Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 13

В силу распределения Больцмана имеем:Nn= exp [ −( En − Em ) / kT ] .NmПри инверсной населенности уровней это отношение большеединицы. И т.к. En > Em , то это формально означает, что Т < 0.Такое состояние называют состоянием с отрицательной температурой.Изменение интенсивности света с расстоянием l при прохождении через поглощающую среду с коэффициентом поглощения kописывается законом Бугера:I = I 0 exp(− kl ) .При инверсной населенности энергетических уровней вынужденное излучение может превысить поглощение света, значит I > I 0и, как следствие, k < 0 . Такая совокупность атомов с инверсной населенностью называется средой с отрицательным коэффициентомпоглощения.3.14.

ЛАЗЕРЫПроцесс перевода среды в инверсное состояние называют накачкой усиливающей среды. Наиболее естественной представляется накачка, при которой атомы переводятся с нижнего уровня E1на верхний возбужденный уровень E2 облучением светом с частотойω = ( E2 − E1 ) / . Если усиливающая среда является газообразной,то это можно также осуществить при газовом разряде (электрическая накачка). Но это только на первый взгляд. На самом делеза счет спонтанного излучения атомов, находящихся на возбужденном уровне, а также за счет столкновения атомов с электронами,атомы «сваливаются» через время порядка 10–8 с на нижний уровеньи система не удерживается в инверсном состоянии.

Таким образом,для получения инверсной населенности использование двухуровневой системы не подходит. Более эффективно использование трехуровневой системы с наличием метастабильного уровня.83Впервые на возможность создания сред, в которых свет будетусиливаться за счет индуцированного излучения, указал в 1939 г.советский физик В. Фабрикант. В 1953 г. Н.Г. Басовым, А.М. Прохоровым, Таунсом и Вебером были созданы первые молекулярныегенераторы, работающие в области сантиметровых волн – мазеры(аббревиатура английской фразы Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation). В 1960 г.

Мейманом был создан генератор, работающий в оптическом диапазоне – лазер (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Лазеры называют такжеоптическими квантовыми генераторами.В лазере Меймана рабочим телом был цилиндр из розовогорубина диаметром порядка 1см и длиной около 5см (рис. 3.11).Торцы рубинового стержня были тщательно отполированыи представляли строго параллельные друг другу и перпендикулярные оси стержня зеркала (один из торцов пропускал около 8 %света). Накачка лазера осуществлялась импульсной ксеноновойлампой достаточно большой мощности.Рубин представляет собой окись алюминия (Al2O3),в которой некоторые из атомов алюминия замещены наатомы хрома. При поглощении света ( λ = 560 нм) ионыCr+++ (рис.

3.12) переходятв возбужденное состояние 3.Обратный переход в основное состояние 1 осуществляется в два этапа. Вначалевозбужденные ионы отдаютчасть своей энергии кристаллической решетке (без излучения) и переходят в метастабильное состояние 2, в котором находятся около 10–3 с,что в 105 раз превосходитвремя жизни в обычном возбужденном состоянии.84Затем ион переходит в основное состояние, излучая фотон( λ = 694,3 нм). Излученный при этом фотон может вызвать вынужденное испускание дополнительных фотонов, которые в своюочередь вызовут вынужденное излучение другого фотона и т.д.В результате образуется каскад фотонов. Фотоны, возникающиепри вынужденном излучении, летят в том же направлении, чтои падающие, и при многократном отражении от зеркал их путьв кристалле будет очень большим. При правильной юстировке зеркал рождаются мощные импульсы с частотой порядка несколькихимпульсов в минуту.В настоящее время разработано большое число лазеров,использующих как различные рабочие среды, так и различныепринципы работы.Излучение лазеров отличается рядом замечательных особенностей:1) строгая монохроматичность,2) высокая временная и пространственная когерентность,3) большая интенсивность,4) малая угловая ширина пучка.В настоящее время лазеры нашли самое широкое применениев различных областях науки и техники.

Перечисление займетслишком много места, поэтому рассмотрим только их возможныетипы для целей противоракетной обороны (ПРО), основываясьна материалах зарубежной печати.3.15. ЛАЗЕРЫ ДЛЯ СИСТЕМЫ ПРОХимические. В них генерация излучения происходит в процессе химической реакции между двумя газами (H, F), (D, F). Работают в непрерывном режиме.

Выходная мощность порядка 106 Вт.Для сравнения: пучок порядка 104 Вт способен за считанные секунды прожечь стальную пластину толщиной около 6 мм.Эксимерные. Под действием электрического разряда неустойчивое состояние из двух молекул (эксимер) диссоциирует,испуская излучение (на этом основана работа фтор-криптоновыхлазеров). Эксимерный лазер генерирует излучение в виде короткихимпульсов порядка 1мкс с энергией около 104 Дж (Лос-Аламосскаянациональная лаборатория, США).85Лазеры на свободных электронах.

Принцип их действиязаключается в том, что пучок электронов направляют мимо ряда«раскачивающихся» магнитов, которые заставляют электроныколебаться и испускать излучение. Меняя расстояние между магнитами или энергию электронов, можно получать излучение теоретически любой длины волны. Это имеет принципиальное значение при распространении излучения в атмосфере, в которойесть так называемые «окна прозрачности». На длине волны 1мкмпиковая мощность составляет порядка 106 Вт.Самый экзотичный – рентгеновский.

