- х при х ) 0 и /(х) = — х при х -., О, то /.,(О) = 1 и / (0) = — 1. Следовательно, функция , 'х! не имеет производной в нуле.
у и р а ж н е н н с 1. Ввестн понятие днфсререннпр>ечостн фтнкн>~н справа (слева) в данной точке н доказать, что днйк(жреннпруемость справа (слева) в точке эквнвалептна супсествовани>о в этой точке производной справа (слева). Если функция /, имеет производную в каждой точке некоторого проме>кутка (дифференцируема в каждой точке этого промежутка), то мы будем говорить, что функция / имеет производную нли что она дис/>с/>е/>енйиррелса на указанном промежутке. 9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала Понятия производной и дифференциала функции в данной точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой точке.
Чтобы выяснить эту связь, определим прежде всею касательную. Пусть функция / определена на х интервале (а, Ь). непрерывна в точке хос (и, Ь) н пусть уо:== Дхо), ™ и Мо =- (хо, у,), хо+ /1:" (а, Ь), Ин = (ХО+ /ь /(ХО +/>)) ха Проведем секуц>ую М,/Ин (рнс. 20). Она имеет уравнение у =' й(/>)(х — хо) +уо где хо дот й /(ло+ й! /(хо) Рис. 20 й Покажем, что при й -" 0 расстояние М,Л1О стремится к нулю (в этом случае мы будем говорить, что точка Л1>, стремится к точке Лд„ и писать Ма- М,). Действительно, в силу непрерывности функции / У Д Пуоазаоднан и дифференциал ггв в точке х, имеем 1пп !!(хо + А) — 1(хо)! = О; следовательно, при ь-о А О МоМь= —.О. В силу равенства (9.9) существование конечного или бесконечного предела функции А(А) при Л4ь - Л4о, т.
е. при А - О„эквивалентно существованию конечной или бесконечной производной !'(хо), причем Ао = $'(хо). Определение 4. Если сущесгпг(хо+ вует предел!пп А(А) = А, то прямая ь о у ==. А,(х — хо)+ уо, (9.10) которая получается из прял1ой у ==А(А) (х — хо)+ уо при А — нО, называется наклонной касательной к графику функции ! в точке (хо, у,).
Если Иш А (А) = оа, то прямая <рис. 20 и о Ри. гт х = хо, (9.11) которая получается из — =: х — х + — — при А- О, называется У . Уо ° н(ь! =' о ь (ь! вертикальной касательной к графику с~ ункции ) в точке (х, уо). Прямая у = Ао(х — х,) + у, в случае конечного предела 1)га А (А) и прямая х = х, в случае бесконечного предела !!п1 А (А) ь-о ь. о называются предельными положениями прямой (9.9).
Поэтому данное выше определение касательной к графику функции можно перефразировать следующим образом. Предельное положение секущей МоЛ4н при А. О, или, что опо же, при Мо — и М, назывпется касательной к графику функции 1 в точке Мо. В результате мы пришли к следующей теореме. Теорема 3.
Пусть функция 1 непрерывна прп х = хо. В точке (х„!(хо)) существует наклонная касательная к графику функции / тогда и только тогда, когда функция / имеет в точке хо производную (или, что то же, когда она дифференцируема в точке х,). При сапом уравнение касательной имеет вид у = /'(хо)(х — хо) + у„где у = /(х ), (9.12) и, значит, производная в точке хо равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ох, а дифференциал в пачке хо равен приращению ординаты касательной. 9.Э Геанегрический сл~исл ираиэаоднаа и дифференциала !29 Соответственно, в точке (хо, 1(хо)) сУГЦествУет веРтикальнаа касательная и графику функции 1 тогда и только тогда, когда в сиочке х функция имеет бесконечную производную, иричелс в этом случае уравнение касательной имеет вид хо Для полного доказательства теоремы к сказанному выше достаточно лишь добавить, во-первых, что, как хорошо известно, коэффициент уо в уравнении прямой у = яо(х — х,) + у„равен тангенсу угла наклона этой прямой' к оси Ох; поэтому если через а обозначить угол наклона касательной к графику функции ( в точке (леа 1(хо)), то в силу формулы (9.10) будем иметь 1'(»о)=1йа; и, во-вторых, что выражение ) ' (х,) (х — хо) = )' (хо) й, где й может принимать любое значение, является дифференциалом функции 1 в точке хо (см.
(9.7)). Поэтому из уравнения (9.12) следует, что д) = у — усч где у — текущая ордината касателыюй. П р и м е р. Найти касательную к параболе у = »о в точке (1; 1). Согласно п. 9.1 (см. пример 5) у' = 2х„поэтому у'~„~ = 2, В силу формулы (9.12) искомая касательная имеет уравнение у =2(х — 1)-1-1, т. е. у=2х — 1. Если функция / дифференцируема в точке хо, то, подставляя в формулу (9.5) А = Г'(»о) (см. теорему 1 настоящего параграфа), имеем ((»)=уо+1'(хо)(х — хо)+о(х — хо) прн х 'хо и, значит, согласно (9.12), 1(х) — Уи„=о(х — х ) пРн х-ч.хо, Таким образом, наклонная касательная к графику функции облада- ет тем свойством, что разность ординат графика функции и этой касательной есть величина, бесконечно малая по сравнению с при- ращением аргумента при х — »о. Обратно, если существует невертикальная прямая уир=А(»»о)+уо (9ЛЗ) проходящая через точку (хо, у,), такая, что ~(») — уир о(х — хо) при х-ч-хо, (9.14) то эта прямая является касательной к графику функции в точке (хо, уо).
Действительно, в этом случае ( (х) — 1А (х — х,) + уо( = о (х — х,), р 9. Пронзаоднаа и диф4гргнннал ~ао т. е. Лу= — /(х) — у,=.-А(х — х )+о(х — х,), (х х„), следовательно, функция / дифференцируема в точке х, (см. (9.2)) я Л =-- /'(х„) (см. теорему 1), т. е. указанная прямая совпадает с касательной (9.12). Таким образом, условие (9.14) валяется необходимьси и досгпагпсчнмлг //словиелс гпого, силобы прямая (9.13) являлась касагнельной в сио осе (х,, уе), Отсюда, в частности, следует, чго если существует прямая (9.13), обнадающая свойством (9.14), то она единственна Р .22 Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
