Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 6

Электрон с кинетической энергией E = 10 эВ локализован в области размером l = 1,0 мкм. Оценить относительную неопределенность скорости электрона.1.34. Частица массой m локализована в области размером l.Оценить кинетическую энергию E частицы, при которой ее относительная неопределенность будет порядка 1 %.1.35. Ускоряющее напряжение на электронно-лучевой трубкеU = 10 кВ. Расстояние от электронной пушки до экрана l = 20 см.30Оценить неопределенность координаты электрона на экране, еслислед электронного пучка на экране имеет диаметр d = 0,5 мм.1.36. Атом испустил фотон с длиной волны λ = 0,58 мкмза время τ =10–8 с. Оценить неопределенность ∆x , с которой можно установить координату фотона в направлении его движения,а также относительную неопределенность его длины волны.1.37.

Частица находится в одномерной потенциальной ямешириной l с бесконечно высокими стенками. Оценить силу давления частицы на стенки при минимально возможном значенииее энергии Eмин .1.38. Оценить минимально возможную энергию Eмин гармонического осциллятора массой m с частотой колебаний ω = k / m ,находящегося в одномерном потенциальном поле U ( x) = kx 2 / 2 .1.39. Оценить минимально возможную энергию электроновв атоме гелия и соответствующее расстояние электронов до ядра.1.40.

Свободно движущаяся нерелятивистская частица имеетотносительную неопределенность кинетической энергии порядка1,6 ·10–4. Оценить, во сколько раз неопределенность координатытакой частицы больше ее дебройлевской длины волны.1.41. Параллельный пучок атомов водорода со скоростьюϑ =1,2 км /с падает нормально на диафрагму с узкой щелью,за которой на расстоянии l = 100 см расположен экран.

Оценитьширину щели b, при которой эффективная ширина изображенияна экране будет минимальной.1.42. Среднее время жизни атома в возбужденном состояниисоставляет величину порядка ∆τ ≈ 10–8 с. При переходе атомав нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волныкоторого λ = 500 нм. Оценить ширину ∆λ и относительную ширину ∆λ / λ излучаемой спектральной линии, если не происходит ееуширения за счет других процессов (такая ширина называетсяестественной шириной спектральной линии).1.43.

Из ускорителя через щель выводится короткий сгусток протонов с энергией E = 100 кэВ. Оценить минимальнодостижимую ширину пучка протонов на расстоянии L = 100 мот выходной щели.311.44. Пучок протонов из ускорителя выводится через отверстие диаметром d. Используя соотношение неопределенностей,найти минимальный диаметр D пучка на экране, расположенномна расстоянии L от отверстия, если радиус орбиты в ускорителеравен r, а величина индукции магнитного поля в момент выводапучка равна B.1.45.

Оценить минимально достижимый диаметр d пятна,создаваемого на экране пучком электронов, если время пролетаэлектронов от коллиматора до экрана равно τ = 10–8 с.1.46. Оценить минимально достижимый диаметр d пятна,который можно создать на детекторе пучком атомов серебра, испускаемого печью с температурой t = 1200 °С. Расстояние от выходнойщели печи до детектора равно L = 1 м. Расчет произвести:а) исходя из волновой природы частиц, как радиус первойзоны Френеля;б) из соотношения неопределенностей. Убедиться в эквивалентности обоих подходов.1.47. Один из методов измерения силы заключается в определении изменения энергии пробного тела массой m до и последействия силы. Оценить, какую минимальную постоянную силу,действующую в направлении скорости частицы, можно измеритьтаким образом, если полное время эксперимента, включая времяизмерения начальной энергии, равно τ, а начальная энергия тела E0много больше приращения энергии.ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ «УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА»1.48.

Как изменится волновая функция ψ ( x, t ) , описывающаястационарные состояния, если сдвинуть начало отсчета потенциальной энергии на некоторую величину ∆U ?1.49. Найти решение временного уравнения Шредингера длясвободной частицы, движущейся с импульсом p в произвольномнаправлении.1.50. Установить связь между волновыми функциями ψ ( x, t )и ψ′( x′, t ) , характеризующими свободное движение нерелятивистской частицы массы m в инерциальных – K- и K'-системах отсчета,32если K'-система движется со скоростью ϑ0 в положительномнаправлении оси X K-системы. Скорость частицы в K'-системесовпадает по направлению с ϑ0 .1.51.

