Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике (1076139), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Для потенциального барьера произвольнойформы (рис. 2.3) полученное выражение для D следует заменить на 2bD ≈ exp  − ∫ 2m(U − E )dx  . (2.1)aПри преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» внутри него. Поэтому данное явление и назвалитуннельным эффектом.2.3. ПРОЯВЛЕНИЯ ТУННЕЛЬНОГО ЭФФЕКТАРассмотрим применение туннельного эффекта к явлениюα-распада.

Известно, что большое число радиоактивных ядерраспадается с испусканием α-частиц. Можно предположить, чтоα-частицы еще до распада заключены в ядрах радиоактивныхатомов как в потенциальной яме. Эта яма внутри имеет вертикальную стенку при r = R ( R – радиус ядра, отрицательное значение энергии внутри ядра связано с наличием поля короткодействующих ядерных сил), а снаружи определяется законом Кулона(рис. 2.4).Будем полагать, что энергия вылетающих α-частицмного меньше высоты потенциального барьера (Eα << U0).С точки зрения классическойфизики α-распад в принципеневозможен! Однако за счеттуннельного эффекта существует некоторая не равнаянулю вероятность обнаружитьα-частицу за пределами ядра.39Вероятность распада ядра в единицу времени, которая является постоянной распада λ, пропорциональна числу столкновенийα-частиц с потенциальной стенкой за 1с-n и коэффициенту прохождения потенциального барьера D:λ = nD .Число столкновений α-частиц со стенкой барьера можноприближенно записать в виде:n ≈ ϑ / 2R ,где ϑ – скорость α-частицы с массой mα внутри ядра.

Скоростьможно оценить из соотношения неопределенностей:ϑ=pα.≈mα mα RТаким образом, вероятность распада в единицу времениможно приближенно представить в виде:λ≈D.2mα R 2Оценим теперь коэффициент прохождения α-частицей потенциального барьера. Так как заряд α-частицы qα = 2e , то оставшаяся часть ядра с порядковым номером Z имеет заряд q = ( Z − 2)e .Тогда внешний склон потенциальной энергии взаимодействияα-частицы и оставшегося ядра будет представлен выражением(в гауссовой системе единиц)U (r ) =qqα.rТаким образом, для коэффициента прохождения барьера (2.1)получаем 2 R1qqD ≈ exp  − ∫ 2mα ( α − Eα )dr  .rR40В силу заложенных условий в подынтегральном выраженииможно пренебречь величиной Eα .

Вычислим этот интеграл:I =−2R1∫RR12mα qqα2dr = − 2mα qqα ∫ r −1/ 2 dr .rRКроме того, из рис. 2.4 видно, чтоqqqqα= Eα , откуда R1 = α .EαR1Тогда интеграл I примет значение:I =−42mα qqα R1 (1 −R).R1Если воспользоваться очевидным неравенством R1 >> R и тем,qqчто R1 = α , для коэффициента прохождения D получим приEαближенное выражение:2mα4D ≈ exp(− qqα).EαПериод полураспада ядра T, как известно, связан с постоянной распада λ соотношением:T=ln 2.λИ для него получаем значение:T≈2mα R 2 ln 2 2mα R 2 ln 22mα4≈exp( qqα).DEαПосле логарифмирования полученного выражения приходимк соотношению:ln T ≈ A +BEα,где A и B – очевидные константы.41Полученное выражение отражает закон Гейгера – Неттола,согласно которому скорость α-частиц для элементов с малым периодом полураспада больше, чем для долгоживущих.Другие проявления туннельного эффекта:1. Автоэлектронная эмиссия – испускание электронов с поверхности твердых тел и жидкостей под действием сильного электрического поля.2.

Эффект Джозефсона – протекание сверхпроводящего токачерез тонкий слой изолятора, разделяющий два сверхпроводника.3. Туннельный диод.4. Спонтанное деление атомных ядер и т.д.И, как это ни парадоксально, протекание электрического тока через металл (т.е. движение электронов через кристаллическую решетку) в принципе невозможно без туннельного эффекта(об этом речь пойдет позднее).2.4.

