Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 49
Текст из файла (страница 49)
о у-о у«о х о Просто же предела нет, ибо, нак легко видеть, предел вдоль координатных осей равен нулю, а вдоль прямой у = х предел 1 равен — . 2 ' Таким образом, только из существования предела фуннцин в данной точке не следует существования повторных пределов и этой точке, и наоборот, из существования повторных пределов не следует существования предела и соотнетству)ощей точке.
Тем не менее, определенная связь между этими понятиями может быть установлена. Теорема 1. Пусть функция Дх, у) определена на множеапве Е, содержтцем все точки некоторой )грямоугольной окрестности Р((хо уо); б„ба) точки (х„у,), кроме, быть может, точек прямых х = х, и у = у,. Если суицес)пвуепг предел функции 1' в точке (х„у„) по множеству Е и если при любом у ~ (уо — бм уо + ба) у уь уо сугцеапвует предел" (19,1) 1ип 1 (х, у) =- д (у), х х, то ппвторньиг предел )ип !ил 1(х, у) сугг!ествуеп) и у у„х-«х !ип 1ип !(х, у) —.-- Игп 1(х, у). (19.2) у у х х«гх.
у) гх„. у„). <х, у)ЬЕ Доказательство. Пусть Ит 1(х, у) = А н пусть (х, у)-«(х«у«), гх, у!Ее фиксировано произвольное е у О. Сущестнует прямоугольная окрестность Р == Р ((хо, уо); г1„г)о), 0< ти(б„О(т!о(йо, такая, что если 0(!х — хо(()1„0(!У вЂ” уо((г)о, то (19.3) В силу существования предела (19.1) для любого числа у такого, что 0(! у — уо!())о, из (19.3) следует, что а это и означает, что 1ип д(у)=-А. у- у. Теорема доназана.
«) Как асегда, под пределами понимаются иоиечиые пределы. В И Предел и неирегнвногтн функциа многих иелеяенннг етв Как и для случая функций одной переменной, для функций )(х) многих переменных можно определить предел Ип1 ((х), т. е. предел, к когда точка х = (х;) неограниченно удаляется от начала координат, иначе говоря, когда )г хе+ ... + х, — +оп, а также предел по одной из переменных хг прн условии хг- со н повторный щ вдел по переменным х,— оь и х;- ео (г', 1 = 1, 2,..., и). Очметпм, что и в этом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 1. 6(ожпо ввести и понятие бесконечных пределов. 61ы всего этого делать не будем, предоставляя это проделывать учащемуся по мере потребности. 3 а м е ч а и п е.
В дальнейшем будут рассматриваться суперпозицип функций многих переменных. Для сложных функций многих переменных справедлив аналог правила замены переменного для пределов функций, установленного ранее для функций одного переменного (см. п. 4.5). Его формулировку и доказательство (также аналогичное одномерному случаю)мы предоставляем читателю. 19.2. Непрерывность функций Определение 7. Пусгпь функция 1определена на множа.
стае Е<:Е". Функции 1 называегпся непрерывной в гпочке х'щ — Е, если для любого е ) О существует такое б = б(е), нто для всех х — Е, ) удовлетворлкхцих условию р(х, хлм) ( 6, выполняегпся неравенство )) (х) — 1(х~и) )(е. (19.4) 1пп г'(х) =) (хата). к(0) «е Б (19.5) Заметны, что это определение в случае и = 1 шире соответствующего определения непрерывности, данного в п. 5.1, так как мы здесь не предполагаем, что функция г определена обязательно в некоторой окрестности точки х<">.
Определение непрерывности (в отличие от сформулированного в п. 19.1 определения предела) не предполагает и того, что точка хлщ является предельной для множества Е. Точка хщ1 может быть и изолированной; при этом в изолированной точке множества Е функция ) всегда непрерывна, ибо в этом случае в качестве 6) О, участвующего в определении непрерывности, всегда можно взять такое 6, что окрестность 0(х~" и 6) не содержит других точек множества Е, кроме самой точки хщ>, а для точки х = х~м условие(19.4), очевидно, выполняется прп любом е > О. Если же точка х<щ является предельной для множества Е, то данное определение непрерывности функции ) в точке хкч эквивалентно условию <д2.
