Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике (1076139), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Поскольку остовы этих атомов обладают положительнымзарядом и притягивают электрон, то они будут еще больше размывать электронную волновую функцию, что приведет к ее перекрытию с соседней. В результате волновая функция окажется равномерно размытой по всему кристаллу, с некоторыми сгущениямивблизи каждого притягивающего атомного остова (иона).

Размытие волновой функции играет роль «цемента», скрепляющегоположительные ионы, в противном случае решетка распаласьбы под действием кулоновского отталкивания между ионами.Это и обуславливает их металлическую связь, характерную длякристаллов, построенных из одновалентных атомов (литий, натрий,калий и др.). Кристаллы с таким типом связи называются металлами.

К металлам относятся элементы, атомы которых содержатвнешние недостроенные электронные оболочки.Металлическая связь возникает, когда атомы сближаютсяна расстояние, меньшее размеров облака внешних электронов.105Вследствие принципа запрета Паули такая конфигурация приводит к возрастанию энергии внешних электронов. Однако в случаеметаллов эта энергия все же меньше, чем в случае, когда атомынаходятся на больших расстояниях друг от друга.

Если атомысближаются настолько, что их внутренние заполненные оболочкиначинают соприкасаться, то ядра попадают в пределы области,занимаемой облаком внешних электронов соседнего атома. В такомслучае внешний электрон притягивается соседними ядрами, чтоприводит к возрастанию его энергии связи и к еще большемуувеличению размеров соответствующего облака. Это позволяетэлектрону приближаться к удаленным соседям, которые, в своюочередь, еще больше размывают электронное облако. В итогеволновая функция каждого из внешних электронов равномернораспределяется по всему кристаллу!Нетрудно увидеть, что квантовая механика вполне разумнообъясняет проводимость металлов.

То, что в металлах приходится,по крайней мере, один свободный электрон на каждый атом, обусловлено отчасти волновой природой электронов. Эти свободныеэлектроны (их еще называют электронами проводимости) не связаны с каким-либо определенным атомом и могут свободно перемещаться по металлу в любом направлении. Наличие свободныхэлектронов в чистых металлах по существу следует рассматриватькак макроскопическое проявление квантовых законов.В ионных и ковалентных кристаллах внешние электронысвязаны (локализованы вблизи ядра), поэтому такие кристаллыобычно не проводят электрический ток, – это изоляторы.Молекулярные кристаллы представляют собой слабо связанные агрегаты молекул. Связь обусловлена силами Ван-дерВаальса.

К молекулярным кристаллам относятся почти все органические кристаллы и многие другие соединения. Молекулярнаясвязь является единственной связью у кристаллов, образованныхиз атомов инертных газов. Молекулярные решетки образуют,например, H2, N2, O2, CO2, H2O. Обычный лед, а также твердаяуглекислота представляют собой молекулярные кристаллы. Длямолекулярных кристаллов характерны низкие температуры плавления, кипения и сублимации, а также сильная сжимаемость.1065.2. ТЕОРЕМА БЛОХА И ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНАОсновной особенностью кристаллов, отличающей их от жидких и аморфных тел, является периодичность пространственногорасположения атомов, молекул или ионов, из которых состоиткристалл.

В этом проявляется так называемый дальний порядок.Периодичность расположения атомов проявляется в трансляционной симметрии. Это означает, что существуют три некомпланарныхвектора: a , b , c – такие, что при смещении (трансляции) решеткина вектор трансляцииl = n1a + n2b + n3cона переходит сама в себя ( n1 , n2 , n3 – целые числа, в том числеи нули). Если при неизменных направлениях a , b , c выбрать ихдлины минимальными, и при этом можно было бы трансляциямивдоль этих направлений получить всю кристаллическую решетку,то вектора a , b , c называются основными (базисными) векторами,а их совокупность – базисом решетки.

Параллелепипед с ребрамиa , b , c вместе с находящимися в нем атомами образует так называемую элементарную ячейку кристаллической решетки. Тогдадлины ребер a , b , c являются основными периодами решетки.Расположение атомов во всем кристалле можно определить,задав состав одной элементарной ячейки, путем бесконечногоповторения таких ячеек. Однако фактическое определение элементарной ячейки является до некоторой степени произвольным.Трансляционная симметрия кристаллических тел, очевидно,значительно влияет на различные возбуждения, которые нарушают точную симметрию рассматриваемых структур. Существуетнесколько типов таких возбуждений; из них наиболее важнымиявляются колебания решетки, а также электронные состояния,соответствующие движению электронов в поле покоящейся решетки.

Во всех этих случаях следует рассматривать уравнение, инвариантное относительно трансляций решетки. Например, для электронных состояний волновая функция ψ (r ) должна удовлетворятьуравнению Шредингера, которое должно оставаться неизменным107при замене r на r + l во всех операторах, действующих на функцию ψ (r ) ( l – вектор трансляции).В математическом плане следствием трансляционной симметрии является теорема Блоха, которая гласит, что волноваяфункция, являющаяся решением уравнения Шредингера, при движении электрона в поле с периодическим потенциалом должнаудовлетворять условию:ψ k (r + l ) = exp(ikl )ψ k (r ) ,(5.1)где k – волновой вектор. Условию (5.1) удовлетворяет и обычнаяволновая функция свободного электронаψ k (r ) = exp(ikr ) .Этого и следовало ожидать, т.к.

