Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике (1076139), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Вероятность обнаружить его у соседних атомов дается квадратом этих амплитуд, и только с наибольшей вероятностью электрон можно встретить вблизи атома примеси. Для соседних атомоввероятность спадает экспоненциально по мере удаления от атомапримеси. Это новый пример «проникновения через барьер». С точкизрения классической физики, электрону попросту не хватило быэнергии, чтобы удалиться от энергетической ямы.5.5. ДИНАМИКА ПОВЕДЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА В РЕШЕТКЕВключим теперь внешнее электрическое поле.
Для описаниядинамики поведения электрона необходимо иметь более определенное представление о положении электрона. Это означает, чтомы должны наложить ограничения на значения координаты. Приэтом появляется конечное значение неопределенности его координаты ∆x . Это автоматически, в силу соотношения неопределенности, должно привести к неопределенности импульса ∆pи связанной с ней неопределенности волнового числа ∆k . Такиесостояния уже нельзя описывать волновой функцией вида117ψ = a exp [ −i(ωt − kx)] . Волновая функция теперь будет представлять суперпозицию плоских волн:ψ = ∑ a exp [ −i (ωt − kx) ] .∆kВспомним, что при наложении гармонических волн с близкими значениями волнового числа образуется «волновой пакет».Скорость перемещения «волнового пакета» называется групповой скоростью:ϑгр =dω.dkНаиболее вероятное положение электрона совпадает с центромэтого пакета.
Следовательно, групповая скорость и представляетсобой скорость электрона. Найдем ее значение:ϑгр =d ω 1 dE ( k )=.dkdkНайдем теперь ускорение электронаd ϑгрdt=d ϑгрdt:1 d dE1 d 2 E dk.( )=dt dkdk 2 dtdk 1 dp. По второму закону Ньютона произ=dtdtводная от импульса – это сила со стороны внешнего поля, поэтомуТак как k = p / , тоdkF==dt−12 d 2 E d ϑгр. 2 dt dk Данное соотношение отражает второй закон Ньютона, в которомвеличинаm* =2(d 2 E −1)dk 2(5.19)играет роль массы и называется эффективной массой электрона.118Итак, если на электрон не действуют внешние силы, то он двигается свободно (приближение свободных электронов), его положение в кристалле равновероятно в любой точке. Динамика движенияэлектрона под действием внешнего электрического поля определяется не истинной массой электрона, а введенной выше эффективноймассой, которая может не иметь ничего общего с обычной массой.В частности, эффективная масса может зависеть от направлениядвижения электрона в кристаллической решетке.Обратимся теперь к зависимости E ( k ) .
При малых значениях волнового числа, т.е. вблизи дна разрешенной зоны, энергияпропорциональна k 2 . Тогда d 2 E / dk 2 = const и m* ≅ m . В точкеперегиба d 2 E / dk 2 = 0 и m* → ∞ , т.е. внешнее поле неспособноизменить скорость электрона (точка перегиба как раз и соответствует значению E0 , при котором электрон неспособен просачиватьсяот одного атома к другому). Вблизи «потолка» разрешенной зоныd 2 E / dk 2 < 0 , а это означает, что эффективная масса электронаотрицательна, и под совместным действием поля решетки ивнешнего поля электрон получает ускорение, обратное внешнейсиле (это приведет нас к понятию «дырки»).5.6. ЭЛЕКТРОН В ТРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКЕПосмотрим теперь, что происходит с электроном в трехмерной решетке.
Пусть имеется прямоугольная решетка атомовс расстояниями a, b, c в трех направлениях (для кубической решетки a = b = c). Если выбрать начало координат в одном из атомов,то координаты всех других атомов можно представить в видеx = n x a , y = n y b, z = n z c ,где nx , n y nz – некоторые целые числа.Как и прежде, будем полагать, что связанный электрон с некоторой вероятностью может перепрыгнуть к другому атому, толькотеперь эти вероятности в направлении X, Y, Z будут в общем случаеразными, но, как и ранее, будем полагать:U ( x ) = U ( x + a ), U ( y ) = U ( y + b), U ( z ) = U ( z + c ) .119При этих предположениях система уравнений (5.6) будетвыглядеть следующим образом:∂C ( x, y, z )= E0C ( x, y, z ) − Ax C ( x + a, y, z ) −∂t− Ax C ( x − a, y, z ) − Ay C ( x, y + b, z ) − Ay C ( x, y − b, z ) − (5.20)i− Az C ( x, y, z + c) − Az C ( x, y, z − c),где, как и прежде, амплитуды C могут меняться во времени, а коэффициенты Ax , Ay , Az определяют теперь вероятность просачивания электрона в направлениях X, Y, Z.Как и ранее, будем искать решение этой системы уравнений в виде:C ( x, y, z ) = exp(−iEt) exp(ik x x + ik y y + ik z z ) ,(5.21)где k x , k y , k z – компоненты трехмерного вектора k .
