Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Наконец, перенося /(х,) в равенстве (5. () в левую часть равенства, внося /(«о) под знак предела и замечая, что условие х -о. хо равносильно условию х — х, -» О, получим (5.7) Игп (/(х) — /(хо)) О. х «» о Разность х — х, называется прираи(ениель ареул(ента и обозначаетси Ьх, а разность /(х) — /(х„) — ггриралцениелс функции, Упрааснение). Йока- зать, что если в определении предела функции / в точке хо в смысле п.
4.4 или п. 4.5 отбросить условие х чь х.„то мы получим определение нейрерывности функции / в точке х„. Например, если функпия /(х) определева на интервале (а, Ь), «ос(а. Ь) и если существует число А, обладающее свойством, что для любого в > О существует такое 6-6(.), - (/(х) — д(< всех «, удовлетворяющих условию в точке хо. (х — хо(<б, то функция / непрерывна Исаи»разность сйулкггигг а ХО«ХР соответствующим данному приращению аргулгента Лх, и обозначается Лу; таким образом, Лх =. х хе> ЛУ =1(х„+ Ьх) — 1(х,).
(5.8) В этих обозначениях ранено~во (5.7) перепишется в виде 1пп Лу=-О, Дх- О (5.9) т, е. непрерывность функции в точке означает, гто бесконечно мало- му приращению аргумента соответствует бесконечно малое прираще- ние функции. 1 Примеры. 1.
Пока>кем, по функция 1(х) =- — непрерывх на в каждой точке ха+О. В самом деле, ! 1 ЛХ Лу = 1 (х„-1- Лх) — ) (х)— Х«+Д Х Х» (»«+ЛХ) ХО откуда при х„+0 имеем ЛХ Ип! Лу= — Игп =О, Дк О Д». О (Хр+ ЛХ) Х« что и означает, согласно (5.9), непрерывность функции 1 г«(х) =- — в точке ха. Х 2. Покажем, что функция 1(х)=-!з!((пх( (см. рис. 13) не является непрерывной в точке х, == О. Действительно, !ип )з!уг>х(=-1 и этот предел не совпадает со «-О значением з(ап0=-0. Определение 2.
Луслгь теперь (рункцая1определена на интервале (а, (г), кроме, быть мозгсеггг, о!очки х, ~~ (а, Ь). Если г)>ункция 1 не непрерьюна в точке х„, гпо пачка х„н зывается точно!) разрыва 4унгсг(ии 1. У п р а ж н е н и е 2. Сформулировать определение точки разрыва функции в позитивном смысле. т, с. ие употребляя викакик отрицаний «не». «нет», «нельзя», «невоз««южно» и т. п.
(см, п. 3.!). 1(ха — 0) =- Иш 1(х) и 1(ха+ 0) =- Игп 1(х), Х-х.— О Х- Х,+О то >почка ха называется гаечкой разрыва тгервогю рода. Величина 1(ха+ 0) — 1(хе — 0) называется скачком г)гункции 1 в >>!очке Определение 3. Если .к, — точка разрыва г)гункции 1 и существуют конечные пределы В.1. Тогскгс нелрерыеиогггик и точки разрыва функтш Еелсс /(хо — 0) = /(хо + 0), пю хо называепия тоской дтгсранилгого разрыви. Последнее оправдано тем, что если в этом случае видоизменить или доопределить (еслн функция / была не определена в точке х,) функцию /, положив /(хо) =- !нп / (х) ==- 1пп /(х), к кк+О к к,— О то получится непрерывная в точке х, функция.
Точка разрыва ф/снкци и /, не ссвлясосс(аяся и»сякой разрыва первого рода, называепсея псочкой' разрыва второго рода. Таким образом, в ~очках разрыва второго рода по крайней мере один из пределов Ипс /(х) и !пп /(х) не существует. (Здесь пол прелелолс, как обычно, +О ' к — О понимается лишь конечный предел.) У и р а иг и с и и е 3. Сформулировать определение точки разрыва второго рода дли функции в позитивиом смысле.
