Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 57
Текст из файла (страница 57)
С другой стороны, частные производные элементарных функций сами являются элементарными, поэтому частные производные элементарных функций непрерывны в области своего определения. Задача !3. Доказать, что если фупкпия Дх, Х) определена вместе со своими частвыми производными 1„1» и )ху в некоторой окрестности точки (хм уч), пннчем частная производная 1» непрерывна в точке (х„, уа], »о в этой точке существует частаан производйая 1 „и 1»х (хо )'а) '=" !ху (хо уа). 21.2. Дифференциалы высших порядков Функция от 2п переменных хы ...,х„, у,, ..., уа или, что то же, от упорядоченной пары точек и-мерного пространства х — (х,, ...,хх), у=-=(уы ...,у„) вида л А(х,у)::А(х,,...,х„; у„...,уи)х: ~л аи,х,у„, д а-"! где а;„— заданные числа (у, й = 1, 2, ..., п), называется билинейной формой ош х и у.
Это название объясняется тем, что если одну из точек х или у зафиксировать, то функция будет линейной относительно координат оставшейся точки. д г!. Честные прсизппдные и дггф4еренгаггглгя пигигггх ппряднпе Функция Л(х, х) называется киадрагпичноб !родино!!, соответствующей данной билинейной Л(х, у): и А(х,х)=Л(х„...,х,;х„...,х„)= ~ а! хзх„. !.и ! В случае, когда аи,— — азр (, (г=1,2....,п, билинейная форма А(«,у) и ссютветствующая™ ей квадратичная А(х, х) называются сггмлгетриггнымгг. Например, скалярное произвеление двух векторов х = (х„хз, х ) и У вЂ” () ! ) з Уз) «У = «г Уг+ хз Уз+ «з Уз является симметричной билинейной формой точек х =(хо «, х,) и у = (у,„у„у,), а квалрат ллины вектора ~ х( — соответствугощей ей квадратичной: )х(з=-х!+хе+хе. з з з В дальнейшем для удобства нзложешгя будем обозначать дифференциалы не только символом г(, но и символом 6, например, писать не только дг дг с!г = — г!«+ — г(у, дх ду но и бг = — 6«+ — бу.
дг дг дх ду Пусть функция г = !(х, у) имеет непрерывные вторые производные в точке (хз, уз) и, значит, ее первые производные лифференцируемы в этой точке. Вычислим дифференциал от перного днффепг дг ренцнала г!г =- — г(х+ — г(у в точке (хз, у„), считая г!х и г(у фикснродх ду ванными, т. е. рассматривая дифференциал только как фуикцшо точки (х, у); при этом новое лифференцирование обозначим символом б: 6 (г!з) =- 6 (д„-)агх+ 6 (дд,,) г!)' = — — ') -( д'г д" г,т г' д'г д'г — бх-1- — — бу ) г!«+ ( —. 6«+ — бу ) г(у =- дхз ду их ! ~ г)х ду ду" д'г д'г дзг дх' — -- — - г!х бх+ — (г!х бу+ бх г(у) + — г(у бу. г)х ду ду' Все производные здесь взяты в точке (х„, у ). Мы получнлн билинейную форму переменных г!х, г!у, бх, бу, являющуюся симметрнч- зиа 2да Бнффеленяиплы ниеших порядков ной в силу теоремы о независимости порядка дифференцирования.
Полагая бх =- йх, бу = е(у, получим соответствующую ей квадратичну~о форму, которая и называется вторым дифференциалом функции г = !(х, у) в точке (хо, у,) и обозначается гРг. Таким образом, мы пришли к следующему определению. Определение 2. Вторым дифференциалом дгг функции г= )(х, у) в данной точке называется квадратичная форма от дифф ренциалсв йх и йу независимых переменных, соотвепигпвуюи!ая билинейной форме дифференциала от первого дифференциала: йх г = —. йхх -+ 2 — йх ду+ — йу'. д" г д'г д г дхх дх ду дух (21.8) На практике прн конкретном вычислении дифференциалов обычно совмещаются оба шага — вычисление дицхреренцнала от дифференциала 6(дг) и приравнивание дифференциалов аргументов: бх = дх, бу =- йу. Например, пусть г = ххсозг у и требуется найти йхг. Последовательно имеем йг = Зхгсозгус(х — хг з!п2ус(у, ер г =- бх созе удхг — Зхг з! и 2у е(х ду — Зх' я и 2у йх е(у— — 2хл соз 2у г!уг =- бх созе уЛхх — бх' я и 2у с(х Лу — 2хг созе 2у е(ух.