Это легкопонять, если выражение (5.21) переписать в векторных обозначениях:C = exp(iEt) exp(−ikr ) .После подстановки (5.21) в (5.20) для энергии электронаможно получить выражение:E = E0 − 2 Ax cos k x a − 2 Ay cos k y b − 2 Az cos k z c .(5.22)Из данного выражения видно, что в трехмерной решеткеэнергия электрона зависит уже от трех волновых чисел k x , k y , k zдостаточно сложным образом. Характер изменения энергии зависит от относительных знаков и величин Ax , Ay , Az , но значенияэнергии в любом случае находятся в пределах некоторой полосыразрешенных значений энергии, как и для одномерной решеткиатомов.120Если тройка величин Ax, Ay, Az положительна и нас интересуютrмалые значения k , то, разлагая косинус в ряд, как и ранее, приходимк параболической зависимости энергии от волнового числа:E = Ax a 2 k x 2 + Ay b 2 k y 2 + Az c 2 k z 2(здесь энергия отсчитывается от дна разрешенной зоны).В простой кубической решетке a = b = c, и следует ожидать,что и Ax, и Ay, и Az будут также равны друг другу.
В этом случаеrэнергия будет пропорциональна квадрату волнового числа k .Оценим ширину зоны проводимости в кубическом кристаллес постоянной решетки a = 3·10–10 м, используя закон дисперсии(5.22). Будем полагать E0 > 0 и эффективную массу электрона m*вблизи дна зоны проводимости равной массе свободного электрона. Для этого представим закон дисперсии (5.22) нескольков другом виде:E (k ) = E0 3 − cos k x a − cos k y a − cos k z a .«Потолок» (максимальное значение энергии) зоны проводимости достигается при k x = ±π / a, k y = ±π / a, k z = ±π / a , а «дно»(минимальное значение энергии) – при k = 0 . При этом Emax = 6 E0 ,Emin = 0 .
Ширина зоны ∆E = Emax − Emin = 6 E0 . Рассчитаем теперьпо формуле (5.19) эффективную массу электрона вблизи дна зоны:−1 ∂2 E mi * = 2 при ki → 0(i = { x, y, z}) . После дифференцирования h ∂ki получаем: m* = me = h 2 / E0 a 2 , откуда находим ∆E = 6h 2 / me a 2 =5 эВ.В кристаллах некубической системы различие коэффициентовAx, Ay, Az приводит к тому, что «эффективная масса» электронастановится зависящей от направления его движения.Посмотрим теперь, что произойдет, если один из атомов заменить на атом примеси с другим значением энергии.
Вот теперьситуация меняется коренным образом! Если в одномерной цепочкеатомов электрон никак не мог «проскочить» мимо атома примеси,то в трехмерной решетке такая возможность у него уже появляется.А это означает, что теперь прежней альтернативы по поводу разрешенных значений энергии уже не существует.121В одномерной решетке электрон либо рассеивается на атомепримеси с сохранением зоны разрешенных значений энергии, либопоявляется связанное состояние с одним-единственным значениемэнергии ниже полосы проводимости.В трехмерной решетке у электрона сохраняется и та, и другая возможность! Т.е. энергетический спектр электрона должениметь вид непрерывной полосы разрешенных значений энергиии одиночного уровня, расположенного несколько ниже полосыпроводимости.5.7.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ В КРИСТАЛЛАХПопытаемся теперь понять, как влияет взаимодействие междуэлектронами на их энергетический спектр.Каждый электрон, как мы уже знаем, может иметь любуюэнергию в пределах разрешенной зоны (в этом проявляется периодичность потенциальной энергии взаимодействия электрона с атомами решетки). Если теперь в кристалл внести два электрона, то ихвзаимодействие приведет к тому, что вместо одного уровня энергиипоявятся два (так происходит расщепление уровней энергии).
Этопроисходит потому, что каждый энергетический уровень соответствует определенному значению волнового числа, т.е. определенномусостоянию электрона. В силу принципа запрета Паули два электрона не могут находиться одновременно в одном состоянии, следовательно, не могут и иметь одинаковую энергию. С учетом спина электрона на любом уровне энергии могут находиться только два электрона, обладающихпротивоположными спинами.При сближении N атомов вместо одногоуровня энергии возникает N уровней, расположенных в пределах разрешенной зоны.Таких разрешенных зон может быть несколько (рис.
5.3), т.к. каждая зона образуется изотдельного уровня энергии атома, а такихуровней может быть несколько. Ширина разрешенной зоны энергии от размеров кристалла не зависит и обычно бывает порядка122нескольких электрон-вольт. И если в кристалле порядка 1023 атомов, то расстояние между соседними уровнями из-за сближенияатомов в зоне будет порядка 10–23 эВ. На рис. 5.3 цифрами 1 и 3обозначены разрешенные зоны, цифрой 2 – запрещенная зона( ∆E – ширина запрещенной зоны).
Первая зона при абсолютномнуле температуры свободна от электронов, третья зона может бытьчастично или полностью заполнена электронами и называетсявалентной, т.к. возникает из уровня, на котором находятся валентные электроны в основном состоянии атома.В зависимости от степени заполнения электронами валентной зоны и ширины запрещенной зоны могут быть реализованытри варианта:1. Часть уровней валентной зоны свободна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