Функция /(х) = з!(!п х (см. рнс. 13) имеет в точке х, = 0 разрыв 1 . 1 первого рода, а функции /(х) = — и /(х) =- з!и — в точке х„= О нмесот разрывы второго рода. Всякая функция, монотонная на некотором интервале, может иметь только ~очки разрыва первого рода (см. следствие теоремы 4 и. 4.8). Определение 4. //усто функция /' определена на полуинтервале ,'а; Ь! (соопытспсвенно на полуинтервале !а, у)) и лог (а, ц (ссклптетеггсвенно хггс !а, /т)). Функция чазываетея непрерывной слева (непре- у оывной спривп) в гпочке хо, если !пп /(х) = /(х„) (соответственно если к к — О кч ! !с 1/(х) =- /(хо)). г »к+О П р и и е р. Рассмотрим функцию, определенную на всей числовой оси и .а «ля каждого числа х равную нанболь- -1 1 г Г О .нему целому числу, лсеньшему нли -1 равному х.
Риг. 16 Эта функшся имеет специальное обозначение у = !х), что читается гу равно еп/сег х»*'. Ее график изображен на рис. 16. Функция !х! т точках х = и, и = О, +1, +2, ..., непрерывна справа и разОывпа слева; во всех же других точках она непрерывна как справа, гак и слева, таким образом, в частности, !х! непрерывна справа во всех точках. ° 1 епссаг — пелмй (фрапц.). й Б. Нвирвригвивсги фиикхии в тииие 5.2. Свойства функций, непрерывных в точке Теорема 1. Еслсс функцшг 1 и у непрерывньс в пачке х„, то функции с1 (с — постоянное) 1+ рй 15, а если, кроме того, у(хо):1«0, то и функция — — тпкже непрерывны в пгочке хг,.
1' Эта теорема вытекает непосредственно из определения непрерывности и свойств пределов функций (см. и. 4.0). Докажем, например, непрерывность функции 1д. Согласно свойству 4 п. 4.5, имеем !пи 1(х) ут(х) =- Ит 1(х) !пп д(х)=--1(хо) у(х,), (5.10) л'« « л- «л (5.1 1) |у — уо!(Ч, ! 1(у) — 1(уо)! и. е. то (6.12) Далее, для полученного г) ~ 0 в силу непрерывности функции ф в точке х, существует такое 6 = 6(т!) ) О, что если !х — х,!и 6, то !ф(х) уо! г Ч.
нйо пределы 1'пп 1(х) и !пп у»(х) существуют и в силу непрерывности «- л, «л„ 1 и У в точке х соответствещю Равны 1(х,) и д(хо). Выполнение Равенства (5.10) и означает наличие непрерывности функции 1а в точке хо. Лемма. Пусть функция у = ф(х) непрерывна в точке х„п функция 1(у) непрерывна в и»очке уо = ср(хо), пшгда существует 6-окрест"ность 0 (хо, 6), такая, что ггри х с-0 (х„6) имеет смысл сложнпя функция 1(ср(х)!. Действительно, поскольку функция 1 непрерывна в точке у, то она определена в некоторой е-окрестности 0 (у, е) этой точки; тогда, согласно (5.5), существует окрестность О (х„, 6), такая, что ср!0(х„6))с:.О(у„е), следовательно, дли х-' 0(хо, 6) имеет смысл суперпозиция Лср(х)!. Теорема 2.
Пустпь функция у = ср(х) непрерывнп в точке хг„ а функция 1(у) непрерывна в пшчке у, == ср(х„), тогда сложная функция 1 !ф(х)! непрерывна в ишаке х,. Короче, но менее точно: непрерывная функция от непрерывной функции является непрерывной функцией. Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего согласно только что доказанной лемме, ело>иная функция 1(ср(х)) определена в некоторой окрестности точки хси и потому осожно ставить вопрос о ее непрерывности в этой точке. Пусть фиксировано е ) О. Тогда в силу непрерывности функции 1 в точке уо существует такое т! = Ч(е) > О, что если 'ь А Оериниченнопь непрерньнмх функций Таким образом, если ] х — х,] ( б, то выполняетси условие (5.11), где у = ср(х), а значит, и (5.12), которое для рассматриваемого случая имеет вид ]!" ]р(х)] — )]р(ха)]]( .
