Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 9

Частица массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокимистенками. Найти число энергетических уровней dN в интервалеэнергий ( E , E + dE ) , если уровни расположены очень плотно.552.23. Частица массой m находится в основном состояниив одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной lс бесконечно высокими стенками. Найти:а) силу давления частицы на стенку;б) работу, которую необходимо совершить, чтобы медленносжать яму в η раз.2.24.

В одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками находится N электронов. Определитьминимальное значение полной энергии Emin и силу давленияэлектронов на стенки. Взаимодействием электронов пренебречь.NN ( N + 1)( N + 2)Указание. Учесть, что ∑ n 2 =.6n =12.25. Частица массой m находится в основном состояниив одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной lс бесконечно высокими стенками. Найти вероятность нахождениячастицы в области l / 3 < x < 2l / 3 .2.26. Частица массой m находится в основном состояниив одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечновысокими стенками.

Максимальное значение плотности вероятности нахождения частицы равно Pm . Найти ширину ямы l и энергию частицы E в данном состоянии.2.27. Частица массой m находится в двумерной прямоугольнойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Координатычастицы находятся в пределах 0 < x < a, 0 < y < b , где a и b – стороны ямы.

Найти собственные значения энергии и нормированные собственные функции частицы.2.28. Частица массой m находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Координаты частицы находятся в пределах 0 < x < a, 0 < y < b , где aи b – стороны ямы. Определить вероятность нахождения частицыс наименьшей энергией в области 0 < x < a / 3, 0 < y < b / 3 .2.29. Частица массой m находится в двумерной квадратнойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Сторонаямы равна l. Найти значения энергии частицы E для первыхчетырех уровней.562.30. Частица массой m находится в двумерной квадратнойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками в основномсостоянии. Найти энергию частицы E, если максимальное значение плотности вероятности нахождения частицы – Pm .2.31. Частица массой m находится в сферически симметричной потенциальной яме: U (r ) = 0 при r < r0 и U = ∞ , если r = r0,где r0 – радиус ямы.

Найти возможные значения энергии и нормированные собственные функции, зависящие только от r.Указание. При решении уравнения Шредингера воспользоватьсяподстановкой ψ = φ / r .2.32. Частица массой m находится в сферически симметричной потенциальной яме: U(r) = 0 при r < r0 и U = ∞ , если r = r0,где r0 – радиус ямы. Найти наиболее вероятное значение rвери вероятность w нахождения частицы в области r < rвер в состоянии, зависящем только от r. Изобразить примерные графикифункций ψ 2 (r ) и r 2 ψ 2 (r ) .2.33. Воспользовавшись решением задачи 2.31, найти сред-ние значения r , r 2(r − r )2и среднего квадратического отклонениядля частицы, находящейся на уровне с номером n.2.34. Частица массой m находится в сферически симметричной потенциальной яме: U(r) = 0 при r < r0 и U = U0 при r ≥ r0 ,где r0 – радиус ямы.

Найти с помощью подстановки ψ = φ / rуравнение, определяющее собственные значения энергии частицы в состоянии, зависящем только от r, при E < U0, и привестиэто уравнение к виду:sin kr0 = ± kr02/ 2mr0 2U 0 , где k = 2mE / .Определить интервал значений величины r0 2U 0 («мощность»ямы), при которых яма содержит только один уровень энергии.2.35.

Частица массой m находится в двумерной квадратнойпотенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Сторонаямы равна l. Найти число состояний частицы в интервале энергий( E , E + dE ) , если уровни расположены очень плотно.572.36. Частица массой m находится в трехмерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками.Длины ребер ямы равны a, b, c . Найти собственные значения энергии частицы.2.37. Частица массой m находится в трехмерной кубическойпотенциальной яме шириной l с абсолютно непроницаемымистенками. Найти:а) разность энергий 3-го и 4-го уровней;б) энергию 6-го уровня и соответствующее ему число состояний (кратность вырождения).2.38. Частица массой m находится в трехмерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Длины ребер ямы равны a, b, c . Найти число состоянийчастицы в интервале энергий ( E , E + dE ) , если уровни расположены очень плотно.2.39.

Частица массой m находится в одномерном потенциальном поле U ( x) , показанном на рис. 2.20, где U (0) = ∞ . Найтиуравнение, определяющее возможные значения энергии в областиE < U 0 . Привести его к видуsin kl = ± kl h 2 / 2ml 2U 0 , k = 2mE / hи показать с помощью графического решения этого уравнения,что энергетический спектр является дискретным. Определитьминимальное значение величины l 2U 0 , при котором появится n -йдискретный уровень.2.40. Частица массой m находится в одномерном потенциальном поле U ( x) , показанном нарис. 2.20, где U (0) = ∞ . Энергияединственного уровня этой частицы E = U 0 / 2 . Найти значениеl 2U 0 этой ямы и наиболее вероятное значение координаты частицы.582.41.

