Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике (1076139), страница 16
Текст из файла (страница 16)
К бозонам относятся все частицыс нулевым или целым спином (наиболее яркие представители –фотоны). Частицы, описываемые антисимметричными волновымифункциями, называются ферми-частицами, или фермионами,100и подчиняются статистике Ферми – Дирака. К фермионам относятся все элементарные частицы с полуцелым спином (электроны,протоны, нейтроны, нейтрино и др.). Указанная связь междуспином и статистикой справедлива и для сложных частиц, построенных из элементарных, т.е. для атомных ядер, атомов и молекул.Принадлежность сложной частицы к бозонам или фермионамопределяется ее спином.Например, атом водорода состоит из двух ферми-частиц: протона и электрона, спин каждого из которых равен 1/2. Суммарныйспин атома водорода в нормальном состоянии может быть равенлибо 0 (спины электрона и протона антипараллельны), либо 1(спины параллельны).
В обоих случаях атом водорода в нормальном состоянии будет бозоном.Второй пример. Ядро атома гелия 4Не состоит из двух протонов и двух нейтронов. Спин этого ядра равен нулю, т.е. оно являетсябозоном. Бозоном будет и сам атом 4Не в нормальном состоянии.А от ядро 3Не состоит уже из нечетного числа частиц со спином 1/2 –двух протонов и нейтрона. Спин этого ядра нечетный, и поэтомуоно является фермионом. Ядра и атомы 4Не подчиняются статистикеБозе – Эйнштейна, а ядра и атомы 3Не – статистике Ферми – Дирака(это проявляется, например, в том, что 4Не вблизи абсолютного нулятемпературы обладает сверхтекучестью, а 3Не – не обладает).Применим принципы симметрии и антисимметрии к системедвух одинаковых не взаимодействующих между собой частиц.Уравнение Шредингера для такой системы в стационарном состоянии можно записать в виде:Hˆ ψ = ( Hˆ + Hˆ )ψ = E ψ ,12где операторы Гамильтона Ĥ1 и Ĥ 2 имеют совершенно одинаковый вид, но зависят от координат разных частиц.
Решение данного уравнения (оно является уравнением с разделяющимисяпеременными) можно представить в виде произведения двухфункций: ψ = ϕα (1)ϕβ (2) , где ϕα и ϕβ являются волновымифункциями, описывающими состояние каждой отдельной частицы, а символами 1 и 2 условно обозначены координаты первойи второй частицы. В силу тождественности частиц функцияϕβ (1)ϕα ( 2) также будет решением уравнения Шредингера. Однако101ни одна из этих функций не удовлетворяет принципу симметрииили антисимметрии. Но из них можно составить линейные комбинации, среди которых будет симметричная функция:(4.4)ψ s = ϕα (1)ϕβ ( 2) + ϕα ( 2)ϕβ (1)и антисимметричнаяψ a = ϕα (1)ϕβ ( 2) − ϕα ( 2)ϕβ (1) .(4.5)Состояние, описываемое функцией ψs, может реализоватьсяв случае системы двух одинаковых бозонов, а состояние ψa – в случае системы двух одинаковых фермионов.В случае не взаимодействующих одинаковых частиц имеетсмысл говорить о состоянии не только системы в целом, но и о состоянии одной частицы.
Например, можно сказать, что одна какаято частица находится в состоянии φα, а другая – в состоянии φβ. Приэтом фермионы ведут себя совершенно иначе, чем бозоны.В системе одинаковых фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии. Это отчетливовидно из соотношения (4.5), так как в случае ϕα = ϕβ волноваяфункция системы обращается в нуль, что физически не соответствует никакому состоянию. Это положение называется принципом запрета Паули, которым мы уже пользовались ранее.Что касается бозонов, то на их состояние принцип симметрии волновых функций не накладывает никаких ограничений,подобных принципу запрета Паули. В одном и том же состоянииможет находиться любое число одинаковых бозонов.ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ«КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ»4.1.
Найти с помощью формулы (4.1) среднюю кинетическую энергию свободных электронов в металле при температуре 0 К, если их максимальная кинетическая энергия равна Emax .4.2. Опираясь на распределение электронов в металле по энергиям, найти распределение dn( p ) электронов по импульсам. Найтичастный случай распределения при температуре 0 К.1024.3. Найти долю η свободных электронов в металле при температуре 0 К, кинетическая энергия которых больше половинымаксимальной.4.4. Вычислить температуру идеального газа, у которогосредняя кинетическая энергия частиц равна средней кинетическойэнергии свободных электронов в меди при температуре 0 К.
