Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 5

1.4). Собственные значения Lˆ z находятся из уравненияLˆ z ψ = Lz ψ ,или−i∂ψ= Lz ψ .∂ϕК этому уравнению мы еще вернемся дальше.Обсудим теперь некоторые общие свойства операторов, применяемых в квантовой механике. Все операторыявляются линейными:fˆ (ψ + ψ ) = fˆ ψ + fˆ ψ .1212Это отражает принцип суперпозиции. Кроме тогоfˆ (aψ ) = afˆ ψ ,где a – произвольная постоянная.24Если рассматривается одновременное действие двух операторов, то в общем случае результат их действия зависит от порядкаˆˆ , либо ĝfˆ ψ .

И если результат этих дейих применения: либо fgψствий одинаков, то такие операторы называются коммутирующими. С физической точки зрения это отражает тот факт, чтособственные значения этих операторов f и g могут одновременноиметь определенное значение (одновременно измеримы) и наобо∂рот. Рассмотрим для примера операторы импульса pˆ x = −i∂xи координаты x̂ = x . Применим их к волновой функции в разнойпоследовательности:ˆ ˆ x ) ψ = −i( pˆ x xˆ − xp∂∂ψ= −i ψ,( xψ ) + i x∂x∂xˆ ˆ x = −i . А это означает, что одновременное знание pxт.е. pˆ x xˆ − xpи x невозможно – в этом состоит соотношение неопределенностиГейзенберга.В заключение рассмотрим некоторое другое представлениеуравнения Шредингера, которое пригодится нам в будущем.Эволюция квантовомеханической системы во времени определяется волновой функцией ψ, которая является решением уравнения:∂ψ ˆ= Hψ ,i(1.8)∂tгде Ĥ – оператор Гамильтона рассматриваемой системы.

Еслиэта система может находиться только в дискретных состоянияхψ α ( α – набор индексов, характеризующих данное дискретноесостояние), то волновую функцию системы, как уже говорилосьранее, можно разложить по полной системе ортонормированныхфункций {ψ α } :ψ (t ) = ∑ Cα (t )ψ α .αПодставим это разложение в уравнение (1.8):i∂∑ Cα (t )ψα = Hˆ (∑ Cα (t )ψ α ) .∂t(1.9)25Умножим соотношение (1.9) на ψβ * и проинтегрируем по всейобласти изменения x:∂i∑ ψβ * Cα (t )ψα dx = ∑ ∫ ψβ *Hˆ (Cα ψα )dx .∂t α ∫αС учетом взаимной ортогональности и условий нормировки приходим к уравнению:∂Cβi= ∑ H βα Cα ,(1.10)∂tαгдеH βα = ∫ ψβ *Hˆ ψ α dx .Очевидно, что H ββ – это энергия системы в состоянии ψβ ,а H βα – матричный элемент, характеризующий вероятность перехода системы из состояния ψ α в состояние ψβ .

Коэффициент Cα (t )2представляет собой амплитуду состояния ψ α , а Cα – вероятностьнайти систему в состоянии ψ α .ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ«ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ»1.1. При увеличении энергии электрона на ∆E = 200 эВ егодебройлевская длина волны изменилась в η = 2,0 раза. Найти первоначальную длину волны электрона.1.2. Найти среднюю длину волны де Бройля теплового нейтрона, т.е. нейтрона, находящегося в тепловом равновесии с окружающей средой, при комнатной температуре T = 300 К.1.3. Частица движется слевав одномерном потенциальном поле,показанном на рис.

1.5. Левее барьера, высота которого U 0 = 15 эВ,кинетическая энергия частицыE = 20 эВ. Как и во сколько разизменится дебройлевская длинаволны частицы после прохождениячерез барьер?261.4. Определить кинетическую энергию протона, длина волныкоторого такая же, как у α-частицы, движущейся в магнитном полес заданным значением Bρ = 25·10–4 Тл·см (B – магнитная индукция, ρ – радиус кривизны траектории).1.5. Какую дополнительную энергию необходимо сообщитьэлектрону с импульсом 15 кэВ/с, чтобы его длина волны сталаравной 50 пм (c – скорость света)?1.6.

Протон с длиной волны λ = 1,7 пм упруго рассеялсяпод углом 90° на первоначально покоившейся частице с массойв n = 4,0 раза большей массы протона. Определить длину волнырассеянного протона.1.7. Нейтрон с кинетической энергией E = 0,25 эВ испыталупругое соударение с первоначально покоившимся ядром атома4He. Найти длины волн обеих частиц в их Ц-системе (системеотсчета, покоящейся относительно центра инерции) до и послесоударения.1.8.

Два атома, 1H и 4He, с дебройлевской длиной волныλ = 60 пм, движутся в одном направлении. Найти их длины волнв Ц-системе.1.9. Две одинаковые частицы движутся с нерелятивистскимискоростями перпендикулярно друг другу. Длины волн частицравны соответственно λ1 и λ 2 . Найти длину волны каждой частицы в их Ц-системе.1.10. Релятивистская частица массой m движется с кинетической энергией E.