Состоит из ядерногозаряда, окруженного цилиндрической системой тонких металлических волокон. Рентгеновское излучение, возникающее приядерном взрыве, заставляет металлические волокна за короткоевремя испустить вторичный пучок рентгеновских лучей. Приэтом, естественно, устройство разрушается. Из-за сильного поглощения рентгеновских лучей атмосферой данное устройствоследует располагать выше 80 км, возможно, по способу «выстреливания» в космос.ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ«ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. АТОМ ВОДОРОДА»3.1. Найти с помощью уравнения Шредингера энергию гармонического осциллятора с частотой ω в стационарном состоянии,для которого волновая функция имеет вид:а) ψ ( x) = A exp(− a 2 x 2 ) ,б) ψ ( x) = Bx exp(− a 2 x 2 ) , где A, B, a – некоторые константы.3.2.

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора с частотой ω может быть приведено к виду ψ′′ξ + (λ − ξ 2 )ψ = 0 ,где ξ = αx, α – постоянная, λ – параметр. Имея в виду, что собственные значения параметра λ равны 2n + 1 , где n = 0,1, 2... , найтисобственные значения энергии осциллятора.863.3. Три первые собственные функции гармонического осциллятора имеют вид:ψ 0 = A0 exp(−α 2 x 2 / 2), ψ1 = A1 x exp(−α 2 x 2 / 2),ψ 2 = A2 (2α 2 x 2 − 1) exp(−α 2 x 2 / 2),где α – постоянная. Вычислить нормировочные коэффициентыA0 , A1 , A2 .3.4. Найти наиболее вероятное значение координаты xверквантового гармонического осциллятора в состоянии ψ1(x) == A1 x exp(−α 2 x 2 / 2) и нарисовать примерный график распределения плотности вероятности различных значений x.3.5.

Найти наиболее вероятное значение координаты xверквантового гармонического осциллятора в состоянии ψ2(x) == A2 (2α 2 x 2 − 1)exp(−α 2 x 2 / 2) и нарисовать примерный график распределения плотности вероятности различных значений x.3.6. Найти среднеквадратичное значение координаты xcр. квквантового гармонического осциллятора в состоянии ψ0(x) == A0 exp(−α 2 x 2 / 2) и среднее значения модуля x в состоянииψ1 ( x) = A1 x exp(−α 2 x 2 / 2) .3.7. Квантовый гармонический осциллятор находится в основном состоянии ψ 0 ( x) = A exp(−α 2 x 2 / 2) в одномерном потенциальном поле U ( x) = kx 2 / 2 . Найти:а) координату x0, соответствующую классической границеполя в этом состоянии;б) вероятность пребывания частицы вне классических границ поля.3.8.

Зная собственные функции и собственные значения энергии квантового гармонического осциллятора, найти собственныезначения энергии частицы массы m, находящейся в одномерномпотенциальном поле, U ( x) = kx 2 / 2 при x > 0 и U = ∞ при x ≤ 0.3.9. Частица массы m движется в трехмерном пространствев потенциальном поле U ( x) = (k / 2)( x 2 + y 2 + z 2 ) , где k – постоянная. Найти собственные значения энергии такой частицы и кратность вырождения n-го энергетического уровня. Указание: воспользоваться формулами для одномерного квантового осциллятора.873.10.

Электрон атома водорода находится в состоянииψ(r) = A exp(–r / r0), где A, r0 – некоторые постоянные. Найти ихзначения и энергию электрона.3.11. Определить энергию электрона в атоме водорода в состоянии ψ (r ) = A(1 + ar ) exp(−αr ) , где A, a, α – некоторые постоянные.3.12. В основном состоянии атома водорода волновая функция электрона имеет вид ψ(r) = A exp(–r / r0), где A, r0 – некоторыепостоянные (r0 – первый боровский радиус). Найти наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром rвер и вероятностьнахождения электрона в области r < rвер.3.13.

Определить для основного состояния электрона в атомеводорода средние значения r , r 2 и(r − r )2.3.14. Найти для электрона атома водорода в основном состоянииψ(r) = A exp(–r / r0) отношение среднего расстояния от ядра rк наиболее вероятному rвер.3.15. Найти для электрона атома водорода в основном состоянии ψ(r) = A exp(–r / r0) вероятность его нахождения вне классических границ поля.3.16.

В основном состоянии атома водорода волновая функция электрона имеет вид ψ(r) = A exp(–r / r0), где A, r0 – некоторые постоянные (r0 – первый боровский радиус). Найти для этогосостояния среднее значение модуля кулоновской силы и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром.3.17. Электрон атома водорода находится в состоянии сволновой функцией , радиальная часть которой имеет видR (r ) ∼ r exp(− r / 2r0 ) , где r0 – первый боровский радиус.

Найтив этом состоянии наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром rвер и среднее расстояние электрона от ядра r .3.18. Найти средний электростатический потенциал, создаваемый электроном в центре атома водорода, если электрон находится в основном состоянии ψ(r) = A exp(–r / r0), где A, r0 – некоторые постоянные (r0 – первый боровский радиус).3.19.