Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике (1076139), страница 15
Текст из файла (страница 15)
уровень Ферми практически не зависитот температуры. Но иногда эта зависимость имеет принципиальное значение, например, в случае анализа явлений, происходящихпри контакте различных металлов или полупроводников.Для многих практических задач о поведении свободныхэлектронов в металлах и полупроводниках необходимо знаниераспределения электронов не по состояниям, а по энергии.
Дляэтого найдем концентрацию электронов dn(E) в интервале энергии от E до E +dE:dN f ( E )dνdn( E ) ==.VVВспомним, что число состояний с энергией, не превышающей E,равно:3/ 28 ( 2m )νE = πE 3/ 2V .33 (2π )Найдем его дифференциал и подставим в выражение для dn(E):dn( E ) =2m3π2 3E f ( E )dE .95С учетом распределения Ферми-Дирака получаем окончательно:2m3EdE.2 3exp [ ( E − EF ) / kT ] + 1πdn( E ) =(4.1)При этом мы попутно получили и выражение для плотностисостояний g ( E ) :g (E) =dν2m3= 2 3dE πEV .(4.2)4.3. ФОНОНЫ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНАПо кристаллической решетке (и не только металлов) могутдвигаться не только электроны.
Согласно классическим представлениям, кристалл, состоящий из N атомов, является системойс 3N колебательными степенями свободы, на каждую из которыхприходится в среднем энергия kT. Квантовая механика дает другой результат для средней энергии.Рассмотрим вначале колебания одного независимого гармонического осциллятора.Ранее было показано, что его энергия принимает значения:ε n = ( n + 1/ 2) ω ( n = 0,1, 2... ).Найдем его среднюю энергию. Полагая, что распределениесовокупности независимых осцилляторов по состояниям с разнойэнергией подчиняется распределению Больцмана, для ε получаем выражение:∞ε =∑nn =0∞ω exp(− n ω / kT )∑ exp(−n+ω / kT )ω.2(4.3)n =0Подобное выражение появляется при выводе формулы Планкадля спектральной плотности теплового излучения абсолютно черноготела.
В данном случае отличие только во втором слагаемом, определяющем энергию «нулевых» колебаний. Для расчета первого сла96гаемого в выражении (4.3) введем переменную α = 1/ kT . Тогда егоможно привести к более простому виду следующим образом:∑ n ω exp(−αn ω) = − ∂ ln exp(−αn∑∂α ∑ exp(−αn ω)ω) = −∂1ln.∂α 1 − exp(−α ω)Выполнив дифференцирование по α, получаем выражение длясредней энергии осциллятора:ωω.ε =+2 exp( ω / kT ) − 1При достаточно больших температурах второе слагаемоестремится к kT (именно это и дает классическая теория).«Включим» теперь взаимодействие между атомами.
Тогдаколебания атомов уже не будут являться независимыми. Для учета взаимодействия между атомами вспомним так называемые«собственные колебания» струны из раздела механики. Там былопоказано, что произвольные колебания струны являются суперпозицией гармонических стоячих волн. Так и здесь: каждому колебанию кристаллической решетки соответствует стоячая волна,устанавливающаяся в объеме кристаллического тела. Частоты этихколебаний (ωi) имеют дискретный спектр. Таким образом, энергияколебаний кристаллической решетки U может быть представленакак сумма энергий отдельных колебаний:3N∞i =1ni = 0U = ∑ ωi ∑ (ni + 1/ 2).Здесь ni – главное квантовое число, нумерующее состояние с частотой ωi, N – число колеблющихся атомов.
За вычетом энергиинулевых колебаний энергия каждого колебания частоты ωi слагается из порций величиныεi = ωi .Эта порция энергии (квант) принадлежит частице, называемой фононом (не путать с фотоном, хотя это очень близкие понятия). Кроме энергии фононы обладают также импульсомp= kздесь k волновое число соответствующего колебания.97Фонон во многих отношениях ведет себя так, как если бы онбыл частицей с энергией ω и импульсом k . Однако, в отличиеот обычных частиц (электронов, фотонов…), фонон не можетвозникнуть в вакууме. Фонон – это колебание атомов, и для еговозникновения и существования нужна некоторая среда. Поэтомуон называется «квазичастица».Найдем среднее число фононов частоты ωi.
Для этого усредним энергию фононов:(ni + 1/ 2) ωi = ni ωi + ωi / 2 .Подобное мы только что проделывали, поэтому просто приведем результат:ωini ωi == ni ωi .exp( ωi / kT ) − 1Отсюда находим:ni =1.exp( ωi / kT ) − 1Данное соотношение и представляет собой распределениефононов по энергии. Кванты электромагнитного поля (фотоны)также подчиняются подобному распределению.
