Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Лемма. Пуспсь с/ссснкция / определена, строго лсонопсонно и непрерынна ни инспереале (а, Ь) (конечном или бесконечном) и ссиспсь (см. сг. 4А) у 7. Непрерывность вленентврных функция Теорема б. Пусть функция 1 определена, сепроо леонотонна и непрерывна на интервале (а, Ь) (конечноле или бесконечном) и пусть с= Ит ~(х), й=1)ш )(х). «-ь — о ««в+О Тогда обртпная функция 1 — ' определена, однозначна, строго люнопеонна и непрерывна на инп1ервале с концами с и й. Эта теорема сразу следует из теоремы 4 и доказанной выше леммы. Действительно, функция Г' однозначна и строго монотонна на интервале (с, д), так как в силу теоремы 4 она однозначна и строго люнотонна на любом отрезке (с„й„), и = 1, 2, ... (обозначения см.
в доказательстве леммы), и выполняются условия (6.8) и (5.9). 11аконец, функция 7" ' непрерывна в каждой точке уь~(с, й). В самом деле, для каждой такой точки можно подобрать номер и, так, что с„„(ув(й„, и непрерывность функции ) — ' в точке у„выгекаст из теоремы 4, примененнои к функции 7, рассматриваемой на отрезке (ав„йн,). Теорема доказана. й 7. НЕПРЕРЫВНОС1Ь ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ 7.1. Многочлены и рациональные функции Теорема 1. Всякий много иен непрерывен в каждой точке. В самом деле, функция у = с, где с — постоянная, непрерывна, ибо се приращение елу равно нулю, и поэтому )нп еху = О. ал О Функция у = х также непрерывна в любой точке х„„ибо если у,=х„то Лу=у — у,=х — хь=бх.
Пусть задано е) О, тогда, беря 6 = е, получим, что из условия ~ Ьх | ( б следует ! еху ~ = ! Ьх ! ( б = е. Это и означает непрерывность функции у = х в точке х = х,. Всякий же многочлен получается из функций вида у = с и у = х с помощью сложения и умножения и поэтому является непрерывной функцией в каждой точке (см. п. 5.2). Теорема 2. Всякая рациональная функция — (Р(х) и ~г(х)— Р(х) О(х) многочлены) является непрерывной функцией во всех точках, в которых ее внаменшпель не обрасцаегпся в ноль.
Это непосредственно следует из того, что миогочлеиы Р(х) н Я(х) непрерывны в каждой точке и частное непрерывных функций также непрерывно во всех точках, где делкпель не обращастсв и нуль (см. п. 5.2). 7.2 Локаеатеяьная, яогарттфмачеекая и отененная функции Теперь, если Я>(хь) + О, то, в силу теоремы 2, этот предел равен просто —; если же Я>(хь) = 0 (и, значит, Р,(х,) + О, ибо в про! >(хь). О,(хе) ' тинном случае дробь — можно было бы сократить на множитель Р,(х) С/>(х) х — х„), то этот предел равен оо. П р и м е р ы.
хт — Зх+2 . х — 2 ! 1. И>п = )пп > хт — 1 т ! х+! 2 кх — х — 2 . к — 2 2. Игп = Ип> — = оо. хт — 1 к > к — 1 7,2. Показательная, логарифмическая н степенная функции Мы будем предполагать известными свойства степени а', где а)О и г — ра>нюнальнпс число, г= —, р и т) — целые.
г)а- Р помним их. 1. Пусть г>г. »х. Если а.»1, то и' к. а", а если а(1, то пт, )пм 2. а" а"=а'+". 3. (а' )" =и' ". 4. аь=! Здесь везде т', т, н г,— рациональные числа. т!з св<>йств 2 и 4 следует, что а-"а' а"=1. Отсюда 1 п-' = —. от ' (7.1) Эту теорему весьма удой>но использовать при нахождении пределов рациональных функций. Пусть требуется найти (пп —. Р(х) , О(х)' Для этого нужно сначала произвести, если, конечно, это возможно, Р(х) сокращение дроби — на множитель (х — х )" с максимально боль- О(х) о шнм показателем и > 1.
Тогда если получнвщугосм рациональную дробь обозначить —, то (см. п. 4.4) Р,(>) ч> >(х)' 1пп — = Игп Р (х) . Р> (к) к х. О(х) х х. О>(х) 4 7. Ненрермвниегь злененгирные функулед Далее, из свойств 1, 4 и из (7.1) вытекает, что а' ~ 0 для любого рациональиоги числа г. Действительно, если г ) 0 и а > 1, то в силу 1 и 4 а'л- а" = = 1 ) О. 01сюда, согласно (7.1), имеем а-' = — > О.
1 ие Аналогично неравенство а" ) 0 доказывается и при а ( 1. Определим прежде всего степень а* для любого вещественного х и а)0. Для зтого докажем две леммы. Лемма 1. Для ллобого а) 0 1 1пп ан =1, (7.2', 1 Огп а " =1. Доказательство. Пусть сначала а)1. Положим ! х„= а" — 1. (7.4) Из свойств 1 и 4 степени а' с рациональным показателем г следует, что (7.5' х„) О. Из (7.4)„очевидно, имеем а = (1 + хн)".