Аналогичным образом при непрерывности частных производных третьего порядка можно вычислить и дифференциал от второго дифференциала 6(г(хг), после чего, полагая бх — —. дх н бу = г(у, мы получим по определению третий дифференциал. Поиндукцин определяется и дифференциал (и+1)-го порядка с!хехг, и.=1, 2, .... Именно, чтобы получить д""г, надо взять (если, конечно, зто возможно) дифференциал от дифференциала а'".г порядка и: 6(длг) и положить бх =- йх, бу = д)п При этом справедлива формула и с!лг=- л с.„' —,— —, дхл -'Ду, л=о дх"' л дул (21.9) е(лг--~ — е(х ) -- йу~ Т(х,у). р д д т(н) )дх ' ду (21.10) ее обычно символически записывают в следующем виде, более удобном для запоминания: д РП Чаетмые ароиееодмые и дифферемииалы еые!иих аорядко! Докажем формулу (21.9) по индукции. При п = 1 она, очевидно, верна.
Пусть она справедлива при некотором п, покажем ее справед. ливосгь при п + 1. Имеем б (!(а х) и / д"+ е Полагаем Ьх = е(х и Ьу = е(у: а м =Х д"+! е т д"+ е е(х" — "+' !(уе+ ~~ Сы !(ха — "' е(у +'. да — е+!де дха '" д "'+! е=о У У Заменяя во второй сумме индекс суммирования ьч на !е — 1 н замечая, что Со+С„= ь~+!, получим е е — ! е !(м+! Х— а+! д е ! ! ! дР' дг ~ У и+! =:~ С'.+, Формула (21.9) доказана.
3 а м е ч а н и е. Следует иметь в виду, что если имеется сложная функция г = 1(х, у), где х =- х(и, о). у = у(и, о), то второй дифференциал функции й записанный через дифференциалы переменных х и у, уже пе будет, вообще говоря, иметь вид (21.8), а будет, как правило, выглядеть сложнее.
Таким образом, в случае дифференциала высшего порядка (т. е. порядка большего или равного двум) не имеет места инвариантносгь формы дифференциала относительно выбора переменных. Чтобы в этом убедиться, вычислим в рассматриваемом случае второй дифференциал функции х = 1(х, у), где х = 262 дифференциалы выепзги порядков 317 = х(и, о), у = у(и, о). В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем г(г = — г(х+ — г(у. дг дг дх ду Далее вычислим дифференциал б(дг), считая, что би = г(и, бо = = г(о, используя инвариантносгь формы первого дифференциала относительно выбора переменных и замечая, что дифференциал 6(г(х) есть дифференциал функции и, значит, вообще говоря, не ноль, получим =6(дх) г)х+ 6 (ду) с(у+ дх6 (г)х)+ дуб(ггу) ~ = — г)ха+ 2 — г(х г(у+ — г(уе+ — с!г х+ —.
сР у. д'г даг дег а дг дг дх' дх ду дуг дх ду На практике и в этом случае обе операции: взятие дифференциалов и приравнивание дифференциалов би = Ии, бо =- гйз производятся одновременно, Все сказанное, в частности определение дифференциалов высших порядков, естественным образом переносится на функции большего числа переменных. Отметим, что дифференциал гп го порядка от функций и переменных у = у(х„..., х„) имеет вид сря у = — г(х + ... + —. 11х„у (х, ..., х ). (21,1!) I д д 1(ы) Доказывается эта формула аналогично формуле (21.10).
У п р а ж и ецн я. !. Найти частные производные первого порядка функ. ции к г = !п !К вЂ”вЂ” у 2. Найти полный дифференциал функпии к-'-"г к 3. Найти все частные производные второго порядка функциа сс =- х адп (х+у)+усов (х+у). 1 4. Найти дег, если г= 2 !п (х + уе). Б. Найти производные первых двух порядков от функции ы — 1(н о) где и=хе+ у „о =ху. ГЛАВА третья ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 5 22.
ОпРеделение и сВОистВА неОпРеделеннОГО интеГРАлА 22.1. Первообразная н неопределенный интеграл Определение 1. Пусть функция / определена на некотором конечном или бесконечном промежутке Е, т. е. на отрезке, интервале или полуинтервале числовой оси.
суункция с, определенная на Е, назьиается первообразной функцией (или просто первсобразной) функции / на Е, если Е'(х) = /(х) для каждого х~ Еаз. Очевидно, если г" — первообразная функция функции / иа промежутке Е, то функция с + С, где С вЂ” некотор ая постоянная, также является первообразпой функции / на Е.
Действительно, (с'(х)+С)'=с'(х) =-/(х), х~ Е. С другой стороны, в силу следсгвия леммы 1 и. 11.2, если с и Ф вЂ” две первообразиые функции / на Е, т. е. если с'(х) =/(х), Ф'(х) =/(х), х~Е, и, значит, [)с(х) — Ф(х)!'=О, х~Е, то они отличаются на некоторую постоянную Ф(х)/ Е(х)+С, хсЕ. (22.!) Таким образом, если с" есть какая-либо пернообразная функция функции /, то всякая функцая вида (22.!) гпакже является первообразной для / и всякая первообразная функции / предспювима в таком виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
