Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике (1076139), страница 11
Текст из файла (страница 11)
КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА. КРАТНОСТЬ ВЫРОЖДЕНИЯЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙВернемся к атому водорода. Собственные функции уравнения Шредингера содержат три целочисленных параметра n, l , m ,то есть ψ = ψ nlm (r , θ, ϕ). Параметр n, называемый главнымквантовым числом, совпадает с номером уровня энергии.
Параметры l и m представляют азимутальное и магнитное квантовые числа, определяющие модуль момента импульса и его проекцию на некоторое направление Z. При заданном n квантовоечисло l для электрона в водородоподобном атоме ограниченои может принимать n различных значений:l = 0,1, 2,...n − 1 .В свою очередь, при данном l квантовое число m может принимать 2l + 1 различных значений:m = −l , −l + 1,...0,1,...l − 1, l .70Энергия электрона в атоме водорода зависит только от главного квантового числа.
Следовательно, каждому значению En(кроме E1) соответствует несколько собственных функций ψ nlm ,отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Это означает,что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии,находясь в нескольких различных состояниях. Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различныхсостояний с каким-либо значением энергии – кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня.
Легко сообразить, что кратность вырождения Z n можно рассчитать по формуле:n −1Z n = ∑ (2l + 1) = n 2 .l =0Состояние электрона принято обозначать следующим образом:l = 0 – s-электрон (s-состояние),l = 1 – p-электрон (p-состояние),l = 2 – d-электрон (d-состояние),l = 3 – f-электрон (f-состояние), затем идут g-, h-состоянияи т.д. Значение главного квантового числа указывается передусловным обозначением квантового числа l.
Например, электронв состоянии с n = 3, l = 1 обозначают символом 3p. Таким образом,возможны следующие состояния электрона в атоме водорода:1s2 s, 2 p3s,3 p,3d4 s, 4 p, 4d , 4 f и так далее.3.6. СПЕКТРЫ ИЗЛУЧЕНИЙ АТОМА ВОДОРОДАРанее схему уровней энергии атома водорода мы отображалитак, как показано на рис. 3.2. Однако гораздо удобнее применятьдругую схему (рис. 3.5), которая частично отражает характер вырождения различных уровней энергии. Кроме того, данная схемапозволит отразить и возможные переходы электрона между различными состояниями.71Испускание и поглощение света происходитпри переходах электронас одного уровня на другой.При этих переходах происходит либо испусканиефотона, либо его поглощение.
Фотон обладает собственным моментом импульса(спином), равным постоянной Планка. Поэтому законсохранения момента импульса требует, чтобы моментимпульса электрона прикаждом акте испускания илипоглощения фотона изменялся на . А это означает,что при каждом переходе электрона с одного уровня энергии на другой азимутальное квантовое число должно изменяться на единицу.Отсюда следует так называемое правило отбора:∆l = ± 1 .На рис.
3.5 показаны переходы, соответствующие спектрампоглощения и разрешенные этим правилом. Серия Лаймана (ультрафиолет) возникает при переходах: np → 1s (n = 2,3, 4...) . СерияБальмера (видимая) возникает при переходах: ns → 2 p, nd → 2 p(n = 3, 4,5...) . Такому же правилу подчиняются и следующие серии(Пашена, Брэкета и т.д.)Состояние 1s – основное (невозбужденное). В этом состоянииатом обладает наименьшей энергией. Для перехода в возбужденноесостояние ему необходимо сообщить энергию – либо за счет теплового соударения с соседями (после этого при обратном переходенагретые тела светятся ), либо за счет столкновения атомас достаточно быстрым электроном (газовый разряд), либо за счетпоглощения атомом фотона.
При этом спектр поглощения водородного атома должен состоять из линий, соответствующих переходам: 1s → np (n = 2,3, 4...) . Этот результат полностью соответствует опыту.723.7. СПЕКТРЫ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВСпектры поглощения и испускания атомов щелочных металловв основном похожи на спектры атома водорода. Это означает, чтоэти спектры возникают при переходах самого внешнего (валентногоили оптического) электрона с одного уровня на другой. На рис. 3.6в качестве примера представлена схема спектров поглощения атомов натрия (причину того, что схема начинается с n = 3, поймемпозднее – это связано с т.н.
принципом запрета Паули).Отличие же этих спектров от спектров водородазаключается в том, что аналогичные уровни в различных рядах, отличающихсяквантовым числом l, лежатна неодинаковой высоте. Аэто означает, что энергиясостояния электрона зависитне только от главного квантового числа n, но и от азимутального квантового числа l,т.е. от момента импульсаэлектрона, чего не было дляатома водорода! Связано этос тем, что в более сложныхатомах каждый электрон движется в усредненном поле ядраи остальных электронов. Это поле зависит от расстояния не по закону 1/r2, но обладает центральной симметрией. По мере проникновения электрона в глубь атома заряд ядра экранируется другимиэлектронами, а это приводит к тому, что энергия начинает зависетьне только от главного квантового числа, но и от азимутального.Формально это означает, что снимается вырождение по азимутальному квантовому числу.
