Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 30

Введем для удобства пространство скоростей с осямиϑ x , ϑ y , ϑ z . Число электронов, проекции скоростей которых находятся в интервалеd ϑ x , d ϑ y , d ϑ z , пропорционально объемуd ϑ x d ϑ y d ϑ z . В то же время число электронов, модули скоростикоторых лежат в интервале (ϑ, ϑ + d ϑ) , пропорционально объемусферического слоя в этом же пространстве, т.е. величине 4πϑ2 d ϑ .Поэтому можно записать:n(ϑ)d ϑ x d ϑ y d ϑ z = n(ϑ)d ϑКрометого,учтем ,чтоd ϑx d ϑ y d ϑz4πϑ2 d ϑ.n(ϑ)d ϑ = n( E )dE , E = mϑ2 / 2(*)иdE / d ϑ = 2mE .

Подставляя эти соотношения и выражение дляконцентрации свободных электронов n( E ) по формуле (4.1)в правую часть (*), получаем требуемое соотношение.4.10. EF (0) =19022me(3π2ρN A / µ) 2 / 3 = 1,50 эВ.ПРОВОДИМОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ6.1. Примем за начало отсчета энергии потолок валентнойзоны. Тогда уровень, соответствующий дну зоны проводимости,будет равен ∆E .

Пренебрегая единицей в знаменателе выражения (4.1), получаем для концентрации свободных электронов∞nn =∫ n( E )dE = 2(mkT / 2π2 3/ 2)exp [ ( EF − ∆E ) / kT ] .∆EТак как полная вероятность заполнения какого-либо уровня электроном или дыркой равна единице, то функция распределениядля дырок будет равна: f p = 1 − f n = exp [ ( E − EF ) / kT ] ;0тогда концентрация дырок будет равна n p =∫f p g p dE , где−∞2m3− EdE .π2 3И для концентрации дырок получаем:g p dE = g n dE =n p = 2(mkT / 2π 2 )3/ 2 exp(− EF / kT ) .Так как в чистом полупроводнике концентрации электронов и дырокравны, тоEF − ∆E = − EF → EF = ∆E / 2 ,т.е. уровень Ферми находится посредине запрещенной зоны.Физически это означает, что, в силу электронейтральности образца, вероятности возбуждения электронов в зоне проводимостии дырок в валентной зоне с уровня Ферми должны быть одинаковыми.

Следовательно,nn = n p = 2(mkT / 2π 2 )3/ 2 exp(−∆E / 2kT ) ,где ∆E – ширина запрещенной зоны.6.2. а) Примем за начало отсчета энергии потолок валентнойзоны. Тогда для концентрации электронов проводимости находим∞nn =∫ n( E )dE = 2(mkT / 2π2 3/ 2)exp [ ( EF − ∆E ) / kT ] .∆E191В то же время концентрация электронов связана с концентрациейдонорных атомов соотношением:nn = n0 [1 − f (0)] ≈ n0 exp(− EF / kT ) .Перемножив последние два выражения, находимnn 2 = 2n0 (mkT / 2π 2 )3/ 2 exp(−∆E / kT ) ,откуда и следует формула, приведенная в тексте задачи.б) Сравнивая полученные выше два различных выражениядля nn , вычисляем∆E kT  2 mkT 3/ 2 ln  () .−22  n0 2π 21 dρ∆Eπ c=−= –0,047 К–1.

Здесь учтено,6.3. α ==−22ρ dTλ 0 kT2kTчто ρ ∼ exp(∆E / 2kT ) , ∆E – ширина запрещенной зоны.2kT1T26.4. E =ln η = 0,34 эВ.T2 − T1(ρ − ρ )ρ6.5. t = τ / ln 0 1 2 = 10 мс.(ρ0 − ρ2 )ρ1σ6.6. 1 = 2, 28 .σ2EF =КОНТАКТНЫЕ И ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ6.7. Взяв ось X перпендикулярно границе раздела металлов,запишем закон сохранения энергии для электронов, переходящихиз металла с потенциальной энергией свободных электронов U1 вметалл с энергией U 2 :mϑx12 / 2 + U1 = mϑx 2 2 / 2 + U 2 .Кроме того, должны быть выполнены условия: ϑ y1 = ϑ y 2 , ϑ z1 = ϑ z 2 .Число электронов, падающих ежесекундно на единицу площади,равно:dN1 = ϑ x1n(ϑ1 )d ϑ1 , dN 2 = ϑ x 2 n(ϑ2 )d ϑ2 .192При динамическом равновесии dN1 = dN 2 .

