Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике (1076139), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Проверить непосредственным интегрированием ортогональность собственных функций гармонического осциллятора.884. КВАНТОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ4.1. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯСВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕРассмотрим поведение так называемых «свободных» электронов в металле без учета влияния кристаллической решеткиметалла. Может возникнуть вопрос: как это – «без учета влияниякристаллической решетки»? И этот вопрос будет совершенноправомерен. Опираясь на наши «обычные» представления, легкосделать вывод о том, что обладающий небольшой энергией электрон должен с огромным трудом протискиваться через кристалл.Расстояние между атомами – порядка нескольких ангстрем (ангстрем равен 10–10 м).
Эффективный диаметр атомов при рассеяниина них электронов – порядка одного ангстрема. Поэтому следуетожидать, что средний свободный пробег электрона между столкновениями будет порядка нескольких ангстрем (это почти ноль!),и электрон почти тотчас же должен влететь в какой-нибудь атом.И тем не менее, природа устроена так, что, когда решеткакристалла идеальна, электрону ничего не стоит пройти через кристалл совершенно свободно, почти как в вакууме. Почему это так,мы поймем позже, это чисто квантовый эффект. И только наличие неидеальностей в решетке (примеси, отсутствие какого-либоатома, колебания решетки и т.д.) приводит к тому, что металлыобладают сопротивлением.
Но об этом позже. А пока рассмотримквантовое поведение свободных электронов в металле.Возьмем кубик металла со стороной L . Его объем V = L3 .Запустим вначале в кубик только один электрон. Так как мыиспользуем приближение свободных электронов, то потенциальную энергию можно взять равной нулю ( U = 0 ).Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера:∆ψ +2m2( E − U )ψ = 0 .89В декартовой системе координат при U = 0 оно примет вид:(∂ 2 ψ ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ 2m) + 2 Eψ = 0 .++∂x 2 ∂y 2 ∂z 2Введем обозначение 2m / 2 = k 2 . Параметр k имеет смыслволнового вектора, связанного с импульсом соотношением k = p .Тогда решение уравнения Шредингера можно записать в виде:ψ = C exp i ( k x x + k y y + k z z ) ,где i – мнимая единица, C – некоторая константа, определяемаяиз условий нормировки.Так как мы не рассматриваем поведение электрона вне кубика,то потребуем выполнения для волновой функции условий периодичности (формально это означает, что мы рассматриваем бесконечное множество составленных вплотную друг к другу кубиков):ψ ( x ) = ψ ( x + L ), ψ ( y ) = ψ ( y + L ), ψ ( z ) = ψ ( z + L ) .Эти условия будут выполнены только в том случае, если волновое число k принимает следующие значения:2π2π2πkx =n1 , k y =n2 , k z =n3 ,LLLгде n1, n2, n3 – целые числа 0, 1, 2, 3…, не равные нулю одновременно.Чтобы это проверить, воспользуемся формулой Эйлера и условиями периодичности:exp(ik x x) = exp [ik x ( x + L)] ⇒ exp(ik x L) = 1 ⇒ k x L = 2πn .Таким образом, мы доказали, что значения волнового вектора и, соответственно, энергии квантуются.
И для энергии получаем выражение:2 2π 222 ( n1 + n2 + n3 ) = Ek .2m L Состояние электрона в металле (и вообще в любом кристаллическом теле) будем определять значением волнового вектора kи спином. Так как значение волнового вектора определяется набором {n1 , n2 , n3 } , то, задавая набор {n1 , n2 , n3 } , мы тем самым определяем состояние электрона.E=902Как видно из проведенного анализа, уровни энергии в данномслучае являются вырожденными (напомним: имеется несколькоразличных состояний, соответствующих одному значению энергии).Для наглядного обозначения состояний электрона введемвоображаемое пространство, по осям которого будем откладывать значения чисел {n1 , n2 , n3 } (рис.
4.1). Тогда, если забыть проспин, каждое состояние отобразится точкой в этом пространстве.Плотность размещения точек в этом пространстве равнаединице (т.к. в каждом единичном кубике находится только однаточка и ∆n = 1 ). Поверхность равных значений энергии – сферас радиусом n0 = n12 + n2 2 + n32 (рис.
4.2).Найдем число разрешенных состояний, располагающихсявнутри этой сферы (число состояний, энергия которых не превышает E). Обозначим его vE.Так как плотность размещения точек равна единице, то эточисло равно просто объему этой сферы, умноженному на два(в каждом состоянии могут находиться по два электрона, обладающих спинами разного направления):488 2m ν E = 2 πn03 = π(n12 + n2 2 + n32 )3/ 2 = π 2 333 3/ 23 L 3/ 2 E . 2π Учитывая, что L3 равно объему кубика V, получаем окончательно:83νE = π( 2m )3/ 2 E 3/ 2V .(2π )391Запустим теперь в кубик много электронов (порядка числаатомов). В силу принципа запрета Паули, электроны разбегутся поразным состояниям.
Эти состояния окажутся затем либо занятыэлектронами, либо свободными. Т.е. каждому электрону в этомпространстве квантовых чисел отводится своя маленькая «комнатка», которую он может и не занимать.Посмотрим, что будет при абсолютном нуле температуры.Вследствие принципа Паули все электроны будут занимать каждыйсвое место на самых нижних уровнях энергии (т.е. заполнят всенижние «комнатки»).