Причем с ростом l энергия для одинаковых значений n также растет. Более того, момент импульсаатомного остатка (ядро плюс остальные электроны, кроме наименеесвязанного валентного) равен нулю.При возбуждении атома щелочного металла и при испусканииим света изменяется только состояние валентного электрона. Значит,73для него действует правило отбора ∆l = ± 1, и схему уровней энергии атомов щелочных металлов можно считать тождественнойсхеме уровней валентного электрона.3.8. МУЛЬТИПЛЕТНОСТЬ СПЕКТРОВ И СПИН ЭЛЕКТРОНАТочные экспериментальные исследования спектров щелочных металлов показали, что каждая линия этих спектров являетсядвойной (дублет). Структура спектра, отражающая расщеплениелиний на компоненты, называется тонкой структурой. Сложныелинии, состоящие из нескольких компонентов, получили название «мультиплеты» (дублеты, триплеты, квартеты, квинтеты…).Одиночные линии – синглеты.Для объяснения расщепления спектральных линий и результатов других опытов (вспомним опыт Штерна и Герлаха), как ужеупоминалось ранее, Гаудсмит и Уленбек (1925 г.) выдвинули гипотезу о том, что электрон, кроме орбитального момента импульса,обладает также собственным моментом импульса – спином.Классический вариант момента импульса при движениипо окружности: L = rmϑ .
Кроме того, электрон как движущийсяпо замкнутой кривой заряд (рис. 3.7) обладает магнитным моменeтом: pm = JS = πr 2 (здесь Т – период обращения электрона поTорбите радиуса r со скоростью ϑ ). Учитывая, что Т = 2πr /ϑ , получаем выражение для орбитального магнитного момента pm= eϑr /2.Выражение pm / L называется гиромагнитным отношением.
Дляeэлектрона pm/L = −(знак минус пока2mзывает, что направления векторов pm и Lпротивоположны).По идее Гаудсмита и Уленбека, электрон должен обладать также собственныммеханическим моментом импульса – Lsи магнитным моментом – µs. Причем отношение µs/Ls оказалось в два раза больше, чем должно было быть по классическим представлениям: µ s / Ls = −e / m .74Предположение о спине электрона было подтвержденобольшим количеством опытных фактов и считается совершеннодоказанным. Кроме того, спин электрона и все его свойства автоматически вытекают из уравнения Дирака, которое является релятивистским вариантом уравнения Шредингера. Таким образом,спин электрона является одновременно и квантовым, и релятивистским свойством.Величина собственного момента импульса определяетсяспиновым квантовым числом s = 1/ 2Ls =s ( s + 1) =3.2Проекция спина на заданное направление также принимает квантованные значенияLsz = ms = ± / 2 .Найдем магнитный момент электрона:eee3.µ s = − Ls = −s ( s + 1) = −mm2meВеличинуобозначают как µ Б (магнетон Бора).2meµБ == 0,93 ⋅ 10 –23Дж/T.2mПроекция собственного магнитного момента электрона на заданное направлениеeeµ sz = − Lsz = − (± ) = ± µ Б .mm 2Наличие спина легко объясняет мультиплетную структуруспектров.
Рассмотрим, например, натрий. Позднее мы докажем,что суммарный момент импульса всех электронов натрия, кромевалентного, равен нулю. Это означает, что момент импульса атоманатрия равен моменту импульса валентного электрона. Полныймомент импульса складывается из орбитального и собственного:Lj =j ( j + 1) ,где j – квантовое число, которое может принимать следующиезначения:75j = l + s, l − s ,l – азимутальное квантовое число, s – спиновое квантовое число.При l = 0 квантовое число j принимает только одно значение:j = s = 1/ 2 . При l ≠ 0 возможны два значения: j = l + 1/ 2,j = l − 1/ 2 , которые соответствуют двум возможным ориентациям моментов импульса – «параллельной» и «антипараллельной».Т.е. в зависимости от ориентации спина механический моментимпульса может принимать несколько значений.
А т.к. с этим связан магнитный момент, то возможны и различные значения магнитных моментов. Энергия магнитного взаимодействия (его ещеназывают спин-орбитальное) зависит от взаимной ориентацииорбитального и собственного момента импульса. Значит, состояния с различными значениями квантового числа j должны обладать и различной энергией.Обусловленное спином расщепление энергетических уровней является релятивистским эффектом. Релятивистская квантовая теория дает для расстояния между уровнями тонкой структуры водородного атома значение:∆E =α2Ei ,16где Ei – энергия ионизации, α – так называемая постоянная тонкой структуры, ее значение в гауссовой системе равноα = e 2 / c ≈ 1/137 . Постоянная тонкой структуры характеризуетэнергию взаимодействия двух электронов, или как сильно электрон связан с электромагнитным полем. Т.к.
в выражение для αне входит масса электрона, то α является константой связи с электромагнитным полем для любой элементарной частицы с зарядом e.3.9. ПРИНЦИП ПАУЛИ. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИСостояние электрона в атоме определяется четырьмя квантовыми числами:главное n = 1, 2,3... – определяет энергию электрона (главнымобразом),76орбитальное l = 0,1, 2...n − 1 – определяет модуль моментаимпульса,магнитное ml = 0, ±1, ±2,... ± l – определяет проекцию моментаимпульса,спиновое ms = ±1/ 2 – определяет проекцию спина на заданное направление.Энергия состояния зависит в основном от чисел n и l. Крометого, существует слабая зависимость энергии от чисел ml и ms(спин-орбитальное взаимодействие).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