Показать, что в точке, где потенциальная энергия частицы U ( x) имеет конечный разрыв, волновая функция остаетсягладкой, т.е. первая производная по координате непрерывна.1.52. Частица массой m находится в одномерном потенциальном поле U ( x) в стационарном состоянии, для которого волновая функция имеет вид ψ ( x) = A exp(−αx 2 ) , где A и α – заданные постоянные ( α > 0 ).

Полагая U ( x) = 0 при x = 0, найтиU ( x) и энергию E частицы.1.53. Частица массой m находится в одномерном потенциальномполе U ( x) в стационарном состоянии, для которого волновая функция имеет вид: ψ ( x) = Ax exp(−αx) при x > 0 и ψ = 0 при x < 0 .Полагая U ( x) → 0 при x → ∞ , найти U ( x) и энергию E частицы.1.54. Частица находится в сферически симметричном потенциальном поле в стационарном состоянии ψ (r ) == 1/( r 2πa ) exp( − r / a ) , где a – постоянная, r – расстояние от цен-тра силового поля. Найти среднее расстояние от центра r .1.55.

Частица массой m находится в одномерном потенциальном поле U ( x) = kx 2 , где k – положительная постоянная. Найтисреднее значение Uчастицы в состоянии ψ ( x) = A exp(−αx 2 ) ,где A и α – заданные постоянные ( α > 0 ).1.56. Показать, что для волновой функции выполняется соотношение, аналогичное классическому уравнению непрерывности:∂ψ2i(ψgrad ψ * −ψ * grad ψ ) – вектор плот∂t2mности потока вероятности.

Указание. Воспользоваться нестационарным уравнением Шредингера.1.57. Воспользовавшись стационарным уравнением Шредингера, показать, что из него следует взаимная ортогональность волновых функций состояний с различной энергией.+ divj = 0 , где j =332. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ И ЯМЫ2.1. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫРассмотрим для простоты одномерное движение вдоль оси Xсвободной частицы. Примем для нее значение потенциальнойэнергии U = 0. По идее де Бройля, такой частице можно сопоставить некоторую бегущую плоскую волнуψ ( x, t ) = a exp [ −i (ωt − kx) ] ,где a – некоторый постоянный (в общем случае комплексный)множитель, который можно назвать амплитудой волновой функции,ω – частота, k – волновое число. Эти параметры связаны с энергией E и импульсом p следующим образом:ω=E2π p, k== .hλhВ общем случае неодномерного движения последнее соотноrrшение можно представить в векторном виде p = hk .

Мы привыкли описывать плоские волны выражением типа sin(ωt − kx) илиcos(ωt − kx) . С учетом формулы Эйлераexp(ix) = cos x + i sin xволновые множители всегда можно представлять в экспоненциальном виде.Легко проверить, что выражение для плоской волны являетсярешением уравнения Шредингера при U = 0:−h2 ∂ 2ψ∂ψ.= ih22m ∂x∂tДля этого найдем производные∂ψE∂ 2ψ= −iωψ = −i ψ= −k 2ψ ,2∂th∂x34и подставим их в уравнение Шредингера. Тогда получаем:−22m(−ψ )k 2 = i (−iωψ ) = i (−iEψ) .Сократим на ψ и вспомним, что p = k .

Отсюда получаем извест-p2= E . Это2mсвидетельствует о том, что плоская волна на самом деле являетсярешением уравнения Шредингера.Для частицы, движущейся против оси X, получаем:ное соотношение, связывающее энергию и импульс: iψ = a exp [ −i (ωt + kx) ] = a exp  − ( Et + px)  .Конечно, полученные выражения для волновой функции неимеют никакой наглядной интерпретации. Смысл полученныхрешений заключается в следующем: квадрат модуля волновойфункции ψψ * дает плотность вероятности обнаружить частицу в данном месте пространства. Найдем эту величину длясвободной частицы:ψψ* = a exp [ −i (ωt − kx) ] a * exp [i (ωt − kx) ] = a 2 ≠ f ( x, y, z ) .Что же мы получили? Вероятность обнаружить частицу вездеодинакова! Но в этом нет ничего странного.

Для свободно движущейся частицы значение импульса p вполне определенно ( ∆p = 0 )и в силу принципа неопределенности Гейзенберга (∆p∆x ≈ ) получаем, что ∆x стремится к бесконечности. То есть мы не можемсказать, где находится частица в данный момент времени. Длятого чтобы определить положение частицы, необходимо подействовать на нее каким-либо прибором для измерения координаты.А это означает, что частица уже не является свободной. Необходимо помнить, что эти выражения описывают состояние не только с определенным значением импульса, но и определенным значением энергии.