Поэтому все состояния с энергией, меньшейнекоторого значения, будут заполнены электронами, а состоянияс энергией, большей этого значения, будут свободны. Это значениеэнергии обозначается EF (0) и называется уровнем Ферми при абсолютном нуле температуры. Иначе можно сказать, что EF (0) – этомаксимальное значение энергии электронов при абсолютном нулетемпературы. Его значение можно найти из условия, что числозаполненных состояний при нулевой температуре должно бытьравно числу всех электронов в металле:8 ( 2m )nV = ν E = πE (0)3/ 2 V .3 (2π )3 F3/ 2Отсюда получаем:EF (0) =2(3π2 n) 2 / 3 ;2mздесь n – концентрация электронов в металле.Оценим значение EF (0). Возьмем для концентрации электронов среднее значение 5·1022 1/см3. Тогда EF (0) будет около 5 эВ.Много это или мало? Чтобы сообщить классическому электронному газу такую энергию, его необходимо нагреть до температурыпорядка 104 К (с учетом пропорциональности энергии и температуры).
Средняя тепловая энергия при комнатной температуре составляет значение около 1/40 эВ. Такая энергия может возбудить толькоэлектроны, находящиеся на самых верхних уровнях вблизи уровняФерми. А их очень мало. Основная масса электронов, находящихсяна более глубоких уровнях, не способна поглощать энергию и изменять свое состояние.
К чему это приводит, поймем позднее.924.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ-ДИРАКА. ФЕРМИОНЫПри абсолютном нуле температуры в каждом состоянии с энергией E ≤ EF (0) находится один электрон, в состояниях с E > EF (0)электронов нет. Для характеристики вероятности заполнения электронами различных состояний при T ≠ 0 введем функцию распределения электронов по состояниям:dN,f (E) =dνгде dN – число электронов, находящихся в интервале состоянийот ν до ν + dν , dν – число состояний с энергией, заключеннойв интервале от E до E + dE .
Число состояний dν можно представить в виде: dν = g ( E )dE , где g ( E ) называется плотностьюсостояний и равно числу состояний, приходящихся на единичныйинтервал энергии. Для плотности состояний g ( E ) должно выполняться очевидное условие:∞∫ f ( E ) g ( E )dE = nV ,0которое является, по существу, условием нормировки функции f (E).В силу определения f (E), функция распределения представляетвероятность того, что состояние с энергией E занято электроном.При абсолютном нуле температуры эта функция имеет вид:f (E) = 1 при E ≤ EF (0) и f (E) = 0 при E > EF (0) (рис. 4.3).При повышении температуры f (E) деформируется: электроны вблизи EF (0) начинают занимать более высокие уровни энергии, внутренние же электроны не могут изменять состояние(рис. 4.4).93Вид функции распределения при ненулевой температуреиграет большую роль в квантовой теории электронов, однакоопределение вида функции распределения достаточно сложно,поэтому просто приведем результат:f (E) =1,exp [ ( E − µ) / kT ] + 1где f (E) – функция распределения Ферми-Дирака, µ – химическийпотенциал.
Его часто обозначают как EF (T) и называют простоуровнем Ферми. При Т = 0 EF → EF (0) . В связи с новым обозначением распределение Ферми-Дирака часто записывают в виде:f (E) =1.exp [ ( E − EF ) / kT ] + 1Легко проверить, что при нулевой температуре распределение Ферми-Дирака имеет вид ступенчатой функции.Частицы, подчиняющиеся распределению Ферми-Дирака,называются фермионы.
Фермионами являются электроны, нейтрино, нуклоны и т.д. Это частицы с полуцелым спином. Дляфермионов характерно то, что они никогда не занимают состояние,в котором уже кто-то есть. Иначе говоря, фермионы не накапливаются в одном состоянии.Функции распределения Ферми-Дирака можно придать ещеодин смысл: это – среднее число электронов, находящихся в состоянии с энергией E.С ростом температуры, как уже отмечалось, происходит размытие края кривой функции распределения, но в любом случаепри E = EF f ( E ) = 1/ 2 .
Т.е. можно сказать, что уровень Ферми –это уровень энергии, вероятность заполнения которого равна 1/2.При больших значениях энергии, когда E − EF >> kT , экспонента в распределении Ферми-Дирака много больше единицы,тогда распределение Ферми-Дирака переходит в классическоераспределение Больцмана:f ( E ) ≈ exp [ −( E − EF ) / kT ] = const exp(− E / kT ) .94Поведение электронного газа существенно зависит от соотношения между температурой тела и температурой Ферми, равнойEF / k.
Различают два предельных случая:1) kT << EF ; в этом случае газ электронов называется вырожденным;2) kT >> EF ; такой газ называется невырожденным.В металлах температура Ферми составляет величину порядка104 К. Поэтому даже при температурах, близких к плавлению, электронный газ является вырожденным. В полупроводниках плотностьсвободных электронов гораздо ниже, чем в металлах, соответственно – ниже значение температуры Ферми. Поэтому уже при комнатных температурах электронный газ во многих полупроводникахявляется невырожденным и подчиняется распределению Больцмана.При низких температурах зависимость EF (T ) имеет вид:EF (T ) ≈ EF (0)(1 − αT 2 ) .Параметр α имеет очень малое значение, поэтому часто полагают EF ≈ EF (0) , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