Непрерывность функций эт> Из сказанного следует, что если функция,>, определенная на множестве Е, непрерывна в точке х<">( Е, <о либо х<ь> является предельной точкой множества Е и тогда выполняется условие (19.5), либо х< "> является изолированной точкой. Если в равенстве (19.5) перенести 1(х<и>) в левую часть и обозначить Лу = )'(х) — 1(х<ь>), то условие (19.5) перепишгтсн в виде (19.6) 1цп Лу = О. р(к «<т) О, кв е Число Лу называется приращением функции я точке х<ь>, соответствующим изменению аргумента от точки х = <х< ) до точ<ь> «ьц ки х = (х>).
>ак как р (х, х<ь>) = 'т> Лх>+ ... +Лх~, где Лх<=х,— х<<"', < = 1, 2, ..., и, то непрерывность функции( в точке х<щ означает, что ее приращение Лу в этой точке стремится к нулю, когда приращения Лх, всех ее аргументов стремятся к нулю. Лемма (о сохранении знака). Если функция 1 определена на множестве Ес:Е" и непрерывна в точке х<э> ~ Е, причем 1(х<в>)+ О, то сущее>пвует окрестное>нь 0(х<">) оючки х<ь>, такая, что з|нп)(х)=-з(цп<(х<и>) для всех х(0(х<и>) л Е. Д о к азат ел ьств о. Найдем, например, сферическую окрестность, для которой выполняется указанное свойство. Пусть е =)1(х<в>) /, тогда в силу непрерывности существует такое б) О, что <<(х) — 1(х<ь>)~(1~(х<и>)~ для всех х~0(х<в>„Ь), т.
е. >(х<в>) ) р(х<ь>) < ч')(х) < ) (х<и>)+ >1(х<ь>) ~, к ~0(х<а>; 5). Если Р(х<">)>О, то ~(х<и>) — ~Р(х<в>) ~=О, и поэтому Р(х)>О, если же )(х<ь>) ' О, то ~<(х<ь>))+) (х<">)=О, и поэтому 1(х)(0 при х~0(х<в>; б) - Е. Лемма доказанаь Совершенно аналогично случа>о и = 1 доказывается, что если функции 1 и д непрерывны в точке х<"> множества Е, то функпии 1+ а, с) (с — постоянная), йт, а если д(х<и>) эь О, то и — также непрерывны в точке х<в>. у Рй Предел и непрерывность»ру»нк»»ий инолит переменных 19.3.
Непрерывность суперпозиции непрерывных функций Пусть на некотором множестве Е»~Е задана система и фУнкций ч> (>), »!е(г) " »Р,(!) г=-(»>, ..., !а)(Е„и пУсть на некотором мно>ксстне Е„~Е" задана функция 7(х), х=-(х„..., хи)» Е„. Если (ф>(!), Ч'е(»)... »рн(!)) (-Е, для л>обои точки ! СЕр то имеет смысл говорить о сложной функции >(Ч„..., »р„), т. е. функции, ставящеи в соответствие наждой точке ! ( Е, число )(»р>(»), ..., Ч„(()). Функция )(Ч>,..., ф ) называется также сулерпозиипей функций ! п»р>п ..., »ри, Теорема 2. Оус»пь плебея> смысл сложная функция 7(ср„..., »!»„~.
Если»)>!»нк»!»»и Ч„..., »Рн непР»рылнь» е точке !>о> ~ Е, с: Е, а Ч>ункц»»я >' непрерывна е»почке х<о>=-(Ч >(Но>), .„, Ч»и(уо>))(-Е„~Е", то сложная»рун>»»(ия ДЧ»„..., »!»,) непрерывна л пючке !» >, Д оказ а тельство. В силу непрерывности функции! в точке х<о>=-(х>>о>, ..., хню>) для любого е) О существует >1=->1(е) > О, такое, что (19.7) )7(х) — р(х<о>)) (е для всех точек х > Р(х>о>; >1) — Еи '>, т. е. для всех точек х=-(х„..., хи) ь-Ен, для которых >к,— х';"') т>, >'=1, 2,..., л. (19.8) В силу же непрерывности каждой пз функций»р>, >'=1, 2, ..., п, в точке 1>о> для указанного 9 ) О существуют б, = 6>(9) ) О, такие, что )Ч (!) — Ч: (Н'>)!(т> (19.9) дЛ я ВСЕХ Г ~ Е» - 0 (Но>; 6';:).
