Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 50
Текст из файла (страница 50)
и. — см. и п. 4.1. Теорема 3. Если функция / определена и непрерывна на ограниченном зимин//гном множсогт, то она огрпниченп и досгпигает своей верхней и нпжней граней. Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала первое утверждение об ограиичсипостц рассматриваемой фуикпии /.
Допустим противное: пусть существует ограниченное замкнутое множество А ~ Ь и определенная иа ием иеограиичеииая непрерывная функция Тогда для любого натурального ш(гп =- 1, 2,...,) существует точка хыи ~~ А, такая, что (/(х~л«>) ! > пь Так как А ограиичепо, то последовательность (хам) ограцячеиа. Согласно теореме Болнгаио— Вейерштрасса (см. п. 18.1) из этой последовательности можио выделить сходящуюся подпоследовательиость !х'""). Пусть 1!шх~"'«1=-х'"'. Так как А замкнуто, то хее>~А.
Теперь, с одной стороны, ! /(хи"е~) ! > пл„и, значит, /(хп"") -е. оо при я- ио, с другой: /(х' "')-э./(хкч) при й-э-оо. Полученное противоречие и локазывает, что всякая непрерывная иа ограивчеином замкнутом множестве Л функция / ограничена. Пусть теперь зцр / = М. Докажем, что существует по крайней л мере олиа точка хл"'( А, для которой /(х'щ) =- М. Допустим снова противное: пусть /(х)чь М для гсех к~ А. Тогда функция ес(х) = ! ) также определена и непрерывна па ограниченном замкнутом множестве Л, по в силу определения верхней грани фуикция <р ие ограничена иа А.
Полученное противоречие локазывает достижимость верхней грани /И при слелаиаых предположениях. Апалогичио доказывается и лостижимость нижней грани ш = !п! /. Теор ема локазапа. Перейдем теперь к рассмотрению обобщения теоремы Коши о промежуточных зцачеииях (см. и. 6.2) лля случая фуикций многих перемепиых. Теорема 4. //усеяв функция / определена и непрерывна в облампи бс Е', гпогда, принимпч какие-либо два значения в 6, функция / принимает в 6 и любое значение, заключенное между н,'елиа.
19,4 Теолел<и о <Ьннкянях, неореривны» но л~ноя<еетвок До к а з а т ел ь с т во. Пустьфункция) непрерывна в области 6 ~ Е", пусть л<н ~ О, х'з> ~ б, )(хн>) = а, 1(х'з>) = Ь и, например, а( Ь. Пусть, далее, с — какое либо число такое, что а(с(Ь. Согласно определеншо области (см. определения 24 и 25 в п. !8.2), существуез такая кривая х(1), ас 1<(\, что х(п) = х<'>, х(()) =- х<з> и х(1)~6 при всех 1~ (а, р). Если х(1) =- (х,(1)), то, по определению кривой, функции х<(1) непрерывны на отрезке (а, (3!.
Согласно же теореме 2 о суперпозиция непрерывных функций многих переменных, функция 1(х(1)) = =-1(х<(1),..., х,(1)) также непрерывна на отрезке (а, (з!. Так как 1(х(и)) =- а, 1(х((з)) = Ь и а ( с ( Ь, то, согласно теореме Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на отрезке (см. и. 6.2), су<цествует точка 1о~ (и, (!), такая, что 1(х(1в)) = с. Полагая х<"> = х(1,)„имеем х<о> С 6 и 1(х">) =- с. Теорема доказана. С л е д с т в и е. Финк«ия 1, определенная и непрерывная а зал<кн)<<<пой облагпш 6, принил<ая какие-либо даа значения, принилчает а О и любое >зрол<ежуточное.
Дока вате льство. Пусть 6 — область, функция 1 определена и непрерывна на ее замыкании б, х<'> <- 6, х<з> ~ 6, 1(х<»)=-а, 1(х<'>) =- Ь н пу<пь для определенности а .с( Ь. Докажем, что существует точка с <- 6, такая, что 1($) = с. Возьмем е.—,- п><п(с — а.
Ь вЂ” с), В силу непрерывности функции ) в точке х<'> существует такое б=-б(е))0, что если х <- 0(х<'>; б)г б, то (((х) — 1(х<»))(е и, значит, (1(х) — а !(с — а, в частн<кзи, 1(х) (с. Точка х<'> ( 6, т. е„точка х<'>. является точкой прикосновенна множества 6, поэтому в окрестности 0(х<'>; б) заведомо существуег точка, принадлежащая 6, обозначим ее у<". Таким образом, у<»<-0(х<'>; б)г 6, и поэтому 1(у<'>)(с. Аналогичным методом доказьиается существование зочки у<'><-б, такой, что 1(у<я>) ) с. Из существования в области 6 точек у<'> н у<'> с указанным свойством в силу теоремы 4 вытекает существование в 6 точки такой, что 1(5) = с.
Следствие доказано. Отметим, что ни при доказательстве самой теоремы 4, ни при доказательстве ее следствия не использовалось то, что множество 6 открыто. Использовалось лишь то, что любые две его точки можно соединить кривой, принадлежащей самому множеству, т. е. что оно связно. З !у. Предел и непрерывность функций многих переменных У и р а ж в е и и е 4. Пусть функция 1 определена, непрерывна н ирннимает значение разных знаков на открытом множестве.
доказать, что ииожество точек, в которых 1 ча О, является открьн ым инсокест вон, но не является область>о. Задача 11. Построить ирвиер области П, в замыкании которой существуют две точки, не соединяемые в 6 нсарерывной кривой. 19.5. Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности Наряду с понятием непрерывности функции в точке в математическом анализе большую роль играет так называемое поиитие равномерной непрерывное>н1 функции на множестве.