Принять, что на каждый атом приходится один свободный электрон.4.5. Найти интервал между соседними уровнями свободныхэлектронов в металле при температуре 0 К вблизи уровня Ферми,если объем металла V = 1,00 см3 и концентрация свободных электронов n = 2,0·1022 см–3.4.6. Вычислить наиболее вероятную ϑвер и среднюю ϑ ско-рости свободных электронов в меди при температуре 0 К, еслиих концентрация равна 8,5·1022 см–3.4.7.
Получить функцию распределения свободных электроновв металле по дебройлевским длинам волн при температуре 0 К.4.8. Найти давление электронного газа в металле при температуре 0 К при концентрации свободных электронов 2,5·1022 см–3.Показать, что оно составляет 2/3 от объемной плотности его кинетической энергии (точно так же, как и для классического идеального газа).4.9. Получить выражение для концентрации свободных электронов в металле, для которых скорости находятся в интервалеот ϑ до ϑ + d ϑ :n(ϑ)d 3ϑ = 2(m / 2π )3 (1 + exp [ ( E − EF ) / kT ]) −1 d 3ϑ ,где d 3ϑ = d ϑ x d ϑ y d ϑ z .Указание. Учесть выражение для концентрации свободных электронов в металле.4.10.
Свойства щелочных металлов хорошо описываютсямоделью свободных электронов. Найти для цезия значениеуровня Ферми, считая, что на каждый атом приходится одинсвободный электрон.1035. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ПРОВОДИМОСТИТВЕРДЫХ ТЕЛ5.1. ТИПЫ СВЯЗЕЙ В КРИСТАЛЛАХБольшинство элементов и соединений обнаруживают кристаллическую упорядоченную структуру. Механизм, связывающийатомы в молекулы, может приводить к образованию безграничныхтвердых периодических структур, которые можно рассматриватькак сверхмолекулы.
В зависимости от природы частиц, находящихся в узлах кристаллической решетки, и от характера сил взаимодействия между частицами, различают четыре основных типакристаллической связи.Ионные кристаллы. Подобно ионным и ковалентным молекулам, существуют ионные и ковалентные кристаллы. Типичнымпримером ионной решетки является структура ионного кристаллаNaCl, имеющего кубическую решетку. Ближайшими соседямиу каждого иона Na+ являются шесть ионов Cl–. Этому пространственному расположению ионов Na+ и Cl– соответствует наименьшаяэнергия (т.е. при образовании такой конфигурации выделяетсямаксимальная энергия).
Этим и объясняется то, что при охлаждении до температуры ниже точки плавления NaCl и многие другиевещества стремятся образовать чистые кристаллы. В газообразномсостоянии NaCl состоит из молекул, в которых объединены попарно ионы натрия и хлора. Образующая молекулу группировкаиз Na+ и Cl– утрачивает в кристалле обособленное существование. Весь кристалл в целом можно рассматривать как одну гигантскую молекулу.Ковалентные кристаллы. За счет данной связи (ее называют гомеополярной, или ковалентной) образуются так называемыеатомные кристаллы. Ранее мы рассматривали механизм образования молекулы метана CH4, в которой ковалентная связь осуществляется электронными парами валентных, т.е.
наименее связанных с атомами, электронов. Молекула метана представляет104собой правильный тетраэдр, в вершинах которого располагаютсяатомы водорода, а в центре находится атом углерода. Посколькукаждый электрон способен обеспечить связь только с одниматомом, то число связей, в которых может участвовать данныйатом (число соседей, с которыми он может быть связан), равноего валентности.Разновидностью твердого углерода, обладающего наиболеесильной связью, является алмаз.
Если четыре атома водородав CH4 заменить атомами углерода, то получится элементарнаяячейка кристаллической структура алмаза. Структуры, аналогичные алмазу, образуют при кристаллизации и другие четырехвалентные элементы: германий, кремний, олово и др. Дляих решеток характерно то, что каждый атом окружен четырьмяравноотстоящими от него соседями, расположенными в вершинах правильного тетраэдра. Каждый из четырех валентныхэлектронов входит в электронную пару, связывающую данныйатом с одним из соседей.Металлические кристаллы. Допустим, что один из валентных электронов атома перешел на более высокий энергетическийуровень. Можно ожидать, что его волновая функция станет болееразмытой. Но при этом электрон окажется ближе к соседним атомам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
