Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Если к = х(в), у = у(в), г — а(в) представ- ление этой кривой, то, как мы знаем (см. п. 17.1), дх ду дг дл ' да ' да — =сова, — =сов(1, — =-сову, т. е. также ныполпяется (20.45). Поэтому если взять производную в точке (х„у„ге) от дифференцируемой функпии /(х, у, я) по данной кривой, т. е. при к = х(в), у = у(в), г = г(в), то мы снова получим формулу (20,46). Все сказанное переносится на функции л|обого числа п переменных (и ) 2). Сформулируем лишь определение производной по направлению.
ю Легко проверить, что если ато условие выполняется в одной декартовой системе координат, то оно выполняется и в любой другой подобной системе. й>>.6. Произподнап по направлению Пусть в некоторой окрестности точки х>о> =(х>~~>) определена функция ~(х) и пусть х' ' =(х) ') — точка этой окрестности. Проведем прямую через точки х<о> и хм> или, чтото же(см.п.18.2), прямую через точку х>о> в направлении где р и <о>)п >=1 (20А8) Ее уравнение имеет гид >о> х>=х;'"+ ' ' в, — оо(з(+оо, 1=1, 2,..., и, или, полагая х>» — х)о> сова = > Р (20.49) 1 хр> — х'"> ~ что имеет смысл, ибо ' ' < 1, получим Р х,=хо'+осока>, >=1,2, ..., и, — оа (з(+по. (20.50) созпа>+ ...+созпа =-.1.
Про»за>дная функции 1(х„..., хп) в точке ла" в направлении точки х" > или, что то оке, в направлении (соз а„..., соз а,) определяется как произ>юдная — от сл>жной функции »и 1(х>»" + зсоза„..., хГ> + зсоза„). В случае, если функция 1 дифференцируема в точке хп», то согласно формуле для производной сложной функции, имеем в этой точке д) д( д/ >>и дх> дхп — = — соз а, + ...
+ — соз а„, (20.51) Косинусы соз а„( = 1, 2, ..., п, называются направляюи(»ми косинусами прямой (20. 50). Заметим, что формулы (20.49) аналогичны формулам (20.43), однако, если (20.43) надо было доказывать, то (20.49) приннма>отса за определение. Очевидно, что из (20.48) н (20.49) следует, что 5 2Е Частные пранзнадные и дифференипалы ныплах порядное 3!О з а!. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Н ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 21.1. Частные производные высших порядков Пусть задана функция Т(х, у), тогда ее частные произ. д((х,у) д((х,у) водные (если онн, конечно, сугцествукл) ' н дх ду снова явля>огся функциями двух переменных и ог них также д >д)> можно Г>рать частные производные. Частная производная — (†-) дх (,дх) дэ) а т>1 обозначается „ †, пли 1„„, часгная производная — ~ †) обозна.
дЧ чается ду дх или Г„, Таким образом, Авала!.н >но д (д! >> дэ) дх (ду! дхду >хх' Все зтн частные производные называк>тся частными производными второго порядка. Беря от производных второго порядкз снова частные производные. получим всенозможные частные производные третьего порядка: дз> дз) дэ) дэ) — — — — ит. д. дх ° ду дхз ду' дх * дх ду дх Определение 1. Частная производная от частной производной порядка и — 1, и = 1, 2, ... >, называется частной производной порядка п. Чаалная производная, содержаи(ая дифференцирование по различны>и перел>енныл>, называется сл>еитанной часптной производной. Частная же произв>дная, содерж>т>цая дифференцирование >люлько по одной перезнениой, называется чистой катиной производной.
Число различных частных производных прн увеличении и, очевидно„возрастает, однако оказывается, что при определенных прелы Частной производной нулеваго порядка для удюйства обозначений считается сама функция. хпк Чнвгнив нронвводнне внгшнх нврядхвв 311 полоуггеыиях многие пз пнх совпадают, а именно частные производные не зависят от порядка дифференцирования. Более точно, имеет место, например, следующая теорема. Теорема 1.
Пусть г)гг)нкция 1(х, у) определена влгесте со своими частными проггжоднылги [„ I, („у и 1 х в некоторой окрестности точки (х„уо), причем угроизвогуные Р„у й) х непрерывны в втой точке, гпоеда 1ху (хо Уо) = 1ух (хо~ Уо) (21.1) До к а з а тел ьст во. Пусть функция 1(х, у) определена вместе с производными [х, 1у, [х и [у„в б-окрестности точки (хо, у,) и пусть Лх и Лу фиксировайы так, что Лх' + Луо ( бо. Будем обозначать, как и раньше (см. и. 20.1), символом Л„, соответственно символом Лш приращение функции 1 по аргументу х, соответственно по аргументу у, в точке (хо, у,)*>. Положим Л~ху1 Лх( Лу 1) Л, 1=Лу(Лх1) и покажем, что Лу 1' (21.2) Действительно, Лху 1 = Лх (Лу 1) = Лх [1 (хо Уо+ ЛУ) 1 (хо Уо)! = = [1(хо+ Лх Уо+ ЛУ) — 1(х.+ Лх, У.)!— — [1(хо Уо+ ЛУ, 1(хо~ Уо)! (21.3) ц'(х) =1(х Уо+ ЛУ) — 1(х Уо) тогда (21.3) можно переписать в виде Лху 1= го (хо+ Лх) — р (хо).