Определение 9. Ф1>нкц!г>! 1(х), >трсделенная на лгножесяюе Ес: Е", называется равномерно непрерывно!) на Е, если для любови е) 0 сугцестврет 6 =- 6(е) ) О, >лакее, ьчпа для любых двдх тси>ек х' 1. Е, х" ! Е, 1>давлетворяющих дславгао р(х', х")<6, (19.10) выпаля>!е>яся неравенство ! 1(х') — ) (х") ! < а. (19.
1! ) Отметим, что если функции / равномерно непрерывна на множестве Е, то она и просто непрерывна на Е, т. е. непрерывна в каждой точке х1с> -Е. Чтобы в этом убедиться, достаточно, например, в (19.10) и (19.11) положить х" =- х!ю. Если же функция 1 непрерывна в каждой точке хГ Е, то для любого е) 0 существует лишь 6 =-= 6(е; х), такое, что нрн р(х, х') < 6, х' Е, х'~' Е выполняется неравенство )/(х) — 1(х')~ < е. В этом случае выбор 6 зависит не только от е, но, вообще говоря, н от точки х. Подчеркнем, что в случае, когда функция ) равномерно непрерывна на множестве Е, выбор соответствующего 6 зависит только от е и не зависит от выбора рассматриваемых точек множества Е. Рассмотрим примеры.
1. Функция 1(х) =- х равномерно непрерывна на всей числовой оси„ибо, если задано е) О, достаточно взять 6 == с, тогда если ) х' — х" ) < 6, то в силу равенств 1(х') = = х', Ях") =- х" получим ~ 1(х') — 1(х") ! < е. 1 2, Функция 1(х)=- гйп —, хФО, не будет равномерно непрерывной на своей области определения, т. е. на числовой оси, из которой удалена точка х =- О.
В самом деле, если взять, например, е = 1, то при любом сколь угодно малом 6 ) 0 найдутся точки х' и х", например, точки вида ! 1 х' =-- "и и х" == 3 --+ 2нп 2- л + 2лп (У.д Рллномерлал непрерывно«тл функций (и — достаточно большое натуральное число), такие, что !х' — х"! < Ь', а ам(рте с тем ~ /(х') — /(х )!) !. В качестве достаточного признака равномерной непрерывности функций одного переменного на интервале отметим следующий.
Лемма. Если функция /(х) определена и имеет ограниченную производную на некотором интервале (а, Ь), то она равномерно непрерывна на этол( ин(пер«иле. Действительно, если !/'(х)(<с (с — постоянная) на (а, Ь), то с помощью формулы конечных приращений Лагранжа (см. п. 11.2) получим (/(хл) — /(х) ! = )/'(В)(х" — х')) < с (хл — х'), а(х'(Ь. а(х" Ь, а($(Ь. (19.12) Поэтому для в) 0 достаточно взять 6= —, тогда если )х" — х'1 < 6, а< х' < Ь, а< хл< Ь, то в силу (19.12) (/(х ) — /(х )!(е, что и означает равномерную непрерывность функции / на (а, Ь).
Лемма доказана. Аналоги п(ый результат имеет место для любого промежутка, конечного или бесконечного. Обобщение этого критерия на мно- гомерный случай будет дано в и. 39.2. Принципиальное значение имеет следующая теорема. Теорема 5. (Кантор). Функция, непрерывноп на ограниченном эал(кнутом множестве, ривномерно непрерывна. С л е д с т в и е. Функция, непреры(«(ая на отрезке, является равномерно не(грерывно(1. Доказательство проведем от противного.
Пусть существует функция /, определенная и непрерывная иа некотором ограниченном замкнутом множестве Е, ио неравномерно непрерывная на нем. Тогда существует такое а, ) О, что для любого 6) 0 найдутся точки ха ~з Е и х6(- Е (индекс «Ьл у точек означает, что эти точки зави- сят от выбора 6), для которых р(хб, хб) < 6 и вместе с тем (/(ха) — /(ха) ~ > е„. Возьмем какую-либо последовательность чисел 6„ ! р(л! (ак,чтобы!ппб«=О,например,бл=„-, п=1,2,.... Пустьх' =х6, л.л, хбл = ха, и, значит, "ои (л> л Р (хн, хл ) ( —, (/'(х" ) — /(х' ) ~)~ел. (19,13) ,(л> Множество Е ограничено, а х' ~Е, и==1. 2, ..., поэтому ,(л> последовательность (х,' ) также ограничена и из иее по теореме Больцано — Вейер(отрасса (см.
и. 18.1) можно выделигь сходя. (лл)(.. (ла) шукюя подпоследовательность (х' ' 1; пусть 1пп х' а ЛЛ Лредел и иелрернлностл флллииа ииоеих лереемллих 878 Точка $ является точкой прикосновения замкнутого множест- ва Е, и потому $ ~ Е. (ли)1 Рассмотрим теперь подпоследовательность (х" ) последовал(л)! ) ,(ла)1 тельности (х 1, соответствуюпьую подпоследовательности (х л(ля) Дока>кем, что 1!)п х" Дейстгительно, р (х"л, ь) <р(' ', х' ')+р (х' ",5) с" 1 +р(х' „5), и так как (ля) 1 р(х' ", $) -эО и — — О при А — (-оо, ии то и р((хл и, $) — О прн й- оо, а зто и означает, что ("и) х" " — ~я рри й-~сю, ~(л),)) В силу непрерывности функции 1 в точке с(Е, ((х ')- ((Д „(л),)) и 1(х" ") — я-1($) при /г- оо, и, значит, 1(х" «') — 1(х' ")- О при й- оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
