Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 10

При больших x значением энергии E можно пренебречь, итогда уравнение (3.1) примет вид:d 2ψ= constx 2 ψ .dx 2(3.2)Легко проверить, что уравнению (3.2) удовлетворяет функция видаψ = exp(−αx 2 ) .(3.3)Поэтому попробуем искать решение уравнения (3.1) в виде(3.3). После дифференцирования ψ и подстановки в (3.1) получаем:ψ (−2α + 4α 2 x 2 ) = (−622mE2+m 2 ω22x 2 )ψ .Для того чтобы данное соотношение было тождеством прилюбых x, необходимо выполнить равенства:2α =2mE2,4α 2 =m 2 ω22.Из них находим значение параметра α и энергии осциллятора E:α=mω,2E=ω.2Таким образом, одной из собственных функций гармонического осциллятора являетсяψ 0 ( x) = exp(−mω 2x ).2Легко убедиться, что ψ 0 является далеко не единственнымрешением уравнения Шредингера. Функция ψ1 ( x) = xψ 0 ( x) =3= x exp(− mωx 2 / 2 ) также является решением, но при E = ω .2Это означает, что квантовый осциллятор, находящийся в потенциальной яме, может находиться в различных состояниях, характеризуемых набором волновых функций ψ n ( x) .

С этим мы уже знакомы! Причем каждой волновой функции соответствует свое значениеэнергии E. В общем случае энергия гармонического осцилляторапринимает дискретные (квантованные) значения:En = (n + 1/ 2) ω, n = 0,1, 2...Состояние с n = 0 – основное (невозбужденное) с минимальной энергией E0 , остальные состояния – возбужденные. Расстояние между соседними уровнями энергии:∆E = ω .При переходах осциллятора из одного состояния в другоепроисходит либо испускание, либо поглощение фотона. В квантовой теории доказывается, что квантовое число n осцилляторапри поглощении или излучении фотона может меняться толькона ±1 , т.е. ∆n = ±1 (в этом заключается правило отбора). Это означает, что вероятность переходов на не соседние уровни равна63нулю, и тогда энергия фотона всегда ε = ω .

Все это полностьюсоответствует гипотезе Планка. Как и в случае с прямоугольнойпотенциальной ямой, квантование энергии здесь связано с финитностью движения частицы в силовом поле.3.2. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРАК АТОМУ ВОДОРОДАРассмотрим водородоподобную систему: ядро с зарядом + Zeи электрон (при Z = 1 получаем атом водорода, Z – порядковыйномер элемента по таблице Менделеева).В этом случае энергия взаимодействия электрона с ядромв системе СИ имеет вид:U (r ) = − kZe 2 / r ( k = 1/ 4πε0 ).Тогда уравнение Шредингера запишем как∇2ψ +2m2(E + kZe 2)ψ = 0 .rВолновая функция в общем случае зависит уже от трех пространственных координат.

Естественно рассматривать сферическую систему координат – r, θ, φ (рис. 1.4). Рассмотрим частныйслучай, когда волновая функция электрона в атоме сферическисимметрична, т.е. зависит только от расстояния до ядра r. Такойслучай не предусматривался старой теорией Бора. В ней всякоедвижение электрона вокруг ядра происходило по плоским орбитами, естественно, не могло быть сферически симметричным. Но таккак в квантовой механике нет представлений о движении по орбитам, то нет и препятствий для реализации сферически симметричных состояний.Оператор Лапласа в сферической системе координат имеет вид:1 ∂∂1∇ 2 = 2 (r 2 ) + 2 Φ (θ, ϕ) ,∂r rr ∂rгде Φ (θ, ϕ) представляет «угловую» часть ∇ 2 , зависящую какот углов, так и от производных по ним.

Перепишем теперь уравнение Шредингера:641 ∂ 2 ∂ψ12mZe 2()()ψ = 0 .r+Φψ+E+k2∂rrr 2 ∂rr2Попытаемся найти собственные функции и собственныезначения энергии без «лишней крови». Так как электрон не можетнаходиться в ядре, то существует состояние, в котором электроннаходится наиболее близко к ядру, и это состояние обладает наименьшей энергией. Во-вторых, это состояние должно быть сферически симметричным (самое простое состояние), т.е.