В силу того, что в рассматриваемой окрестности точки (хш уо) сущеспгует частная производная /„функщгн гу(х) дифференцнруема на отрезке с концами в точках х, и хо + Лх. хг Дггя всяноа функция Е (х, у) Лх Е (хр, Уо) = Е (хо Ь ах, Уо) — Е1хо, У„), Лу Е (хо, Уо) =- Е гх„, Уо и ЬУ) — Е(хо, Уо). Аналогично ух 1 = у (Лх 1) = [1 (хо+ Лх~ Уо+ Л)') 1 (~о~ Уо+ г".гу)! — [1(хо+ Лх, уо) — 1(хо, у,)!.
(21.4) Сравнивая (21.3) и (21.4), убеждаемся в справедливости (21.2). Положим теперь 4 2Х Чпотние проипяоднне и дифферениипяы пагших порядное По теореме Лагранжа о конечных приращениях получим Л„уг=ер'(хо+О, Лх) Лх, 0(О, н. 1. Но ог' (х) = (х (х, у,+Лу) — (х (х, уо), поэтому Л„, 1 == 11„(»„+ О, Лх, уо+ Лу) — (х (», + О, Лх, уо)1 Лх. Применяя еще раз ту же теорему о конечных приращениях, но теперь уже по переменной у, будем иметь Л„у) =~о (хо+ О, Лх, у,+ О, Лу)Лх Лу, 0(О,(1„0(Оо (1.
(21.5) Совершенно аналогично, полагая ф(у) =-1(х,+ Лх, у) — ) (х„у), получим Лу.г- ~().-( Л)) ф()о) — Ф (),+Оо ЛУ) Л)— =(~у(хо+Лх,уо+О: Л)) — (у(хо,уо+ОоЛУ)) Л)'= у (хо+ 04 Лх уо+ Оз Лу) Лх Лу 0~0 (1, 0(0 (1. (21.6) Согласно (21.2), левые части равенства (21.5) и (21.6) равны между собой, значит, равны и правые;приравнивая их и сокращая на ЛхЛУ при Лх Ф 0 и Лу„-ьб, получим Рху ( о+ ~у Л» Уо+ Оо ЛУ) =' угух (хо + Оо Л» Уо+ Оо ЛУ) 0(0,(1, ю'=1,2,3,4. (21.7) В силУ непРеРыиности частных пРонзводных („у и 7у„в точке х, уо в пределе прн Лх- 0 и Лу- 0 из (2!.7) получйм (21.1).
Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Из доказанной теоремы по индукции легко следует, что, если у функции л переменных смешанные частные производные и-го порядка непрерывны в некоторой точке, то они в этой точке не зависят от порядка дифференцирования. Это следует нз того, что любые две последовательности дифференцировшшя, отличающиеся только порядком дифференцирования (т. е. такие, что по каждому фиксированному аргументу они содержат одно и то иое суммарное число дифференцирований), моукно перевести одну в другууо конечным числом шагов„при каждом из которых меняется порядок дифференцирования только по двум переменным, а другие остаются при этом фиксированными.
Таким образом, при каждом шаге фактически рассматривается изменение порядка дифференцирования у функции лишь двух переменных, т. е. в этом а)а йй2. Дифференциалы высших порядков случае мы находимся в условиях вышсдоказанной теоремы. Тем самым общий случай и сводится к случаю функций двух переменных. Поясним это на примере. Дока>кем, например, что ! лух )хух Согласно вышесказанному, имеем последовательно ! хул ()х)ух Чх)лу ()хл у ()лх)» (» г)ху (» х)ух )хух' 3 а м е ч а н н е 2. В заключение этого пункта отметим, что на первый взгляд доказанная теорема может показаться не очень содержательной: для того чтобы судить о том, имеет ли место равенство !х, = 1 „, надо, согласно этой теореме, проверить непрерывность функций)., и !»х, а для этого надо как будто бы их знать; но если мы их уже знаем, то без всякой теоремы можем выяснить, равны они или нет.
Тем не менее теорема 1 все-таки содержательна. Дело в том, что о непрерывности функции можно иногда судить на основании некоторых общих теорем, ие прибегая к конкретному вычислению н исследованию самой функции. Так, мы знаем, что все элементарные функции многих переменных непрерывны в своей области определения (см. и. !9.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
