Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике (1076139), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Таким образом, система уравнений, описывающих поведение электрона, приобретет вид:i∂Cn= H n,n −1Cn −1 + H nn Cn + H n,n +1Cn +1 ,∂t(5.4)где коэффициенты H nm определяются соотношениемH nm = ∫ ψ n * Hˆ ψ m dx .Трудность заключается в следующем: мы не знаем, что ставить вместо коэффициентов H nm в уравнение (5.4). Но кое-чтомы все же можем сказать. Предположим, что электрон оказалсяоколо какого-либо атома и у него нет шансов перебраться к соседу слева или справа. В этом случае H nm = 0 при n ≠ m , и тогдакоэффициент H nn должен быть равен просто энергии E0 , которую имел бы электрон, если бы он не мог просачиваться от атомак атому.
Причем совершенно неважно, что мы обозначим черезE0 , реально это не означает ничего, кроме выбора нуля энергии.Коэффициенты же H n,n −1 и H n,n +1 , характеризующие вероятность111просачивания электрона к соседним атомам, без потери общностиможно считать равными друг другу, и для удобства положим ихравными отрицательному числу:H n,n −1 = H n,n +1 = − A .В связи с принятыми обозначениями перепишем системууравнений (5.4) в виде∂Cni= E0Cn − ACn +1 − ACn −1 .(5.5)∂tДля полного описания поведения электрона необходимо длякаждой из амплитуд Сn иметь по одному уравнению типа (5.5).В силу бесконечности цепочки атомов мы должны написать бесконечную систему уравнений! Выпишем только часть ее:∂Cn −1i= E0Cn −1 − ACn − 2 − ACn∂t∂Cni(5.6)= E0Cn − ACn +1 − ACn −1∂t∂Cn +1i= E0Cn +1 − ACn − ACn + 2∂tПопытаемся найти решение системы уравнений (5.6), соответствующее состояниям с определенной энергией E.
Для этоговозьмем решение в виде:iEtCn = ϕn exp(− ) .(5.7)Комплексное число ϕn дает не зависящую от времени часть амплитуды того, что электрон может быть обнаруженным возле n-гоатома. После подстановки (5.7) в (5.6) приходим к бесконечнойсистеме уравнений:E ϕn = E0 ϕn − Aϕn +1 − Aϕn −1 .(5.8)Если считать, что n-й атом находится в точке с координатой xn ,а (n +1)-й атом – в точке с координатой xn +1 = xn + b , то системауравнений (5.8) превращается вE ϕ( xn ) = E0 ϕ( xn ) − Aϕ( xn + b) − Aϕ( xn − b) .112(5.9)В качестве пробного решения системы уравнений (5.9) выберем выражениеϕ( xn ) = a exp(ikxn ) ;(5.10)здесь k – чисто вещественное число и имеет смысл волновогочисла, а сам множитель exp(ikxn ) дает пространственную зависимость амплитуд (при этом мы фактически воспользовалисьтеоремой Блоха).
Подставляя (5.10) в (5.9) и сокращая на общиймножитель exp(ikxn ) , получаем:E = E0 − 2 A cos kb .(5.11)Посмотрим теперь, что же мы получили. Остановимся на двухмоментах.1. Амплитуда того, что электрон находится вблизи какоголибо определенного атома, определяется выражением iEt Cn ∼ exp ( ikxn ) exp −.Вещественная и мнимая части этого выражения соответствуютволнам, движущимся по кристаллу либо вдоль оси X, либо противоси X, в зависимости от знака волнового числа k. Выбирая какоелибо значение k, мы получаем стационарное состояние с определенной энергией E. И в каждом таком состоянии вероятностьобнаружить электрон возле любого атома совершенно одинаковаи со временем не изменяется.
Т.е. электрон за счет просачиванияможет равновероятно оказаться возле любого атома. А это означает,что в периодическом поле бесконечно длинной решетки электрончувствует себя абсолютно свободным и может легко пройти черезкристалл, даже если ему приходится взаимодействовать с атомами.Т.е. в идеальной решетке электрон не испытывает никакого сопротивления. Конечно, понятие абсолютно свободного электрона достаточно условно. Позднее мы увидим, что придется видоизменить понятие массы электрона (будет введено понятие эффективной массы).2. Для свободного электрона в вакууме существует параболическая зависимость энергии от волнового числа: E = 2 k 2 / 2m .Для стационарных состояний электрона в идеальной решеткезависимость E ( k ) имеет принципиально другой вид и совпадает113с параболической только прималых k (рис.
5.2). Это легкополучить, если разложить выражение (5.11) в ряд по малым k.Кроме того, отсюда же видно,что знак коэффициента A в выражении (5.11) должен бытьположительным.Энергия E0 соответствуетэнергии электрона, который несмог бы просачиваться от одного атома к другому (бесконечно высокий потенциальный барьер).Из рисунка видно, что электроны в решетке могут иметь энергиюв пределах полосы ∆E , т.е. им разрешены только эти значенияэнергии и никакие другие.