не должнозависеть от углов. В этом случае уравнение Шредингера приобретает вид:1 ∂ 2 ∂ψ (r )2mZe 2(r)(Ek)ψ ( r ) .=−+2∂rrr 2 ∂r(3.4)В качестве решения попробуем для начала взять просто экспоненту ψ (r ) = exp(− r / r0 ) , где r0 – некоторая константа, смысл которой выясним позднее.После подстановки предполагаемого решения в уравнение (3.4)и сокращения на экспоненту приходим к уравнению1 r 2 2r2mZe 2()(Ek).−=−+2rr 2 r0 2 r0Приравнивая члены при одинаковых степенях r, включаянулевую, получаем:r0 =2kmZe 2и E=−Z 2 k 2 me 4.2 2Таким образом, экспонента на самом деле является решениемпри правильном выборе r0 и E. Знак минус в выражении для энергии показывает, что это – энергия притяжения электрона к ядру.Иначе электрон просто улетит от ядра, а это уже не атом. Послеподстановки значений m, k , e, для Z = 1 находим E = Ei = –13,6 эВ(Ei – энергия ионизации, т.е.

минимальная энергия, необходимаядля удаления электрона из атома водорода). Ну а теперь попытаемся понять смысл постоянной r0. Для этого найдем вероятностьобнаружить электрон в интервале dr:652dP = ψ dV = ψ 4πr 2 dr = W (r )dr ,2где W (r ) = 4πr 2 exp(−2r / r0 ) – плотность вероятности обнаружитьэлектрон на расстоянии r от ядра. График функции W(r) представлен на рис. 3.1. Легко проверить, что максимум плотности вероятности приходится как раз на значение r = r0 = 2 / kme 2 = 5·10–11м.Таким образом, r0 является наиболее вероятным положением электрона в невозбужденном атоме водорода – боровский радиус.Следующие состояния электрона находятся аналогично, и дляних получается E2 = E1 / 4, E3 = E1 / 9 и так далее.

В общем случаеэнергия электрона в водородоподобном атоме определяется выражением:me 4 Z 2 k 2En = −(n = 1, 2, 3… – главное квантовое число).2 2 n2Схема уровней энергии электрона в атоме водорода представлена на рис. 3.2.3.3. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ КВАНТОВАНИЕПри решении задачи о частице в потенциальной яме мы имелидело с одной координатой. Это привело к появлению одного квантового числа. В атоме водорода электрон движется в трехмерномпространстве, т.е. имеет три степени свободы. Следует ожидать, чтоэто приведет к трем квантовым числам.

Одно из этих чисел мы уже66знаем – это главное квантовое число n. Два других квантовых числасвязаны с квантованием момента импульса частицы и его проекции.Попытаемся вначале найти проекцию момента импульса Lz.Ранее было показано, что собственные значения Lz удовлетворяютуравнению:Lˆz ψ = Lz ψ ,∂ψ= Lz ψ .∂ϕ−iилиЛегко сообразить, что ψ = exp(αϕ) , где α – некоторая константа. Подставляя это выражение в уравнение для моментаимпульса, получаем∂exp(αϕ) = Lz exp(αϕ) .−i∂ϕПосле сокращения на экспоненту находим α =iLz. Таким обра-зом, волновая функция должна иметь вид:ψ = const exp(iLzϕ) .Так как волновая функция должна быть однозначной, то необходимо выполнить условие ψ (ϕ) = ψ (ϕ + 2π) , илиexp(iLzϕ) = exp(А это будет выполнено, еслиiLzLz(ϕ + 2π)) .= m , где m – некоторое целоечисло, равное 0, ± 1, ± 2... .Таким образом, для проекции момента импульса на некотороенаправление получаем выражение:Lz = m ,где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3....

