Главная » Просмотр файлов » Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ

Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 25

Файл №1077055 Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ) 25 страницаКудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055) страница 252018-01-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Если функция г' дифференпируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных— точки х и переменной г(х: ду = А(к)дх. П р и м е р. Пусть у = х", тогда Лу = (х + Лх)' — х" = Зх'Лх + Зх(Лх)з + Лхз; главная часть выражения, стоящего справа, при Лх- О равна Зх'Лх, поэтому ау = Зх'дх. Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и сугцествованием производной в той же точке.

Теорема 1. Длл тово чгнобы гйункнич / была ди44ервнцируел~а в некоторой точке хв, необходимо и доппаточно, чтобы она имела в воюй гпочне производную, причем в венам слрчав ду = )' (х,) дх. (9.7) Доказательство необходим ~сти. Пустьфункция ( днфференцируема в точке хм т. е. Лу = АЛх+ о(Лх). Тогда 1пп — =А+ йгп — А. Лу . о (Лх) д -оах а -о В Э Пуоссзвуднал и дпффеуенциал $26 Поэтому производная /'(х,) существует и равна А. Отсюда с/у =- = /'(х„) с/х. Доказательство достаточности. Пусть существует производная /'(х„й т. е. существует предел (нп — =-/'(х,). Ьу Ьх О Гогда — г= — /'(х )+а(ссх), где йгп е Лх)=-0, и для Ах+О ас-у Лу ==/'(х,) Ах+ а(йх) Лх, (9.8) и так как е(бх)Лх = сс(бх), то наличие равенства (9.8) и означает дифференннруемость функции / в точке х„.

Теорема доказана. Иэ доказаннс го следует, что коэффициент А, участвующий в опре- делении дифференциала (см. (9.4)), определен однозначно, именно А:=- /' (ха); тем самым и д и ф ф е р е н ц и а л ф у н к ц и и в д а и н о й т о ч к е о п р е д е л е н о д н о з н а ч и о. Это, впрочем, вытекает также из леммы п. 8.4 о единственности глав- ной части бесконечно малых определенного вида, Из формулы (9.7) получается новое обозначение для производ- ной функции у =- /(х): дх Здесь правая часть представляет собой дробь, у которой числитель является дифференциалом функции, а знаменатель — дифференциалом аргумента.

Формула (9. 7) позволяет находить дифференциалы функций, если известны нх производные. Так, например, используя производные, найденные в п. 9.1, получим с/о =. О (с — постоянная), с( 5! и х = соз х с/х, с/ соз х =- — сйп х с(х, с/а-'=а~ 1пас(х, в частности, с/е*=- е'с/х, с/х" = пх" — ' с/х (а — положительное целое). В заключение этого пункта выясним связь между дифференцируемостью и непрерывностью в данной точке. Теорема Уд Если с/сйнкцсся / дссфс/серенцссрйелис и некослоросс писаке, сио онп сс нглргрывнп в эспой аючка. 9.3. Гепнетрнчссний с.числ нронзаоднай и д~фс/г>>енниала 122 В самом деле, пусть функция / дифференцируема в точке х, т. е. в этой точке Ьу =- АЛХ + о(ЛХ) при бх — >- О.

Тогда (нп Лу = А 1цп Лх + И п1 о (Лх) =- О, ан- о йл -О йл-О что и означает непрерывность функции / в точке х,. Заметим, что утвер>кдение, обратное утверждению теоремы 2, неверно, т. е. из непрерывности функции / в данной точке не следует ее дифференцируемость или, что то >ке (см. теорему 1), существование производной в этой точке. Например, функция /(х) = ! Х(, очевидно, непрерывна в точке х = 0 (как и но всех других), но не имеет в этой точке производной. В самом деле, так как /(х) =- х при х ) 0 и /(х) = — х при х -., О, то /.,(О) = 1 и / (0) = — 1. Следовательно, функция , 'х! не имеет производной в нуле.

у и р а ж н е н н с 1. Ввестн понятие днфсререннпр>ечостн фтнкн>~н справа (слева) в данной точке н доказать, что днйк(жреннпруемость справа (слева) в точке эквнвалептна супсествовани>о в этой точке производной справа (слева). Если функция /, имеет производную в каждой точке некоторого проме>кутка (дифференцируема в каждой точке этого промежутка), то мы будем говорить, что функция / имеет производную нли что она дис/>с/>е/>енйиррелса на указанном промежутке. 9.3. Геометрический смысл производной и дифференциала Понятия производной и дифференциала функции в данной точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой точке.

Чтобы выяснить эту связь, определим прежде всею касательную. Пусть функция / определена на х интервале (а, Ь). непрерывна в точке хос (и, Ь) н пусть уо:== Дхо), ™ и Мо =- (хо, у,), хо+ /1:" (а, Ь), Ин = (ХО+ /ь /(ХО +/>)) ха Проведем секуц>ую М,/Ин (рнс. 20). Она имеет уравнение у =' й(/>)(х — хо) +уо где хо дот й /(ло+ й! /(хо) Рис. 20 й Покажем, что при й -" 0 расстояние М,Л1О стремится к нулю (в этом случае мы будем говорить, что точка Л1>, стремится к точке Лд„ и писать Ма- М,). Действительно, в силу непрерывности функции / У Д Пуоазаоднан и дифференциал ггв в точке х, имеем 1пп !!(хо + А) — 1(хо)! = О; следовательно, при ь-о А О МоМь= —.О. В силу равенства (9.9) существование конечного или бесконечного предела функции А(А) при Л4ь - Л4о, т.