Ширина полосы разрешенных значений энергии электрона ∆E определяется вероятностью перескакивания электрона от атома к атому, расстоянием между атомамии не зависит от размеров кристалла. Значения волнового числа,большие, чем π / b , рассматривать не стоит, они не приводятк каким-либо новым состояниям, а просто повторяют те состояния, которые уже появлялись при меньших k. Поэтому можноограничить изменения k основной зоной Бриллюэна.5.4. РАССЕЯНИЕ И ЗАХВАТ ЭЛЕКТРОНОВНА НЕРЕГУЛЯРНОСТЯХ РЕШЕТКИНаш первоначальный анализ привел к выводу, что у идеальных кристаллов и проводимость идеальна, т.е.
электроны могутдвигаться по кристаллу совершенно свободно.Рассмотрим теперь одиночный электрон в неидеальномкристалле. Пусть, например, один атом – «не тот», атом примеси,обладающий другой глубиной потенциальной ямы, чем атомыосновной матрицы. Здесь возможны два варианта.Первый вариант. Энергия атома примеси (пусть его номер –«нуль») несколько выше, чем у основных атомов. Обозначим этуэнергию E0 + F .
Будем исходить из системы уравнений, похожей114на (5.8), за одним исключением: уравнение при n = 0 не похожена остальные.E ϕ−2 = E0 ϕ−2 − Aϕ−1 − Aϕ−3E ϕ−1 = E0 ϕ−1 − Aϕ0 − Aϕ−2E ϕ0 = ( E0 + F )ϕ0 − Aϕ1 − Aϕ−1(5.12)E ϕ1 = E0 ϕ1 − Aϕ2 − Aϕ0E ϕ2 = E0 ϕ2 − Aϕ3 − Aϕ1 .Конечно, для общности полагалось бы писать разные A, в зависимости от того, прыгает ли электрон к атому с номером «нуль»или же от атома «нуль», но суть происходящего можно увидетьиз упрощенного примера.Выражение ϕ( xn ) = a exp(ikxn ) , представляющее волну, бегущую в направлении оси Х, по-прежнему будет являться решениемдля всех этих уравнений, кроме уравнения для атома «нуль».Логично попробовать в качестве общего решения всей системыуравнений взять сумму бегущих волн вдоль оси Х и против оси Х:ϕn = α exp(ikxn ) − β exp(−ikxn ), (n < 0)ϕn = γ exp(ikxn ), (n > 0)(5.13)(знак «минус» перед вторым слагаемым в первом уравнении обусловлен чисто формальными соображениями).В этом случае можно показать, что выражения (5.13) являются решением для всей бесконечной совокупности уравнений(5.12), включая и атом «нуль», при условии, что энергия электрона, как и раньше, равнаE = E0 − 2 A cos kb .А это означает, во-первых, что «падающая волна» с некоторойамплитудой, которую, не теряя общности, можно положить равной единице, приближается к атому «нуль» (или «рассеивателю»)слева.
При этом «рассеянная», или «отраженная», волна с амплитудой β бежит обратно. Кроме того, появляется и «проходящая»115волна с амплитудой γ = 1 − β . Амплитуда «отраженной» волнызависит от параметра F :β=F.F − 2iA sin kbВсе это очень похоже на прохождение частицей потенциального барьера, которое рассматривалось раньше. Во-вторых, энергетический спектр, оставаясь непрерывным, располагается в той жеполосе разрешенных значений энергии, что и для идеальной решетки.Второй вариант. Предположим теперь, что энергия электронав атоме примеси (при n = 0 ) ниже, чем где-либо в другом месте.В этом случае электрон может оказаться захваченным этим атомом.Иначе говоря, если E0 + F ниже дна полосы разрешенных значенийэнергии для идеальной решетки (меньше, чем E0 − 2 A ), то электронможет оказаться «пойманным» в состояние с энергией E < E0 − 2 A .Понятно, что выражения типа exp(−ikxn ) с действительными значениями k не могут описывать состояние «захваченного» электрона.
Но это можно получить, если разрешить k принимать мнимыезначения. Пусть k = iχ . Для n < 0 допустимое решение можетиметь вид:ϕn (n < 0) = a exp(χxn ) .(5.14)В экспоненте необходимо брать «плюс», иначе амплитуда прибольших отрицательных xn станет бесконечно большой. Аналогично, при n > 0 решение имеет вид:ϕn (n > 0) = a′ exp(−χxn ) .(5.15)Если подставить эти пробные решения в (5.12), то они удовлетворят всем уравнениям, кроме средней тройки, при условии:E = E0 − A[ exp(χb) + exp(−χb) ] .(5.16)Оставшейся тройке уравнений (5.12) можно удовлетворить,если положить a = a′ и значение χ выбрать так, чтобы выполнилось условие:A[ exp(χb) − exp(−χb)] = − F .116(5.17)Из соотношений (5.16) и (5.17) можно найти и энергию захваченного электрона:E = E0 ± 4 A2 + F 2 .(5.18)Так как ранее мы полагали, что энергия захваченного электрона должна быть меньше, чем E0 − 2 A , то в выражении (5.18)следует оставить знак «минус».
Что делать со знаком «плюс»,поймем позднее! Таким образом, энергия пойманного вблизиатома примеси электрона должна быть равнаE = E0 − 4 A2 + F 2 .Из приведенного анализа следует, во-первых, что захваченныйэлектрон обладает одной-единственной энергией, а не полосой,и эта энергия расположена несколько ниже полосы проводимости.Во-вторых, экспоненциальные решения типа (5.14) и (5.15) неутверждают, что захваченный электрон сидит прямо в атоме примеси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