Обозначим через 6 наименьшее из чисел бо > = 1, 2, ..., и. Тогда для всех ! ( Е, ° О(!»ь>; б) и всех >= 1, 2 ..., и выполняегся неравенстио (19.9), т. е. неравенство (19.8), где х>=Ч,(»), х>у'=-Ч>,(!'"'), >=-1 2,..., н. Позтому для всех 1~Е»»-0(уо>; 6) выполняется условие ! ! (х) — ! (хго>) ~ ( а, где х = (ЧЧ (!)), х<о>.=- (»р> (у ">)), что и означает непрерывность сложной функции 7(Ч>„..., »ри) в точке Но>. Теорема доказана. »> Здесь удобнее пользоваться прапор»ольиой окрестностью Р (х> >; Ч), >о>.
чеи сферической. 1УХ Теор»»~ы о йункцил», непрерывных на ннов»воевал Как видно нз проведенных рассуждений, доказательство теоремы 2 по идее повторяет доказательст во соответствующей теоремы для и =1 (см. п. 5.2). 3 а меч а ни е. Если функции цц (1), ..., цв(1), определенные на множестве Е,г:.Е, непрерывны в точке Рм~Е,сЕ», а функция 1 определена в некоторой окреспюсти точки х<и=(цт(1ю'), ..., ц,„(1<'))), то существует такая окресгность 0(рю) точки И>, что для всех 1~0(1(в1) "Е, имеет смысл суперпозиция Р(м...,ц.) Таким образом, когда функция 1 определена не на каком-то множестве Е„, содержащем точку х~в1, а на множестве, содержащем некоторую окрестность точки х»в', го требование существования суперпозиции 1(цм ..., цв) в условиях теоремы 2 можно отбросить.
Действительно, если функция 1 определена в какой-то окрестности точки х~в1, то существует н прямоугольная окрестность Р(лчг>; »)) этой точки, в которой функция 1 также определена. В качестве же искомой окрестности точки 1нч можно взять 6-окрестность этой точки, построенную прц доказательстве теоремы 2. В самом деле, если 1~ 0(йв>; 6)",Еп то, согласно неравенству (19.9), полу- ЧНМ (Ч,(1), ..., 9» (1)) С Р(ЫВ(; 9), Н, СЛЕданатЕЛЬНО, СЛОжиая фуНКцня опРеделена на 0(1юь, 6)г,Еп С помощью теоремы 2 можно легко установить непрерывность функций, большей частью встречающихся на практике, а именно так называемых элехкчпарных функций многих переменных. Определение 8.
Функции, получающиеся из переменных х,, ..., х„ с помощью конечного числа суперпшиций, операций глоэкенил, ул~ноэкенин„деления и вахтин элементарных 4ункций одного перел~енисею, низыеоютсн элементирными функциями переменных х,.„,хв. »э »ив Например, функция 1(х, у) = хе '+т является элементарной функцией двух переменных х и у. Действительно, 1(х, у)=-хв, ш=е", о==уз, г=-з(п1, Р' сс =- ху, р =. х+ у. Из теоремы 2 следует, что всякая элементарная функция многих переменных непрерывна в каждой точке области своего определения.
!9А. Теоремы о функциях, непрерывных иа множествах Фуигция 1 называется непрерывной на множеспме Е, если она непрерывна в каждой точке множества Е. Докажем ряд теорем о непрерывных функциях на множествах. Эти теоремы доказываются аналогично соотнетствующим теоремам й И Предел и не«лес«лвноет«функиип ин«еих «еиеменннх лля функций одного переменного.
/йы рассмотрим их при достаточно общих предполояееииях, это позволит более глубоко выясиить, с чем связаны рассматриваемые свойства непрерывных функций. Б!ачцем с обобгцеиия теорем Вейерштрасса (см. п. 6.1) па многомерный случай. Определение ряла поиятий, которые будут рассматриваться киже, как-то: ограцичецпость фуикции, верхняя и нижняя грани фуикции и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