е. при А - О„эквивалентно существованию конечной или бесконечной производной !'(хо), причем Ао = $'(хо). Определение 4. Если сущесгпг(хо+ вует предел!пп А(А) = А, то прямая ь о у ==. А,(х — хо)+ уо, (9.10) которая получается из прял1ой у ==А(А) (х — хо)+ уо при А — нО, называется наклонной касательной к графику функции ! в точке (хо, у,).

Если Иш А (А) = оа, то прямая <рис. 20 и о Ри. гт х = хо, (9.11) которая получается из — =: х — х + — — при А- О, называется У . Уо ° н(ь! =' о ь (ь! вертикальной касательной к графику с~ ункции ) в точке (х, уо). Прямая у = Ао(х — х,) + у, в случае конечного предела 1)га А (А) и прямая х = х, в случае бесконечного предела !!п1 А (А) ь-о ь. о называются предельными положениями прямой (9.9).

Поэтому данное выше определение касательной к графику функции можно перефразировать следующим образом. Предельное положение секущей МоЛ4н при А. О, или, что опо же, при Мо — и М, назывпется касательной к графику функции 1 в точке Мо. В результате мы пришли к следующей теореме. Теорема 3.

Пусть функция 1 непрерывна прп х = хо. В точке (х„!(хо)) существует наклонная касательная к графику функции / тогда и только тогда, когда функция / имеет в точке хо производную (или, что то же, когда она дифференцируема в точке х,). При сапом уравнение касательной имеет вид у = /'(хо)(х — хо) + у„где у = /(х ), (9.12) и, значит, производная в точке хо равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ох, а дифференциал в пачке хо равен приращению ординаты касательной. 9.Э Геанегрический сл~исл ираиэаоднаа и дифференциала !29 Соответственно, в точке (хо, 1(хо)) сУГЦествУет веРтикальнаа касательная и графику функции 1 тогда и только тогда, когда в сиочке х функция имеет бесконечную производную, иричелс в этом случае уравнение касательной имеет вид хо Для полного доказательства теоремы к сказанному выше достаточно лишь добавить, во-первых, что, как хорошо известно, коэффициент уо в уравнении прямой у = яо(х — х,) + у„равен тангенсу угла наклона этой прямой' к оси Ох; поэтому если через а обозначить угол наклона касательной к графику функции ( в точке (леа 1(хо)), то в силу формулы (9.10) будем иметь 1'(»о)=1йа; и, во-вторых, что выражение ) ' (х,) (х — хо) = )' (хо) й, где й может принимать любое значение, является дифференциалом функции 1 в точке хо (см.

(9.7)). Поэтому из уравнения (9.12) следует, что д) = у — усч где у — текущая ордината касателыюй. П р и м е р. Найти касательную к параболе у = »о в точке (1; 1). Согласно п. 9.1 (см. пример 5) у' = 2х„поэтому у'~„~ = 2, В силу формулы (9.12) искомая касательная имеет уравнение у =2(х — 1)-1-1, т. е. у=2х — 1. Если функция / дифференцируема в точке хо, то, подставляя в формулу (9.5) А = Г'(»о) (см. теорему 1 настоящего параграфа), имеем ((»)=уо+1'(хо)(х — хо)+о(х — хо) прн х 'хо и, значит, согласно (9.12), 1(х) — Уи„=о(х — х ) пРн х-ч.хо, Таким образом, наклонная касательная к графику функции облада- ет тем свойством, что разность ординат графика функции и этой касательной есть величина, бесконечно малая по сравнению с при- ращением аргумента при х — »о. Обратно, если существует невертикальная прямая уир=А(»»о)+уо (9ЛЗ) проходящая через точку (хо, у,), такая, что ~(») — уир о(х — хо) при х-ч-хо, (9.14) то эта прямая является касательной к графику функции в точке (хо, уо).

Действительно, в этом случае ( (х) — 1А (х — х,) + уо( = о (х — х,), р 9. Пронзаоднаа и диф4гргнннал ~ао т. е. Лу= — /(х) — у,=.-А(х — х )+о(х — х,), (х х„), следовательно, функция / дифференцируема в точке х, (см. (9.2)) я Л =-- /'(х„) (см. теорему 1), т. е. указанная прямая совпадает с касательной (9.12). Таким образом, условие (9.14) валяется необходимьси и досгпагпсчнмлг //словиелс гпого, силобы прямая (9.13) являлась касагнельной в сио осе (х,, уе), Отсюда, в частности, следует, чго если существует прямая (9.13), обнадающая свойством (9.14), то она единственна Р .22 Рнс.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
7,68 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6458
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее