Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2.1 и 4.!), для нсякого фиксированного е ) О существуег такое хе ~ (а, Ь), что А — е (/(х ) < А. Положим Ь = Ь вЂ” х . Тогда в силу монотонности /(х))~/(хо) для любого х)хо, а в силу определения верхней грани /(х) < А. Таким образом, если Ь вЂ” Ь . х с,. Ь, то А — ОС/(х) (А. Это в силу произвольности е и означает, что 1!ш /(х)=-А. -ь — о Если зцр /= +со, то для любого фиксированного е сущест(а. О( вует такое хо ~ (а, Ь), что /(х ))е.
Положим снова Ь=Ь вЂ” х тогда в силу монотонности /(х))~/(х,) ) е для люоого х. такого, чго хе= Ь вЂ” 6< х . Ь, а это и означает, что !ип /(х) — - +со. к-ь — о Аналогично доказываются и другие утверждения теоремы. Определение 8. ///усп(ь функция / определена на числовом множестве Е. Функция / называе(лся монотонно возрастаюгцей (монотонно убываю(цей) на Е, если для любых х, (с Е и хь (( Е, п(аких, что х, ( х,, выполняется неравенс(лво /(х,) а /(хь) (соответсп(венно /(х,) > /(х,)). Теорема 5. Если функция / люнопюнно возрастает на ин(лервале (а, Ь), то в точках а и Ь у фун(сции / гуи(еств//ют (конечные или бесконечные) иди<хи(оронние пределы и 1(гп /(х) =- зир /, Ип( /(х) =- )и( /.
к Ь-О (а Ы к а+О <а. Ы 4.Р. Критерий Коши сугцествования предела функции С л е д с т в н е. Монолгоннсгя на интервале функция 1 и.неет ко. нвчный предел как справа, так и слева в каждой томке утлого интервала. Действительно, если функция 1 монотонно возрастает (убывает) на интервале (а, 6), то, каково бы нн было х,, (а, Ь), 1(х,) <1(х,) <)(хз) для любых х, ~ (а. х„) и хв(хгн Ь) (соотнетствен~о 1'(хт) )~ 1(ха) ..- 1(хз)).
11оэтому еир 1 < Г'(ха) < (н(1 га, «а г«в ы (соответственно ш1) > 1(ха) > ьцр 1), т. е. пределы Игп )'(х) Га пд нею «-«,+в и !нн г'(х), существующие согласно теореме 4, конечны. ««„— в У и р а >к н е н н е 7. Доказать, что теорема 4 остается справедливой и в. случае, когда интервал (а, Ь) бесконечен. 4.9. Критерий Коши существования предела функции Применяя термин «окрестность», понятие предела для различных случаев можно перефразировать единым образом. В дополнение к введенным ранее в и. 3.1 и 3.4 понятиям окрестности числа и символов оо, +оо н — со введем енле понятиеодноспюронних окрестностей тсла х, (в отличие от обычных окрсстггостей, которые естесгвенно назвать двусторонними), а именно б-окрестность слева 0(ха — О, б) определим по формуле 0(ха — О, 6)=-(х: ха — 6(х с х,', 6)О, и 6-окрестность справа 0(ха+О, 6) — по формуле 0(ха+О, 6)=(х:ха~(х(ха+б), б)О.
Теперь сфорлгулируел« определение предела функции с нолгощью понятна окрестности. Онределеггие 9. Величина А (т. а. число или один из символов оо, +со, — оо) называвтггся пределом функции 1 при х — а (гдв а — «гила х„пли один из символов ха + О, х„— О, со, +оо, — оо), если для мобой в-окреспгносгпи 0 (А, в) величины А сусчвспгвуепг такая 6-окреспь но ть 0(а, Ь) величина а, что((х)с 0(А,е) длягкехх~О(а, б), хна (в случаях а = х, + О и а = ха — О последнее условие понимается по определению как х+ х,). Нетрудно убедиться, что зто определение содержит в себе в качестве частных случаев все данные раньше определения соответст. вующих пределов функций.