Это равенство с учетомrrсоотношения ϑ x1d ϑ1 = ϑ x 2 d ϑ2 , которое следует из закона сохранеrrния энергии, дает n(ϑ1 ) = n(ϑ2 ) . Учитывая выражение для концентрации свободных электронов, полученное в задаче (4.9),n(ϑ)d 3ϑ = 2(m / 2πh)3 (1 + exp [ ( E − EF ) / kT ]) −1 d 3ϑ ,находим, что E1 − EF 1 = E2 − EF 2 . Поскольку E1 + U1 = E2 + U 2 ,получаем:EF 1 + U1 = EF 2 + U 2 .Если вспомнить, что уровень Ферми отсчитывается от дна потенциальной ямы, то последнее и означает, что уровни Ферми действительно находятся на одной высоте.6.8. Запишем условия, которым должны удовлетворять электроны, вылетающие из металла:mϑ′x 2 / 2 = mϑ x 2 + U , ϑ′y = ϑ y , ϑ′z = ϑ z .(*)Здесь знаком «штрих» отмечены компоненты скорости электронавнутри металла, U – потенциальный барьер на границе металла,равный U = EF + A , A – работа выхода с поверхности металла.Число электронов, вылетающих ежесекундно с единицы поверхности металла со скоростью в интервале (ϑ, ϑ + d 3ϑ) , с учетомформулы, полученной в задаче (4.9), равно:ϑ′x d 3ϑ′m 3,dN = ϑ′x n(ϑ′)d 3ϑ′ = 2()2πh 1 + exp [ ( E ′ − EF ) / kT ]где d 3ϑ′ = d ϑ′x d ϑ′y d ϑ′z .Из соотношения (*) следует, что ϑ′x d 3ϑ′ = ϑ x d 3ϑ .

Учтем также,что E ′ − EF = E + A . Тогда при A >> kT выражение для dN можнопредставить в виде:dN = 2( m / 2πh)3 exp [ −( A + E ) / kT ] ϑ x d 3ϑ .В сферических координатах можно записать:ϑ x = ϑ cos θ и d 3ϑ = d ϑx d ϑ y d ϑz = ϑ sin θd ϕ× d ϑ× ϑd θ .193Тогда после интегрирования dN в сферических координатах по φот 0 до 2π и по θ от 0 до π /2 приходим к выражению, указанномув условии задачи.6.9. E = 2kT ; j = (mek 2 / 2π2 h3 )T 2 exp(− A / kT ) .ПЕРЕХОДЫ ДЖОЗЕФСОНА7.1. Поскольку переходы включены параллельно, то разностифаз на переходах будут равны, и тогда токи через переходы будутпропорциональны их критическим значениям: J1 = 0,417 мА,J 2 = 0,583 мА.V − Vmin= jc RT .7.2. max27.3.

В соответствии с условиями задачи представим ток в следующем виде: J = J 0 + J1 sin(2πν t ) . Разность фаз на переходебудем искать в виде δ = δ0 + δ1 , где δ0 – разность фаз, создаваемаяпостоянным током J 0 . Добавку δ1 будем полагать малой. В этомслучае напряжение на переходе будет равно: V = (Φ 0 / 2π)d δ1 / dt( Φ 0 – квант магнитного потока). Представим производную d δ1 / dtв виде: d δ1 / dt = (dJ / dt )(dJ / d δ1 ) −1 . Учитывая соотношениеJ = J c sin δ и полагая δ1 малым, нетрудно получитьV=Φ 0ν J1J c 2 − J 02sin(2πν t + π / 2) .Амплитуда напряжения будет равна 0,58 нВ.

Кроме того, так какнапряжение опережает ток по фазе на π / 2 , то переход ведет себякак индуктивность L = Φ 0 /(2π J c 2 − J 0 2 ) .194СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.2.3.4.5.6.7.8.9.Савельев И.В. Курс общей физики. В 3 т. Т. 3. Квантоваяоптика. Атомная физика. Физика твердого тела.

Физикаатомного ядра и элементарных частиц / И.В. Савельев. – 2е изд., испр. – М.: Наука. Главная редакция физикоматематической литературы, 1982. – 304 с.Сивухин Д.В. Атомная и ядерная физика: Учебное пособие.В 2-х ч. Ч. 1. Атомная физика / Д.В.

Сивухин. – М.: Наука.Главная редакция физико-математической литературы, 1986. –416 с.Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. В 9 т. Т. 8, 9 /Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. – М.: Мир, 1978. – 524 с.Смит Р. Полупроводники / Р. Смит. – 2-е изд. – М.: Мир, 1982.–558 с.Орир Дж. Физика. В 2 т. Т. 2 / Дж. Орир.

– М.: Мир, 1981. –622 с.Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике: учеб. пособие дляфиз. специальностей вузов / И.Е. Иродов. – М.: Высшая школа,1991. – 175 с.Сборник задач по общему курсу физики: учеб. пособие длявузов. В 3 ч. Ч. 3. Атомная и ядерная физика. Строение вещества/ под ред. В.А. Овчинкина.

– М.: Изд-во МФТИ, 2001. – 432 с.Сборник задач по общему курсу физики. Атомная физика,физика ядра и элементарных частиц / под ред. Д.В. Сивухина. –М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 224 с.Кулик И.О. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах / И.О.

Кулик, И.К. Янсон. – М.: Наука, главнаяредакция физико-математической литературы, 1970. – 276 с.195Учебное изданиеПаршаков Александр НиколаевичКУРС ЛЕКЦИЙПО КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕУчебное пособиеРедактор и корректор Л.С. ЛыковаИзд. лиц. ЛР № 020370Подписано в печать 29.12.2006. Формат 60×90/16.Усл. печ.

л. 12,25. Тираж 150 экз. Заказ № 22/2006.ИздательствоПермского государственного технического университетаАдрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, к. 113.тел.: (342) 219-80-33.