КВАНТОВАЯ ЧАСТИЦА В БЕСКОНЕЧНО ГЛУБОКОЙПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕРассмотрим стационарные состояния микрочастицы в бесконечно глубокой потенциальной яме.Пусть частица может двигаться только вдоль оси X. Потенциальная энергия такой частицы равна нулю при 0 ≤ x ≤ l и обращается в бесконечность вне этого интервала (рис.

2.5). Найдемсобственные функции и собственные значения энергии частицы в такой яме.Уравнение Шредингерадля стационарных состоянийв данном случае будет иметьвид:d 2 ψ 2m+ 2 (E − U ) = 0 .dx 242Так как за пределы такой ямы частица попасть не может, то вероятность обнаружить частицу вне ямы равна нулю и соответственноволновая функция так же равна нулю.

Из условия непрерывностиследует, что ψ должна быть равна нулю и на границах ямы. Такимобразом, требуется решить дифференциальное уравнениеd 2 ψ 2m+ 2 E =0dx 2при граничных условиях ψ (0) = ψ (l ) = 0 . Введем обозначение:k2 =2m2E,где параметр k имеет смысл волнового числа волны де Бройлядля данной частицы. Решение дифференциального уравнениябудем искать в виде:ψ ( x) = a sin(kx + α) ,где a – амплитуда волновой функции, α – некоторая постоянная.Из граничного условия ψ (0) = 0 сразу следует α = 0, а из условияψ (l ) = 0 следует, что a sin(kl ) = 0 .

Так как амплитуда не равнанулю, то последнее соотношение будет выполнено при условииkl = ± nπ, n = 1, 2,3...Итак, набор собственных волновых функций имеет вид:ψ ( x) = a sin(nπx / l ) .Для нахождения амплитуды волновой функции необходимоучесть условие нормировкиl∫ψ2( x)dx = 1 .0Откуда сразу следует a = 2 / l . Таким образом, получаем окончательно выражение для собственных функций:ψ n ( x) =2sin(nπx / l ),ln = 1, 2,3... .43На рис.

2.6 приведены графики плотности вероятности обнаружения частицы в различныхместах ямы . Из них следует ,например, что в состоянии с n = 2частица не может быть обнаружена в середине ямы. Такое поведение частицы никак не совместимо с представлениями о траектории (по «классике», все положениячастицы в потенциальной ямес плоским дном должны бытьравновероятны!).С учетом связи волновогочисла и энергии получаем собственные значения энергии частицы:En =π2 2 2n , где n =1,2,3…,2ml 2т.е.

спектр энергии частицыв бесконечно глубокой яме оказался дискретным (рис. 2.7). Дискретность энергии является следст вием ограниченности движениячастицы и малости ее массы.Квантовое число n характери зует не только номер состояния,но и значения энергии, поэтомуоно называется главным квантовым числом. Состояние с n = 1называется основным (невозбужденным ), остальные – возбужденными .442.5. КВАНТОВАЯ ЧАСТИЦА В ЯМЕ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫПусть теперь потенциальная ямаимеет конечную глубину – U0 (рис.

2.8).За начало координат примем центрямы. Рассмотрим вначале ситуацию,когда полная энергия частицы E отрицательна. В этом случае стационарноеуравнение Шредингера можно записать в виде:d 2 ψ 2m+ 2 ( E + U 0 )ψ = 0 ,dx 2d 2 ψ 2m+ 2 Eψ = 0 ,dx 2x ≤l,x >l.Введем обозначения:2m2(E + U0 ) = k 2 ,−2m2E = α2 .Тогда уравнение Шредингера запишется в более простом видеψ″ + k 2 ψ = 0 – внутри ямы,ψ″ − α 2 ψ = 0 – вне ямы.Эти уравнения имеют очевидные решения:ψ1 ( x) = A cos kx + B sin kx , внутри ямы;ψ 2 ( x) = C exp(−αx) , вне ямы при x > l ;ψ 3 ( x) = D exp(αx) , вне ямы при x < −l .Выбор знака в экспоненциальном множителе для волновойфункции вне ямы обусловлен требованием конечности функциина бесконечности. Из соображений симметрии следует, что плотность вероятности ψ 2 должна быть симметричной функцией относительно x = 0.