Введение такой терминологии позволяет упрощать доказатель. ства теорем о пределах функции, проводя их единым образолг, для 4 ч. Фрнксссси и их пределы двусторонних и односторонних, лля конечных н бесконечных пределов функций независимо от того, стремится аргумент к конечному или бесконечному пределам. Как и в случае прелела последовательности, можно получить необходимое и достаточное условие того, что функция ! имеет предел при х — а, не используя самого значения предела, а в терминах лшпь значений самой функции в окрестности величины а.
Сформулируем зто условие, пользуясь понятием окрестности, чтобьс прн нх локазательстве не разбирать отдельно случаи, когда а является числом х„и когда а является оцнилс из силсволов оо, — оо, +со, хь + О, хь — О. Определение 1О. Пусть функция 1(х) определена в некотороб окрестноспси ееличаны а, кролие, быть лсоокессс, х = а, (если это и«сеет смысл.
т. е. если а =- хч — число)..Бусдем гоеортпсь что функцсся 7 при х - а удоялетеоряет услолто ((оссссс, если для лсоГ«сго числа е .> О сусцестоует токае число 6 =- 6(е) ) О, тпо [ [(х') — [(х) [ ( е для любы«х Г 0 (а, 6), «' (-' 0 (а, 6) и х + а, х' + а. Теорема 6. (критерий Коши). Для того шссобы функс(сся имела конечньсб предел при х — а, где а — либо число хсь либо один из симеолсм оо, + ос, — оо, хл + О, хь — О, необ«одсиио и досссссспсочно, чтобы они удсхслесссеорссла услоеисо Косисс при х -л а. Доказательство ссеобходилсости. Пусть 1!пс ((х) =- Л, гле А — число. Это означает, что для любого е ) О к и существует такое 6 =-бы >О, что для любой тосски «~ 0(а, 6), хба, [1(х) — Л [< е.
(4.!6) Пусть х ~ 0(а, 6), х' ~ 0(а, 6), х+а, «'+а, тогда в силу (4.16) [с (х) — ! (х) [ = [ [((х) — Л[+ [А — !(х)[ [ < ~4[)(х') — А[+[((х) — А[( — + — =е, 2 2 т. е. условие Коши выполняется. Доказательство аостаточ ности. Пусть последовательность (х„) такая, что !!пс х,=а, х,+а, п=1, 2, .... (4.1?) Покажем, что послеловательность |(х,), и = 1, 2, ..., сходится. Пусть фиксировано е ) О. Согласно условию Коши, существует такое 6 = 6(е) ) О, что для всех х Г 0(а, 6), х ~ 0(а, 6), х+а, х'+а, (4 18) 4.9. критерцд криш рарцрртррвцция цредрла 4црчцццц выполняется неравенство 3)(х') — 1(х)! (е. (4.19) В силу условия (4.! 7) для окрестности 0 (а, 6) существует такой номер лм что х„~ 0(а, 6) при л ) ли поэтому при любых и > пь и т>п~ х„~ 0(а, Ь), х,„( 0(а, Ь), и, значит„в силу (4.18) и (4.19) условие !)(х ) — )(х„))(е, т.
а. последовательность (/(х„)) удовлетворяет условию Коши для последовательностей и потому сходится (см. п. 3.2) к некоторому числу В: (4.20) !пп ((х„) =В. и Покажем тепергь что Ип1 )(х„) = В, и- какова бы ни была другая последовательность (х„~. такая, что Ип1 х„=- а, х„+а, л=-1, 2, .... л Действительно, образуем новую последовательность (4.2!! х„, если л =21+ 1, й=б, 1, 2, и†х„, если л=2А, й=1, 2, ....