Частица массой m находится в одномерной потенциальнойяме, конфигурация которой показана на рис. 2.21, где U (±l ) = ∞ .Показать, что при E > U 0 уравнение, определяющее возможные значения энергии, имеет вид:k2 tgk1l = − k1tgk2l ,где k1 = 2mE / ,k 2 = 2 m( E − U 0 ) / .2.42. Частица массой m находитсяв одномерной потенциальной яме,конфигурация которой показана на рис. 2.21, где U (±l ) = ∞ . Показать, что при E < U 0 уравнение, определяющее возможные значе-ния энергии, имеет вид µtgkl = − kthµl , где µ = 2m(U 0 − E ) / ,k = 2mE / , th – гиперболический тангенс.2.43. Частица массой m находится в одномерном симметричном потенциальном поле, показанном на рис.

2.22. Найти уравнение,определяющее возможные значения энергии частицы при E < U 0 .2.44. Частица массой m находится в одномерной потенциальной яме, конфигурация которойпоказана на рис. 2.23. Найти энергию основного состояния E1 , еслина краях ямы ψ-функция вдвоеменьше, чем в середине ямы.2.45. Электрон находится в одномерной симметричной потенциальной яме шириной 2a = 2·10-10 м.Отношение волновой функции основного состояния на границеямы к ее максимальному значению внутри ямы составляетα = 1/ 2 . Найти глубину ямы и энергию ионизации.592.46.

Найти глубину ямы иэнергию ионизации электрона,находящегося в основном состоянии в одномерной яме ширинойa = 2·10–10 м, для которой U (0) = ∞ ,U = −U 0 при 0 < x < a и U = 0 приx > a , если известно, что отношение волновой функции на границеямы ( x = a ) к ее максимальномузначению в яме равно α = 3 / 2 .2.47. Частица локализованав трехмерной потенциальной ямепрямоугольной формы, радиускоторой равен a (рис. 2.24). Определить минимальную глубину ямыU 0 , при которой появится первыйуровень энергии. Чему равна энергия частицы на этом уровне?2.48. Электрон находится водномерной потенциальной яме,изображенной на рис. 2.25, и имеетэнергию E = 1,5 эВ ( U (0) = ∞) .Ширина ямы равна d = 3·10–8 см.Найти высоту потенциальногобарьера U и его проницаемость D.За какое время τ вероятностьнайти электрон в яме уменьшится в два раза? Отражением волновой функции на задней границе потенциального барьера пренебречь .

Указание. Вероятностьраспада (проникновения черезбарьер) в единицу времени равна произведению числа столкновений частицы со стенкой в единицу времени n на коэффициентпрозрачности D: λ = nD . Период полураспада T = ln2 / λ .602.49. Электрон находитсяв одномерной потенциальной яме,изображенной на рис. 2.26, и имеетэнергию E = 0,9999 эВ ( U (0) = ∞) .Высота потенциального барьераU = 1 эВ. Найти ширину ямы, еслиуровень с указанным значениемэнергии является первым. Оценитьвремя жизни τ электрона в яме.Отражением волновой функциина задней границе потенциального барьера пренебречь.2.50. При сближении атомов возможен туннельный переходэлектронов внешних оболочек из одного атома в другой, что приводит к уширению уровней (образованию зон в твердом теле).Считая, что в атоме электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной a = 10–10 м на глубине,равной энергии ионизации U0 = 10 эВ, а ширина барьера d равнасреднему расстоянию между атомами (d ≈ 10–10 м), оценить энергетическое уширение в кристалле.2.51.

Дейтрон представляет собой ядро дейтерия, состоящееиз протона и нейтрона. Энергия связи дейтрона, измеренная экспериментально, составляет E = 2,225 МэВ. Аппроксимируя потенциальную энергию взаимодействия протона с нейтроном с помощьютрехмерной прямоугольной потенциальной ямы, определить ееглубину U0, при которой возможно такое связанное состояние.Принять радиус потенциальной ямы равным l = 1,6·10–13 см.2.52. Проверить непосредственным интегрированием ортогональность собственных функций частицы в бесконечно глубокойпотенциальной яме.613.

ФИЗИКА АТОМОВ И МОЛЕКУЛ3.1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОРВ механике под гармоническим осциллятором понимают частицу, совершающую гармонические колебания под действием квазиупругой силы F = −kx . Потенциальная энергия такой частицыимеет вид U = 1/ 2kx 2 , где k – жесткость пружины, x – смещениеот положения равновесия. В дальнейшем более удобным оказывается представление потенциальной энергии в виде U = 1/ 2mω2 x 2 ,где m – масса частицы, ω – частота осциллятора. К задаче о гармоническом осцилляторе можно свести, например, задачу о колебаниях атомов твердого тела около положения равновесия.Уравнение Шредингера для такого гармонического осциллятора будет иметь следующий вид:d 2 ψ 2mmω2 x 2()ψ = 0 .+E−22dx 2(3.1)Найдем собственные функции ψ и собственные значенияэнергии E. Точное решение данного уравнения выражается черезтак называемые полиномы Эрмита. Мы же попытаемся сделатьиначе.