Это и означает непрерывность сложной функции /(ср) в точке х . Теорема доказана. Утверждение теоремы можно записать в виде формулы 1!т 1]тр(х)] =1]йпг гр(х)1, (5.13) нз которой видно, что операция предельного перехода переетаноеочна с операцией езтгшя непрерыоной функцигг. В самом деле, левая часть равенства (5.13) равна 1(ф(хь)1, согласно утверждению теоремы, правая часть также равна 1]гр(х„)] в силу непрерывности функции гр(х) в точке х„.
Г!ри отыскании пределов непрерывных функций теорему 2 удобно использовать еще в одном виде, в виде следующего правила. Правило замены переменных для пределов непрерывных функций ]ип 1 (у) =. 1ип 1 ]ср (х)1 У-"Уь Теорема 2 естсствепным образом переносится и на случай односторонней непрерывности (сформулируйте ее в этом случае). У яр ежи ения, л. доказать, что если для функции х:= цг(г) существует предел 1'илчг(г) =-хь, а фуикмля у=- !(х) непрерывна в точке хь, то г- г„ в некоторой окрестности точки гь, кроме, Сыть ьюжст, самой точки г, имеет смысл суперпозиция !'!ц (г)! и существует !ии ! !ф(г)1 = 1(хо) г- г„ Зг. Сформулироиать и доказать правила замены переменных для односторонних пределов функции.
й 6 СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ПРОМЕЖУТКАХ 6.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений Определение 1. сдункцгт, г,пределенная на отрезке(а, б] и непрерыанагг а каждой его точке, назыеаетея фрнкцией, ненрерыаной на отрезке. 00 а д Сввасевв функция, непрерывных вв вяввехиизхих Прн этом под непрерывностью в точке а понимается непрерывность справа, а под непрерывностью в точке Ь вЂ” непрерывность слева.
Аналогично определяется и непрерывность функции на промежутке любого другого вида. Теорема 1. (Вейерштрасс"'). Всякая непрерывная нп отрезке функ[[ил ограничена. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное — что существует некая функция [(х), непрерывная па некотором отрезке [а, б[, но неограниченная на [а, й!. Последнее означает, что для любого числа е) О существует такая точка х, ([а, б[, что ! [(хе) ! ) е. Беря последовательно а = 1, 2, ..., л, ..., получим последовательность точек х„! а, 5[, для которых ! )(хв) ! ) п. Согласно теореме Больцано — Вейерштрасса (см.
п. 3.2), из последовательности (х„) можно выделить сходящуюся подпоследовательность (х „). Пусть 1!щх„=хе. Из условия а (х„„:-, й, у=1, 2, ..., следует (см. и. 3.1), что а ~ хв ( Ь. Теперь, замечая, что !)(х, )~ >-ял и Ип! ие = + оо, имеем 1!в[(х„„)==ос; с другой ве л е е- ю стороны, в силу непрерывности функции [ в точке х (см. (5.3)) !пи[(хв ) =- )(хв), и частности, РассматРиваемый пРедел конечен. Полученное противоречие и доказывает теорему. Заметив[, что теорема, аналогичная теорех[е 1, не справедлива для промежутков другого вида, чем отрезок; в атом легко убедиться, ! построив соответствующие примеры.
Например, функщщ у = — непрерывна в каждой точке интервала (О; !) и вместе с тем не ограничена на ием; функция у = х непрерывна на всей вещественной оси и неограничена на ней. Теорема 2. (Вейерштрасс). Всякпя нелрерывнпя на отрезке срункс[ия инее!я нп этом о[през[се как наиболы[вее, пгпк и нп[пнены[лее значение. До к а з а т ел ь с т в о. Пусть функция ) определена и непрерывна на отрезке [а, б! и Л( == зцр [; согласно теореме 1, Л[ — ко[е. Ц печно, Допус[нм, <[то функция [ не достигает своей верхней грани М, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