Это может быть выполнено при условии, что либоA = 0 , либо B = 0 . Кроме того, необходимо потребовать, чтобы45C 2 = D 2 . Отсюда следует, что либо C = D , либо C = − D . Постоянные A, B, C , D можно определить из условий непрерывностии гладкости волновых функций на границах x = ±l :ψ1 (−l ) = ψ 3 (−l ), ψ1 (l ) = ψ 2 (l ), ψ1′ (−l ) = ψ 3′ (−l ), ψ1′ (l ) = ψ 2′ (l ) .Отсюда сразу следует система линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов A, B, C , D :A cos kl + B sin kl = C exp(−αl )(2.2)− kA sin kl + kB cos kl = −αC exp(−αl )(2.3)A cos kl − B sin kl = D exp(−αl )(2.4)kA sin kl + kB cos kl = αD exp(−αl )(2.5)Мы не будем ставить перед собой задачу отыскания собственных функций частицы в яме конечной глубины, а найдем только собственные значения энергии, точнее, найдем способ определения энергии и особенности энергетического спектра.

Для этоговначале сложим уравнения (2.2) и (2.4):2 A cos kl = (C + D ) exp(−αl ).(2.6)Вычтем уравнения (2.2) и (2.4):2 B sin kl = (C − D) exp(−αl ).(2.7)Сложим уравнения (2.3) и (2.5):2kB cos kl = α( D − C ) exp(−αl ).(2.8)Вычтем уравнения (2.3) и (2.5):2kA sin kl = α(C + D) exp(−αl ).(2.9)Если A ≠ 0 и C = D, то после деления уравнений (2.9) и (2.6) получаемktgkl = α .(2.10)Если B ≠ 0 и C = − D , то после деления уравнений (2.8) и (2.7)получаемkctgkl = −α .46(2.11)Эти условия не могут быть удовлетворены одновременно,так как это привело бы к соотношению k 2 = −α 2 , а параметры k и αвещественны.

Таким образом, для определения энергии необходимо как-то решить уравнение (2.10) – ему соответствует решение с четной волновой функцией ( A ≠ 0, B = 0, C = D ), либоуравнение (2.11) – ему соответствует решение с нечетной волновой функцией ( A = 0, B ≠ 0, C = − D ). Эти уравнения не совсемприятны для решения, но, если нужны не сами значения энергии,а характер ее распределения (дискретный или непрерывный),то можно поискать их графическое решение. Для этого введембезразмерные параметрыξ = kl и η = αl.Тогда получаем для решений с четной волновой функциейξtgξ = η ,(2.12)а для решений с нечетной волновой функцией –ξctgξ = −η .(2.13)Кроме того, параметры ξ и η должны быть связаны соотношением:ξ 2 + η2 =2m2U 0l 2 .Последнее соотношение следует из определения параметровk и α.

На рис. 2.9 приведены графики зависимости ξtgξ = η( ξ, η > 0 ) и ξctgξ = −η .Кроме того, отображено уравнение окружности ξ 2 + η2 =2m= 2 U 0l 2 = const. Координаты пересечения этих кривых и окружности дадут значения параметров η и ξ, из которых следуют k и αи, соответственно, значения энергии частицы.Из рисунка 2.9 видно, во-первых, что спектр уровней энергиидискретен (похоже на бесконечно глубокую яму), во-вторых, числоуровней всегда конечно (не похоже на бесконечно глубокую яму)и определяется глубиной ямы и ее шириной. Кроме того, в любойситуации существует хотя бы один уровень энергии – «нулевой».47Рассмотрим теперь ситуацию с положительной энергией.В этом случае α = −2mE / 2 – чисто мнимая величина.

Характеристики

Список файлов лекций