Найти:а) дебройлевскую длину волны; б) значения энергии электрона,при которых погрешность в длине волны, определяемой по нерелятивистской формуле, не превышает одного процента.1.11. Найти кинетическую энергию электрона, при которойего дебройлевская и комптоновская длины волн совпадают.1.12. На какую кинетическую энергию должен быть рассчитан протонный ускоритель, чтобы исследовать структуры с линейными размерами l ≈ 10–15м?1.13. Найти длину волны релятивистских электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волныкоротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра равна λ k = 10,0 пм.271.14.

Воспользовавшись формулой распределения Максвелла,найти функцию распределения молекул газа по дебройлевскимдлинам волн. Масса молекул – m, температура газа – T. Вычислитьнаиболее вероятную длину волны молекул водорода при Т = 300 К.1.15. Функция распределения атомов в пучке по скоростямимеет вид:f (u ) ∼ u 3 exp(−u 2 ) ,где u – отношение скорости атомов в пучке к наиболее вероятнойскорости ϑвер = 2kT / m . Найти функцию распределения по дебройлевским длинам волн. Вычислить наиболее вероятную длинуволны в пучке атомов гелия при температуре источника 300 К.1.16. Поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой щелью шириной b = 2,0 мкм.

Найти скорость электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстоянии l = 50 см, ширина центрального дифракционного максимума∆x = 0,36 мм.1.17. Найти кинетическую энергию электронов, падающихнормально на диафрагму с двумя узкими щелями, если на экране,отстоящем от диафрагмы на l = 75 см, наблюдаются максимумы,расстояние между которыми ∆x = 7,5 мкм. Расстояние междущелями d = 25 мкм.1.18. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает подуглом скольжения θ = 30° на естественную грань монокристаллаалюминия. Расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, параллельными этой грани монокристалла, d = 0,20 нм.При некотором ускоряющем напряжении U 0 наблюдали максимум зеркального отражения.

Найти U 0 , если известно, что следующий максимум зеркального отражения возникал при увеличении ускоряющего напряжения в η = 2,25 раза.1.19. Пучок электронов с кинетической энергией E = 180 эВпадает нормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол α = 55° с нормалью к поверхности,наблюдается максимум отражения четвертого порядка. Найтимежплоскостное расстояние, соответствующее этому отражению.281.20. Пучок электронов с кинетической энергией E = 10 кэВпроходит через тонкую поликристаллическую фольгу и образуетсистему дифракционных колец на экране, отстоящем от фольгина расстоянии l = 10,0 см. Найти межплоскостное расстояние, длякоторого максимум отражения третьего порядка соответствуеткольцу с радиусом r = 1,6 см.1.21.

Электроны с кинетической энергией E =100 эВ падаютпод углом α = 30° к нормали насистему из двух параллельныхсеток, между которыми имеетсязадерживающая разность потенциалов U = 51 В (рис. 1.6). Найти:а) относительный показательпреломления области 2 относительно области 1;б) значение Uкр, при которомданные электроны не проникнутв область 2.1.22.

Показать, что при преломлении электронной волны соблюдается закон преломления sin α / sin β = n . Указание. При проникновении в кристалл изменяется лишь нормальная компонентаскорости электрона.1.23. Пучок электронов, ускоренных напряжением U = 150 В,падает на поверхность никеля, внутренний потенциал которогоU i = 15 В (внутренний потенциал определяется отношением энергии, затраченной на вытаскивание электрона из металла, к величине заряда электрона). Найти показатель преломления никеля.1.24.

Пучок электронов с кинетической энергией E = 60 эВпадает на поверхность платины, внутренний потенциал которойU i = 12 В. Угол падения α = 60°. Найти угол преломления.1.25. Показать, что формула Вульфа-Брэггов с учетом преломления электронных волн в кристалле должна иметь вид:2d n 2 − cos 2 θ = k λ , где d – межплоскостное расстояние, n – показатель преломления, θ – угол скольжения, k – порядок отражения.Считать, что отражающая плоскость параллельна поверхности29кристалла. Найти с помощью этой формулы внутренний потенциал монокристалла серебра, если пучок электронов, ускоренныхразностью потенциалов U = 85 В, образует максимум второгопорядка при зеркальном отражении от кристаллических плоскостей с d = 204 пм под углом θ = 30°.1.26. Частица массой m находится в бесконечно глубокойодномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l.

Найтивозможные значения энергии частицы, полагая, что реализуютсялишь такие состояния, для которых в яме укладывается целоечисло дебройлевских полуволн.1.27. Показать, что стационарным боровским орбитам электрона в атоме водорода соответствует целое число дебройлевскихволн. Найти длину волны электрона на орбите с номером n.1.28. Полагая скорость движения частицы ϑ равной групповой скорости волн де Бройля u, найти в нерелятивистском случаефазовую скорость этих волн w, а также связь между энергией частицы E = mϑ2 / 2 и частотой v.1.29. Поток электронов с дебройлевской длиной волныλ = 11 мкм падает нормально на прямоугольную щель ширинойb = 0,10 мм.

Оценить с помощью соотношения неопределенностейугловую ширину пучка за щелью.1.30. Оценить неопределенность скорости электрона в атомеводорода, полагая размер атома порядка 0,1 нм. Сравнить полученное значение со скоростью электрона на первой боровской орбите.1.31. В некоторый момент времени область локализациисвободного электрона составляет ∆x0 = 0,10 нм. Оценить ширинуобласти локализации электрона спустя 1 с.1.32. Оценить минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером l = 0,1 нм.1.33.