1!т ) (х„) = Игп ! (х„) =- !пп )'(х„). 6 и- Таким образом, согласно определению предела функции (см. п. 4.4! !пп ((х>=В. Критерий Ковш для фупьпий доказан. Очевидно, Ип1 х„=а и х„~а для всех л=1, 2,.... Поэтому л по доказанному сушестнует предел Иш((х,,), а так как предел и любой сходящейся последовательности совпадает с пределом любой ее подпоследовательности, го й В Непргрнппаеть фяпкчпп и тачке ье 4 ее. НЕНРЕРЫВНОЕТЬ ФеНКЦИИ В ТОЧКЕ 5.1. Точки непрерывности н точки разрыва функции Определение 1. Функиггя 1, определеннал на ггнгггервале (а, Ь), нпзываеглся непрерывной в гпгжкв хек (а, Ь), если 1пп ) (х) =- ) (х„).
(5.1) я ед Согласно определению предела функции в точке(см. п. 4.4), это утверждение равносильно тому, что для любой последовательности х„, и = 1, 2, ..., х„( (а, Ь), такой, что !пи хе== хек и последовательность () (х„)) сходится и !пп ) (х„)=)(х,). (5.З) (5.2) Согласно же определению предела функции в точке (см.
п. 4.6), условие (5.1) равносильно условшо: для любого е ) О существует такое б = б(е) ) О, что для всех х, удовлетворяющих условию !х — х,)(б, (5.4) ') Мм, естественно, причисляен понятие пределе функции при к -и + еп и я -и -пе и понятию одностороннего предела. В случае, если а == х„является числом, то условие Коши можяо перефразировать следующим образом: для лк>бого е ) О существу т такое 6 = 6(е) ) О, что ! !(х') — 1(х)! ( е для любых х и х', удовлетворяющих условиям ! х — хе! ( 6, ! х' — хе! ( 6, х + хе, х' =,'- хе. В случае же когда а =- оо условию Коши можно придать следующий аид: для любого е ) О существует такое 6 =- 6(е) ) О, что !/(х') — 1(х)! ( я для любых х и х', удовлетворяющих условию ! х ! ) 6„! х' ! > 6. Следует отметить, что зги два критерия существования предела функции, относящиеся к разным случаям и имеющие разную формулировку, благодаря удачно выбранной терминологии (понятию окрестности) получили единое доказательство.
ДЛя СЛуЧая ОдиаетарОПИНХ ПрЕдЕЛОВтч УСЛОВИЕ Коши можно перефразировать без терминов окрестности следующим образом: для любого е ) О существует такое т) = г)(е), что 1 7(х') — 1(х) ! ( е для любых х их', удовлетворяющих условию г) ( х ( а, г) ( х' ( а в случае предела слева и соответственно а ( х ( г), а ( х' ( г) в случае предела справа. Бд Точки нсяреямяяосгя и точки рязрыяо фоякяпн выполняется нерапснство (рис.
15) (/(х)-/(хо)(< и (5.5) Отметим, что при этих определениях непрерывности функции в точке хо в условиях (5.2) и (5.4) опущено требование х+ х, так как н данном случае оно является лишним (почел1уу). Х/хо/+е Рпс. (б Определение непрерывности функции / в точке хо можно еще перефразироватьь так: функция /(х) непрерывна в точке хо, если, какова бы ни была заданная степень точносги и ) О для значений функции, существует такая степень точности для аргумента 6 = 6(е), что коль скоро мы возьмем значение аргумента х, равное л; с точностью 6, т.
е. удовлетворяющее неравенству (5.4)„и возьмем в нем значение функции /, то мы получим значение /(х„) с заданной степенью точности, т. е. будет выполнено неравенство (5.5). Как и в случае определения предела, определение непрерывности функции в точке моною дать па языке окрестностей. Функция / непрерывна в точке х„если для любого е,» О найдется такое 6) О, что (5.6) /(0(хо„б)) с= 0(/(хо), е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