и в данном случае рассматриваетсярешение уравнения Шредингера с периодическим потенциалом,только сам потенциал всюду равен нулю.Иногда бывает удобно представить волновую функциюэлектрона с данным значением k в виде, возможно более близкомк волновой функции свободного электрона. Для этого представимψ (r ) в видеψ k (r ) = exp(ikr )uk (r ) ,(5.2)полагая, что функция uk (r ) является почти постоянной. Из сравнения формул (5.2) и (5.1) следует, что функция ψ (r ) должнабыть периодической с периодом решетки l :uk ( r + l ) = uk ( r ) .Таким образом, условие (5.1) фактически означает, что решение уравнения Шредингера в поле с периодическим потенциаломдолжно иметь вид (5.2), где uk ( r ) – функция, имеющая периодичность потенциала, т.е. периодичность решетки.

Функции типа (5.2)называются функциями Блоха, а сама теорема Блоха обычнои формулируется в виде (5.2).108В одномерной решетке с периодом b соотношение (5.1) можнозаписать в видеψ k ( x + b) = exp(ikb)ψ k ( x) ,(5.3)из которого сразу следует, что волновое число k определеноне однозначно. В самом деле, если представить значение k в виде2πk = k0 +n,bгде n – произвольное целое число, то из (5.3) следует: 2πn  ψ k ( x + b) = exp i  k0 + b ψ k ( x) =b   = exp(ik0b) exp(i 2πn)ψ k ( x) = exp(ik0b)ψ k ( x).Последнее соотношение означает, что функция ψ k удовлетворяет теореме Блоха так, как будто ей соответствует волновоечисло k0.

То есть каждой функции ψ k соответствует множествовозможных волновых чисел, отличающихся на 2πn / b . Естественно, в качестве области изменения волнового числа следует выбратьобласть с наименьшим возможным изменением. Эта область изменения волнового числа называется зоной Бриллюэна. В частности,можно поступить так, чтобы точка k = 0 была точкой зеркальнойсимметрии. Другими словами, мы всегда будем выбирать для волнового числа k значение, которое лежит в интервалеππ− <k< .bbТакая зона Бриллюэна называется основной.

Ей соответствуют физически различные состояния.5.3. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕПопытаемся теперь учесть влияние кристаллической решетки на поведение электронов. Рассмотрим вначале ситуацию приотсутствии внешнего электрического поля. Для простоты рассмотрим одномерный кристалл в виде цепочки нейтральных атомов (рис. 5.1). Запустим в решетку один электрон. Энергия его109взаимодействия с атомамипредставляет собой периодическую функцию:U ( x ) = U ( x + b).Электрон может присоединиться к какому-либоатому и создать слабо связанный отрицательный ион.

Высота потенциального барьера связиатома и электрона больше, чем полная энергия электрона. За счеттуннельного эффекта лишний связанный электрон может с некоторой вероятностью перейти к другому атому. Но к какому? Так какцепочка атомов бесконечно длинная, то вероятность переходов в обестороны одинакова.Поведение электрона в бесконечной цепочке атомов подчиняется уравнению Шредингера:i∂ψ ˆ= Hψ .∂tЗдесь Ĥ – оператор Гамильтона (оператор энергии), равныйHˆ = −22m∆ +U = −∂2+ U ( x) ,2m ∂x 22U – потенциальная энергия взаимодействия электрона с атомами,для которой известно только то, что она подчиняется условиюпериодичности:U ( x) = U ( x + b) .Пронумеруем все атомы цепочки по порядку:...n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2...Понятно, что нам не удастся получить какое-либо решениеуравнения Шредингера без подробной информации о виде потенциальной энергии взаимодействия электрона с атомами.

Однаконекоторые существенные выводы о поведении электрона можнополучить и без подробного анализа уравнения Шредингера. С этойцелью применим подход, рассмотренный в разделе «Операторныйметод». В качестве базисных состояний ψ α выберем состояния110электрона, находящегося вблизи атома с номером n – ψ n . С помощью этих базисных состояний можно описать любое состояние ψодномерного кристалла, задав все амплитуды Сn того, что состояние ψ находится в одном из базисных состояний.Запишем состояние ψ в виде суперпозиции базисных состояний ψ n :ψ = ∑ Cn ψ n .nКроме того, предположим, что когда электрон находитсявблизи одного из атомов, то имеется некоторая вероятность егопросачивания к атому слева или справа. Следуя Фейнману [3],рассмотрим простейший случай, когда электрон может просачиваться только к ближайшим соседям, а к следующему соседу онсможет дойти в два приема. Это будет означать, что в уравнении(1.10), записанном для какой-либо амплитуды Сn, в правой частинеобходимо оставить суммирование только по ближайшим соседям (по существу, аналогичная идея реализована в так называемомметоде сильной связи).

Характеристики

Список файлов лекций