Причем E > 0 и энергетический спектр являетсянепрерывным.352.2. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕРРассмотрим теперь одномерное движение частицы, на путикоторой находится так называемый потенциальный барьер(рис. 2.1). Что это такое? В простейшем варианте – это некотораягорка, которую должна преодолеть частица, движущаяся погоризонтальной плоскости в полетяжести. Что было бы в классической механике? Если полная энергия частицы E больше максимумапотенциальной энергии U0, точастица проскакивает эту горкуи движется дальше (в области барьера только будет меньше скорость). Если энергия меньше высоты горки, то частица должна отразиться от барьера и никогда не окажется справа от него (в областиE < U0 кинетическая энергия частицы должна стать отрицательной).А как обстоит дело в квантовой механике? При E >U0 существует вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит обратно! При E < U0 существует ненулевая вероятностьтого, что частица преодолеет барьер и полетит дальше! Связаноэто с тем, что в квантовой механике это неравенство для кинетической и потенциальной энергии частицы не имеет смысла, таккак невозможно знать их точно одновременно.

Потенциальнаяэнергия – функция координат, а кинетическая – функция импульса. А координату и импульс нельзя измерить точно одновременнов силу принципа неопределенности. Поэтому заключение оботрицательности кинетическойэнергии частицы внутри барьера также становится бессмысленным.Итак , рассмотрим задачу :частица налетает на прямоугольный барьер, причем E < U0(рис. 2.2).36Запишем для этого случая уравнение Шредингера в стационарной форме:d 2 ψ 2m+ 2 ( E − U )ψ = 0 ,dx 2где функция U(x) имеет вид, представленный на рис. 2.2. Тогдадля областей I и III уравнение Шредингера запишется в виде:d 2 ψ 2m+ 2 Eψ = 0 .dx 2Для области II:d 2 ψ 2m− 2 (U 0 − E )ψ = 0 .dx 2Введем обозначения:k2 =2m2E , β2 =2m2(U 0 − E ) .С учетом этих обозначений приходим к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:d 2ψd 2ψ2k+ψ=0,дляобластиII− β2 ψ = 0 .dx 2dx 2Решение данной системы уравнений, очевидно, следует искатьв виде:ψ1 = A1 exp(ikx) + B1 exp(−ikx) для области I,для областей I, IIIψ 2 = A2 exp(β x) + B2 exp(−β x) для области II,ψ 3 = A3 exp(ikx) + B3 exp(−ikx) для области III.Первое слагаемое в ψ1 дает волну, бегущую вдоль оси X,т.е.

падающую на барьер (точнее, здесь представлена только еекоординатная часть). Второе слагаемое – волна, бегущая противоси X, – это волна, отраженная от барьера. Первое слагаемоев ψ 3 – волна, прошедшая сквозь барьер, второе – волна справаот барьера, но бегущая против оси X. Так как ей взяться неоткуда,то следует положить B3 = 0. Внутри потенциального барьера37волновая функция экспоненциально затухает по мере проникновения вглубь барьера.Если ψ1 нормировать таким образом, чтобы A1=1, то D = А32будет определять вероятность прохождения частицы через барьер –назовем его коэффициентом прохождения.

Тогда R = B12следуетназвать коэффициентом отражения. Очевидно, D + R = 1. Откудавзять A3, который определяет коэффициент прохождения D?Во-первых, волновая функция должна быть непрерывной, это означает, что выполняются условия:ψ1 (0) = ψ 2 (0) ,ψ 2 (l ) = ψ 3 (l ) .Кроме того, можно показать, что волновая функция должнабыть гладкой, это означает равенство первых производных покоординатеψ1′ (0) = ψ′2 (0) ,ψ′2 (l ) = ψ′3 (l ) .Используя эти условия, для всех неизвестных коэффициентовA и B получаем систему линейных алгебраических уравнений:1 + B1 = A2 + B2A2 exp(βl ) + B2 exp(−β l ) = A3 exp(iαl )iα − iαB1 = β A2 − β B2βA2 exp(βl ) − β B2 exp(−β l ) = iαA3 exp(iαl )Нас будет интересовать только прохождение частицы черезпотенциальный барьер, поэтому ограничимся коэффициентом прохождения D. Для него можно получить при βl >> 1 приближенное выражение (полный вывод приведен в [1]): 2D ≈ exp  −2m(U 0 − E )l  .38Вероятность просачиваниячастицы через барьер сильно зависит от его ширины.