Раскроем правую часп по 1)ормуле бинома Ньютона: а=(1+х„)"=-)+ах„+ .. и отбросим все слагаемые в правой части, кроме второго. Тогда используя (7.5), получим а "лх„ и и, следовательно, О( хн( —, позтому !нп х„=-О. Откуда, соги Ф Ю ласно (7.4), ! 11го ан 72 Покое«тельная, логорифл!ическпя и е!е«!янин Чнаикции Если теперь 0(а(1, то Ь= — )1, и так как в силу дока- ! ! заииого 1!!и 6« =1, то ! ! 1!гпа« =-1;„' '« =.)ип ! «. «1«) « Ь« 1 =- 1.
1ия Ь« ! Если а=-1, то а'= 1, и =1, 2, ..., и, значит, также 1!гп а« =- 1. « Такам,Юрам!м, (7.2) доказана при любом а >О. Отсюда сразу следует (7.3): 1 !!гп а "==. 1пп « 1 == 1. ! 1!и! и'! « !а«' — 1((в и !а "' — 1!(з и, значит (см. свойство 1 степени), ! 1 — е ( а "' ( а«' 1+ з. 1 1 1 Еслии — рацпоиальиое число и !!!!( —, т. е. — — (л(— ие' ' ое и ! ! то а "' (а" ( а«' и, значит, ! — е(а"(!+в.
Таким образом, !аь — 1!(е, ссли Ь рациоиальио и )6)(6, где 6= —. Для и !а >1 лемма доказаиа. Для а ( 1 оиа доказывается аналогично, только соответствующие неравенства, согласно свойству 1 степени а' при а ( 1, надо писать в обратную сторону. При а = 1 лемма очевидна. Определим теперь степень ае для лк!!бого псщсствсшюго х. Лемма доказана. Лемма 2. Пусть а)0. Для тобоео е ) 0 существует такое 6=--6(е))0, чвт для всех рациональных чисел й, уг)овлетворян>и!их условию ! Й((6, вьполняется неравенство )аь — 1)(е. Доказательство. Пусть сначала а >1. Из (7.2) и (7.3) следует, что для данного фиксированного з)0 существует такое пе, что й 7.
Неьрерывноехь элементарных э)эанкния 100 Определение 1. Пуань а ) О, а х — произвольное вещесэпвенное число. Пусть, далее, (г„) — послеэовательноеть раииональньт чиа.л, сходягиряся к числу х (для любого х такал последовательность всегда существует, ем. и. З.б). Положилэ по определению а =-! ! ш а ". Зто определение корректно в том смысле, что указанный предел всегда существует и не зависит от выбора рашюнальной последовательности (гь), сходящейся к числу х.
Докажем это. Пусть последовательность рациональных чисел (г„) сходится к числу л. Покажем, что последовательность (а'") удовлетворяет условиям критерия Коши (см. п. 3.3) и, значит, является сходящейся последовательностью. Для этого нам надо оцепить разность (ахэ = ахы~ ахы)а и гэ~ ! ~. (7.8) Последовательность (г„) сходится и, значит, ограничена (см. п. 3.2), поэтому существует такое число Л, которое без ограничения общности можно считать рациональным (почему?), что — Л ( г„< Л. Отсюда в случае а> 1 имеем а л <а'м .
а", а в случае а (1 соответственно а"")а"' > а", п =- 1, 2, ...„поэтому прн любом а) 0 существует такое число В, что а' (В, и=-!. 2, ... (7.7) (В = ал при а > 1 и В == а ' при а(1), т. е. последовательность ахм ограничена сверху числом В. Далее, по лемме 2 для любого фиксированного е ) 0 существует такое 6 = 6 (-1, что для всех рациональных г, удовлетворяющих ус~в) ловию !г! ( 6, выполняется неравенство ! а' — 1 ! ( — ' В (7.8) Из сходимосги же последовательности (г„) в силу критерия Коши (см. п.
3.3) следует, что для найденного 6 ) 0 существует такой номер пб, что ! г„— г,„! ( 6 для всех п > пб и т > пб и, значит, в силу (7.8) 1а'» ' — 1 ~ В (7.9) Из (7.б), (7.7) и (7.9) следует, что ~ а' — а" !(в для всех п>п и т > пх. Откуда в силу критерия Коши получаем, что последовательность (а' ) сходится.
7 2. Показательная, логприфлииеекпя и степенная функнии 10! Пусть теперь (г„( — другая последовагельиость, сходящаяся к х. Покажем, что песледовательиости (а "к( и (пи'( сходятся к одному и тому же пределу. Составим новую последовательность г„, если л=-2й-(-1, у=О, 1, ..., т„, если и=2й, й=1, 2, .... ~ | ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ 1 ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ о (7.10) Очевидно, что Игп т„= х, поэтому в силу доказанного существует е т предел 1пп а ". Предел же любой сходящейся последовательности к -» совпадает с пределом любой ее подпоследовательиости, поэтому 1!гпа"'= 1!ща'" =!!га'. (7.11) к-»» "( "«"' и, переходя к пределу при л-» оо, получим а ~~а" а"- и".
(7.12) Корректиость определения а" доказана. Определение 2. Пусть вадино некоторое число а > О. Функцая а", определенная для всех х ~ ( — оо, + по), называется показательной функцией с основанием а. Согласно определеиию, 1к = 1 для всех вещестпеииых х. Этот случай ие представляет интереса. Поэтому в дальиейпюм будем предполагать а+ 1. Теорема 3. Показательная функция а' (а) 0) имеет следуюгциз свойстлаа. 1. При а » 1 она стлроео люнотонно возрастлает, а лри а ( 1— спорого монотонно убьиаеьл на всей числовой оси. 2. а" ° а"=-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