Из этой формулыследует, что в кристалле может одновременно возбуждаться неограниченное количество одинаковых фононов. Значит, на фононы,как и фотоны, принцип Паули не распространяется. Поведениефононов и фотонов определяется одной и той же статистикой. Ноесть и существенное различие: фотоны – истинные частицы, фононы – квазичастицы. Полученное распределение представляет собойчастный случай распределения Бозе-Эйнштейна, которому подчиняются частицы, обладающие целочисленным спином:1,ni =exp(( Ei − µ) / kT ) − 1где ni – среднее число частиц, находящихся в состоянии с энергией Ei, µ – химический потенциал (µ < 0), определяемый из условия∑ ni = N .Здесь N – полное число частиц в системе.
Для фотонов и фононов µ = 0. Частицы, подчиняющиеся этой статистике, – называ98ются бозонами. Для них характерно то, что вероятность рождения в состоянии, в котором уже имеется n частиц, пропорциональна числу частиц. Т.е. бозоны, в отличие от фермионов, являются «коллективистами».4.4. ПРИНЦИП НЕРАЗЛИЧИМОСТИ КВАНТОВЫХ ЧАСТИЦВ отличие от макроскопических тел, элементарные частицы(электроны, протоны, нейтроны и др.) обладают совершенноодинаковыми свойствами.
В связи с этим возникает вопрос: какотличить одну частицу от другой такой же частицы? Рассмотрим,например, систему, состоящую из двух электронов. Классическаяфизика исходит из того, что каждый электрон движется по своейопределенной траектории, и потому принципиально возможнопроследить за движением каждого из них. И если эти электроныпоменяются местами, то мы получаем новое состояние, котороево всех отношениях обладает теми же свойствами, что и исходное состояние, но отличается нумерацией электронов; т.е.
в классической физике одинаковые частицы всегда различимы.Совсем иначе дело обстоит в квантовой механике. Состояниесистемы из двух электронов описывается двухчастичной волновойфункцией, являющейся функцией времени и координат обоихэлектронов. Обнаружив в какое-то время в данной точке пространства один из электронов, абсолютно невозможно сказать,какой из электронов оказался в данном месте: в квантовой механике нет понятия траектории, по которой можно было бы проследить движение электрона. А это означает, что если две одинаковыечастицы поменять местами, то результат такого обмена нельзя обнаружить экспериментально. Поэтому в квантовой механике принимается, что при перестановке двух одинаковых частиц не возникает нового состояния. Одинаковые частицы принципиальнонеразличимы! Можно говорить о состоянии системы одинаковыхчастиц только в целом, а не о состоянии каждой частицы в отдельности.
Это положение формулируется в виде принципа тождественности одинаковых частиц: в системе одинаковых частиц реализуются только такие состояния, которые не меняются при перестановке местами двух любых частиц.99Вернемся к системе из двух одинаковых частиц. Волновуюфункцию такой системы, если отвлечься от времени, можно записать в виде ψ(q1, q2). В случае бесспиновых частиц под q понимается совокупность трех пространственных координат каждой частицы. Если же частицы обладают и спином, то к тройке пространственных координат следует добавить еще спиновые координаты,которые могут принимать ряд дискретных значений, например,значение проекции спина.
Переставим теперь местами эти частицы. Тогда волновая функция такого состояния будет иметь видψ(q2, q1). Эту операцию можно рассматривать как результат действия на функцию ψ(q1, q2) линейного оператора P̂ , называемогооператором перестановки:ψ ( q , q ) = Pˆ ψ ( q , q ) .2112После вторичной перестановки получаем исходную функциюψ(q1 , q2 ) :ψ ( q1 , q2 ) = Pˆ ψ ( q2 , q1 ) = Pˆ 2 ψ ( q1 , q2 ) .Отсюда находим, что Pˆ = ±1 .
А это означает, что допустимы волновые функции двух типов:ψ s (q1 , q2 ) = ψ s (q2 , q1 ) ,ψ a (q1 , q2 ) = −ψ a (q2 , q1 ) .В первом случае волновая функция при перестановке частицне изменяется и называется симметричной, во втором случаефункция называется антисимметричной и при перестановке одинаковых частиц изменяет знак.Полученные результаты распространяются и на системы,состоящие из произвольного числа одинаковых частиц. В этомслучае, как показывает опыт, симметрия или антисимметрияволновой функции имеет место при перестановке двух любыходинаковых частиц.Частицы, описываемые симметричными волновыми функциями, называются бозе-частицами, или бозонами, и подчиняютсястатистике Бозе – Эйнштейна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