,т.е. проекция момента импульса на выделенное в пространственаправление принимает квантованные значения, кратные постоянной Планка, m называется магнитным квантовым числом. Кроме того, очевидно, что если квантуется проекция L, то квантуетсяи само значение L. Доказательство квантования момента импульса67достаточно затруднительно, поэтому приведем только окончательный результат:Ll = l (l + 1) , l = 0,1, 2... .l называется орбитальным (азимутальным) квантовым числом.Очевидно, что максимальное значение m = l и, как следствие,Lz < L. Отсюда следует своеобразный вывод: вектор моментаимпульса не может совпадать ни с одним выделенным в пространстве направлением, т.е.

«вектор» момента импульса не имеет определенного направления и, следовательно, не может отображаться,как в классической механике, направленным отрезком прямой.Поясним это. Пусть l = 2. ТогдаL = 2(2 + 1) = 6 , m = 0, ±1, ±2 , Lz = 0, ± , ±2 .Вектор момента импульсаможет занимать любое положение в пространстве вдоль образующей конуса и не может бытьнаправлен по оси Z (рис. 3.3).Этот рисунок нельзя пониматьбуквально. Он правильно передает только два факта: возможные значения проекции и возможные значения модуля момента импульса. Из квантованиямомента импульса следует, чтопостоянную Планка можно рассматривать как естественную единицу измерения проекции момента импульса.3.4. ОПЫТ ШТЕРНА И ГЕРЛАХА. СПИН ЭЛЕКТРОНАЭкспериментальное подтверждение квантования моментаимпульса было осуществлено Штерном и Герлахом. Моментимпульса электрона, связанный с механическим движениемэлектрона, неизбежно приводит к наличию у атомов магнитного68момента.

Поэтому, если квантуетсямомент импульса, то неизбежно должен квантоваться и магнитный момент.В опытах Штерна и Герлахапучок атомов пропускался через сильно неоднородное магнитное полеполюсных наконечников электромагнита специальной формы (рис. 3.4).В этом случае на пучок атомов должнадействовать отклоняющая сила, пропорциональная магнитному моментуи, соответственно, механическому моменту импульса.При хаотическом распределении магнитных моментов в пучке атомов предполагалось, что узкий пучок атомов после прохождения между полюсами магнитов образует на экране сплошнойрастянутый след.

Опыт дал неожиданные результаты. Вместосплошного растянутого следа получались резкие отдельные линии,расположенные симметрично относительно следа пучка, полученного в отсутствие поля. Это можно было объяснить только квантованием момента импульса.В первоначальных опытах применялись пучки атомов серебра. В магнитном поле пучок расщеплялся на две составляющие.То же происходило и с атомами водорода. Для атомов других химических элементов наблюдалась и более сложная картина расщепления, однако число расщепленных пучков получалось не тольконечетным, что предсказывалось квантовой теорией, но и четным –что противоречило ей.Кроме того, в опытах Штерна и Герлаха атомы водорода находились в основном состоянии с n = 1 , т.е. не обладали орбитальными моментами.

То же самое относится и к опытам с атомами серебра. Атом серебра имеет единственный наружный электрон. Атомный остов, ввиду его симметрии, не обладает ни орбитальным,ни магнитным моментами. Весь магнитный момент атома серебрасоздается только одним наружным электроном. И если атом находится в нормальном состоянии, его орбитальный момент в целомтоже равен нулю. Тогда естественным образом возникает вопрос:пространственное квантование какого момента импульса обнаружи69лось в этих опытах? Для объяснения этого результата и другихГаудсмит и Уленбек выдвинули предположение, что электронимеет собственный механический и связанный с ним магнитныймомент.

Этот собственный момент импульса назвали спином электрона. Это некоторое собственное свойство, подобное массе, заряду.Вначале предполагали, что спин связан с вращением электронавокруг собственной оси, но затем это предположение пришлосьпо ряду причин отвергнуть.Спин рассчитывается по формулеLs = s ( s + 1) ,где s называется спиновым квантовым числом и равно 1/2. Проекция спина на выделенное направление:Lsz = ms , ms = ±1/ 2 .Принято говорить, что спин электрона имеет только дванаправления: по полю и против поля. В дальнейшем выяснилось,что спином обладают и другие элементарные частицы (нуклоны,фотоны и др.). Более подробно о спине речь пойдет далее.3.5.