Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Величина погрешности при этом дается величиной остаточного члена. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано дает регулярный метод выделения главной части функции в окрестности данной точки. На этом обстоятельстве и основаны богатые и разнообразные приложения формулы (13.5) в различных вопросах анализа. У и р а ж н е н н е !. доказать, что если фупкпня 1(х) в некоторой окрестностн точка хо имеет пронзнодную порядка л, то, какова бы нн была точка к этой окрествостн н какова бы нн была фуькпня ф(О, непрерывная на отрезке с конпамн н точках хо н х, нмеюшая не ранку!о нулю пронзводную внутри этого отрезка, найдется такая точка $ между точкамн ко н х, что для остаточного члена гл (х) формулы Тейлора функпнн 1(х) будет справедлива формула ф ( ) ф(хо) 1 (х оч)ч — ! л ф (к) (и !)! Получнть отсюда елсдуюшнс виды запнсн остато чного члена: гл(х) = (, !))-(х — ко) (» — 1), р ) О (форма Шлсмнльха — Роша)„ ~'"'(с) г,(х) = — л! -(х — хо)' (форма Лагранжа), /гл>(хо+ й(х — х,)] го(к) = (и !)! - (! — 0)а (х — хо)", О < э < 1 (фоРма Кошн).
У к а з а н н е. Рассмотреть всполюгательную б ункпн!о "-.,' )(м (!) гя (!) = ) (х) — ~ун й (х — ()» о=.о н применять к функпням ю н Ч теорему Коши о среднел~ значении. Для вывода остаточного члена в форме Шлсмнльха — Роша яолоншть ф(!) = (х — йя. 13.2. Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки )з„(х) = ч Лак~ ь-о (13.9) Заметим предварительно, что, очевидно, всякий многочлен степени н 13.2. Тк) ногочлен Тейлора !77 для любой точки х, может быть представлен в виде а Р„(х)= ~ч~~ а (х — х )ь. (13.10) ь-о В самом деле, достаточно в (13.9) положить х =- х„+ й и разложить правую часть по степеням й, тогда Р„(х) =о„+а, й+ ...+ а„йа, где й=х — х„, т.
е. мы и получили (13.10). Многочлен Тейлора степени и является многочленом, наилучшим образом среди всех многочленов степени п приближающим функцию 1 ев бесконечно малой окрестностиь точки хь, т. е. при условии х- х,. Прн этом такой многочлен оказывается единственным. Более точно, имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Пусть функция 1 определена и дифференцируема до порядка и включительно в точке х„и пуапь )' (х) = Р„(х) + о ((х — х,)'), л где Р„(х) = ~~ аь(х — х,)' — некоторый лшогочлен степени, меньл=.о шей или равнои п, тогда 1 (ло) м (13.12) т. е.
многочлен Р„(х) является многочленолг Тейлора. Иначе говоря, никакой многочлен степени, меньшей илн равной и, отличный от многочлена Тейлора, не может приближать рассматриваемую функцию с точностью о((х — хь)") при х -~. хь (а значит, и с более высокой точностью о((х — хр)"), й г и). Д о к а з а т е л ь с т в о. Из формул (1З.б) и (13.11) следует, что и г) а — (х — х,)" + о ((х — хь)") =- ~~) а„(х — хо)" + о ((х — х )'), откуда в пределе при х -~ х, получим аь = 1(хь). Отбрасывая в обе.
их частях равенства этот член, сокращая оставшиеся в обеих частях выражения на (х — хр) (х+ х,) и замечая, что о ((х — х,)') =- е(х) (х — хь)", где 1ип е (х) = О, к-к, и, значит, при х-+х, )к =е х)(х — х„)"-' =о((х — х,)" — '), и —..1,2, ..., (3 Формула Тейлора получим " 1' (х.) х 11)(л) ," (х — хе)е — '+о((х — х,)" — ')= а ,' а„(х — х„)' — '+ о ((т — х,у'-'). а=1 Теперь в пределе прн х- х„имеем ал = 1'(х„).
Продолжая этот процесс дальше, по индукции легко получим /<л)(хо) а„ = „, , А = О, 1, 2, ..., и. Теорема доказана. Единственность представления функции в виде (13.1!) может быть иногда использована для разложения функции по формуле Тейлора. Именно если удается каким-либо косвенным путем получить представление (13.11), то в силу теоремы 2 можно утверждать, что это и есть разложение по формуле Тейлора (13.5), т. е. коэффициенты многочлена выражаются по формулам (13.12). Так, например, формула (13,10) есть разложение многочлена (13.9) по формуле Тейлора, причем в этом случае г„(х) = — О, поэтому согласно теореме 2 коэффициенты миогочлена (13.10) имеют вид р1 1(ле) пл = Ы Таким образом, р (л) а=о В частности, при разложении многочлена степени л по формула Тейлора остаток л-го порядка тождественно равен нулю.
Пусть требуется разложить по формуле Тейлора функцию 1 1 ((х) = — в окрестности точки х,=О Замечая, что — есть =1 х О= 1 — х сумма бесконечной геометрической прогрессии ! — =-1+х+х'+ ...+х'+ ..., )х!(1, н полагая а+! г„(х)=х"+'+х"+'+ ... = —,", )х((1, получим — = 1+ х+ ...
+ ха+ г„(х), 1 (79 !3.3. Пр44,44ер»4 разложен44х ао формуле Тейлора где «„(х)=0(ха+4! и, значит, «а(х)=о(х') при х-»-О. Таким образом, представление ! а — =. 1+х+ ... +х" +0(х") = ~~~ х»+0(х") »=о ! и есть разложение функции — по формуле Тейлора в окрестности нуля. 13.3.
Примеры разложения по формуле Тейлора 1. ) (х) =- з(п х. У функции з!пх существуют производные всех поряд- ков. Найдем для нее формулу Тейлора при хо = О, т. е. формулу Маклорена (13лй). Было доказано (см. п. 10.1), что (з!и х)<е! = = з!п(х+р — ), поэтому (!">(0)=з!и 2 =-[ рл ! О для р= 2/г4 а=О, 1, 2, ..., (13.13) [(-1)' для р=2й+1, н, согласно формуле (13.5), х» х» х» л х»Л+! з!пх=х — — +- — — — + ...+( — 1)" +о(х'»+2), 3! з! 7! "' (2л+ !)! — оо(х(+ оо, п= О, 1, 2, ..., (13.14) или, короче, х»+ з! и х = ~~9„( — 1)' + о (х'"+').
(29+ !)! » о Мы написали здесь остаточный член в виде о(хе»+х), а не ввиде о(х»»+!), так как следую!цпй за написанным членом многочлена Тейлора в силу (13.13) равен нулю. 2. ~(х)=созх. Как мы знаем (см. п. 10.1), (99(х) =сок(х + м2 ), поэтому ((р) (0) рп ~ 0 длЯ Р= 2й+ 1, (( — 1)" для р = 2Д, х» х4 х» л х» созх=1 — — + — — — + ... +( — 1)' -1-о(х'"+'). 2! 4! 6! (2л)! — оо(х(+ оо, л =О, 1,2, ..., (13.15) а 13. Форл<улл Теалора илн, короче, хл" соз х = ~~" ( — 1)" — — — + о(хо'+'). (2л)Г о=о 3. 1(х)=-е".
Поскольку (е")'л' = е*, то 1!"!(0) =-1, и =О, 1, ...; поэтому кл хл хл е"=1+х+ —,+ — + ... + —,+о(хл), — оо(х(+ оо, и=О, 1, 2, ..., (13.16) или, короче, к.л ех = — 1 о(хл) 2 и Отс!ода, заменяя х на — х, получим л хх е — ' == '~)" ( — 1)" —" + о(хл).
1И (13.17) и сЬ хлл — —, складывая и вычитая ех ) е л 2 е — е 4, зйх — — — — '— 2 (13.16) и (13,17), получим хе+1 зЬ х =-. лл — + о (хзл+х), лье (2л+ 1)! л С11Х=-лл' — +О(Х'л"), И=О, 1, 2 ... — оо(Х(+ оо. (2л)1 л=о и, следовательно, (1 х)а 1 + сох+ (а ) х + а(а 1)(а 2) л-1- + а (а — 1) ... (а — л + 1) л! Э и == О, 1, 2...,, — оо ( х ( -1- оо, В силу единственности представления функции в указанном виде (см. теорему 2) полученные формулы являются формулами Тейлора для функций зйх и сЬх.
5. 1'(х)=(1+х)а, а — некоторое фиксированное число. Так как 1!" 1 (х) = а (а — 1), ..., (а — и + 1) (1+ х)а ", то 11"!(0) = а(а — 1) ... (а — и+ 1) /84 Выыислсмие лределоо с оомои1ыо формили Тсдлоро или, короче, о (1+х)о=1+'~"" " -' '+"х»+о(х). »! » 1 6. /(х) = !п(1+х). Легко видеть, что /' (х) = + — — (1+ х)-', /"(х) = — (1+ х)-э и вообще, /пи(х) = ( — 1)"-'(й — 1)! (1-1- х)-», й = 1, 2, . Поэтому /нч(0)=( — 1)»-' (А — 1)1, /1=1, 2, ..., и так как /(0)=0, то 1и (1+ х) = х — — + ... + ( — 1)'-' — + о (х"), и=1, 2, ..., — 1~х(+ оо, или, короче, л „» 1п (1+ х) = ~~~~ ( — 1) ' — + о(х"). 1ЗА. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (метод вьщеления главной части) формула Тейлора дает простое и весьма общее правило для выделения главной части функции, В результате этого метод вычисления пределов функций с помощью выделения главной части функции приобретает законченный алгоритмический характер.
0 Рассмотрим сначала случай неопределенности вида — . Пусть О требуется найти предел Ит —... где Иш /(х) =-- И1п р(х)=.. О, / (к) «. х, х-х„ «о В этом случае рекомендуется разложить по формуле Тейлора функции / и д в окрестности точки х, (если, конечно, это возможно), ограничивпшсь в этом разложении лишь первыми ие равными нулю членами, т.
е. взять разложения в виде /(х) = п(х — хы)л+ о ((х — хр)"), а+ О, л(х)= Ь (х — х,)'"+ о((х — хо)), Ь-ь О, й !о каор»жла Тейлора 182 тогда 1(х) И п (х — х,)" + о ((х — хо)и) к-к„!! (») к-к, Ь(к — хо) + о((» — ко)"') О, если п >т, о —, если и=т ь Э и = — !пп(х — х )"- оо, если и ( т. Подобно вычислению пределов с помощью правила Лопиталя при применении метода выделения главной части к раскрытию неопределенностей вида О оо н оо — о их следует преобразовать к о неопределенности вида —. Наконец, для раскрытия неопределенностей вида О", оо и 1 указанным методом надо их предварительно прологарифмировать. Посмотрим на примерах, как применяется формула Тейлора для вычисления пределов функций.
Пусть требуется найти предел ек — е ' — 2х Игп „р к — о!ах Замечая, что (см. и. 13.3) хо ко е =1+х+ 2 + З!+0(хо), хо хо е — ' = 1 — х+ — — —. -1- о (хо) 2 3! хк з( и х = х — — + о»хо), 3! Часто бывает удобно для разложения функций( и и по формуле Тейлора использовать готовый набор разложений элементарных функций, полученный в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
