Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 4

Так и в квантовой механике принимается в качестве одногоиз основных постулатов принцип суперпозиции волновых функций. Оправданием такого принципа является согласие с опытомвытекающих из данного принципа следствий. Суть данного принципа заключается в следующем. Если ψ1 и ψ2 – какие-либо дварешения уравнения Шредингера, то и всякая линейная их комбинация α1ψ1 + α 2 ψ 2 с постоянными и в общем случае комплекснымикоэффициентами α1 и α2 также является решением уравнения Шредингера. Во-вторых, если волновые функции ψ1 и ψ2 описываюткакие-либо два состояния системы, то и линейная их комбинацияα1ψ1 + α 2 ψ 2 также описывает какое-то состояние этой же системы.Рассмотрим некоторую физическую величину f, характеризующую состояние квантовой системы.

Значения, которые можетпринимать данная физическая величина, называют в квантовоймеханике ее собственными значениями, а об их совокупностиговорят как о спектре собственных значений данной величины.В квантовой механике, как и в классической, существуютфизические величины (например , координаты ), собственныезначения которых заполняют непрерывный ряд. В таких случаяхговорят о непрерывном спектре собственных значений. Наряду18с такими величинами в квантовой механике существуют величины, собственные значения которых образуют некоторый дискретный набор; в таких случаях говорят о дискретном спектре.Будем полагать для простоты, что рассматриваемая величина fобладает дискретным спектром, и ее собственные значения обозначим как fn ( n = 0,1, 2...) . Обозначим волновую функцию системыв состоянии, в котором величина f имеет значение fn как ψn – собственные функции величины f.

Каждая из этих функций предполагается нормированной:∫ ψn2dx = 1 .Если система находится в некотором произвольном состоянии с волновой функцией ψ, то произведенное над ней измерениевеличины f даст одно из собственных значений fn. В соответствиис принципом суперпозиции волновую функцию произвольногосостояния можно представить в виде ряда:ψ = ∑ Cn ψ n ,(1.1)где Cn – некоторые не зависящие от координат коэффициенты(для состояний, изменяющихся со временем, коэффициенты Cnзависят от времени).

Последнее соотношение означает, что всякая волновая функция может быть разложена по собственнымфункциям любой физической величины. В квантовой механике2доказывается, что квадрат модуля Cn каждого из коэффициентов разложения (1.1) определяет вероятность соответствующегозначения fn величины f в состоянии с волновой функцией ψ. Суммавероятностей всех возможных значений fn, очевидно, должна бытьравна единице:∑ Cn2=1(1.2)(если бы функция ψ не была нормированной, то не имело бы местаи соотношение (1.2)).Кроме того, сами коэффициенты ряда (1.1) могут быть найдены по формуле:Cn = ∫ ψψ n * dx .(1.3)19С учетом разложения (1.1) можно увидеть, что собственныефункции должны удовлетворять условиям:∫ ψ m ψ n * dx = δmn ,(1.4)где δ nm = 1 при n = m и δnm = 0 при n ≠ m . Если говорить точно,то условие (1.4) выполняется только для невырожденного спектраэнергии. Спектр считается невырожденным, если каждому значению энергии соответствует одна волновая функция.

О функциях, подчиняющихся условию (1.4), говорят как об ортогональных. Таким образом, совокупность собственных функций ψ n образует полную систему нормированных и взаимно ортогональныхфункций, или, как говорят для краткости, систему ортонормированных функций.1.5. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОДДля придания законченной формы связи символов квантовой механики с реально наблюдаемыми величинами применяюттак называемый операторный метод.Под оператором понимают правило, посредством которогоодной функции – φ сопоставляется другая функция – f.

Символически это записывают в виде:f = Qˆ ϕ ,где Q̂ – символическое обозначение оператора. Приведем примеры операторов:∆ = ∇2 =∇=i∂2∂2∂2++– оператор Лапласа (лапласиан),∂x 2 ∂y 2 ∂z 2∂∂∂+ j + k – оператор «набла» и др.∂x∂y∂zВ простейшем случае оператор представляет собой умножение исходной функции φ на некоторую другую Qf = Qϕ .20Обратимся к уравнению Шредингера−2∆ψ + U ψ = Eψ .2mПерепишем его в виде 2∆ + U  ψ = Eψ .− 2mС использованием понятия оператора уравнение Шредингера можно представить следующим образом:Ĥ ψ = E ψ ,где Hˆ = −2∆ + U называют оператором Гамильтона (гамильто2mниан) – это оператор энергии, E – собственное значение оператораГамильтона – энергия системы.Операторы можно сопоставить и другим физическим величинам. Существуют операторы координат, импульса, моментаимпульса и др.Для любой переменной q можно записать соотношение, аналогичное уравнению Шредингера:Q̂ψ = qψ ,где Qˆ – оператор, сопоставляемый переменной q, q – собственное значение данной переменной.Существует несколько иной путь определения операторовв квантовой механике.

Для этого введем понятие о среднем значении f величины f в состоянии, характеризующемся волновой функцией ψ. Соответственно обычному определению средних значений,определим f как сумму всех собственных значений fn данной вели2чины, умноженных каждое на соответствующую вероятность Cn :f = ∑ f n Cn .2(1.5)Здесь величины Cn являются коэффициентами разложения волновой функции в ряд по собственным волновым функциям ψn,соответствующим значениям fn.21Для того чтобы в (1.5) входили не коэффициенты Cn разложения функции ψ, а сама эта функция, введем некоторый математический оператор fˆ , который определим так, чтобы интегралот произведения fˆ ψ на ψ * был бы равен среднему значению f :f = ∫ ψ * fˆ ψdx .Для понимания правил построения операторов рассмотримзадачу определения среднего значения координаты какой-либочастицы.

Предположим, что производится многократное измерение координаты х в одинаковых макроскопических условиях.Тогда состояние частицы в этих опытах можно характеризоватьволновой функцией ψ ( x) . Среднее значение координаты, котороебудет найдено в результате измерений, можно представить в виде〈 x〉 = ∫ xψ * ψdx ,так как ψ * ψdx дает вероятность того, что частица может бытьобнаружена в интервале от x до x + dx. При этом предполагаетсявыполнение условия нормировки:∫ ψ * ψdx = 1 .Запишем выражение для 〈 x〉 иначе:〈 x〉 = ∫ ψ * xˆψdx ,где x̂ – оператор координаты, равный просто x. Совершенно аналогично вычисляется среднее значение любой функции координат:〈 f ( x)〉 = ψ * fˆ ψdx ,∫где fˆ рассматривается как оператор.Квантовая механика распространяет полученные результатына любые физические величины, являющиеся функциями координат и импульсов:〈 F ( x, p)〉 = ∫ ψ * ( x) Fˆ ( xˆ , pˆ )ψ ( x)dx ,где Fˆ ( xˆ , pˆ ) – cоответствующий функции F ( x, p ) оператор, x̂ –оператор координаты, p̂ – оператор импульса.22Оператором координаты, как мы уже знаем, является самакоординатаx̂ = x .Приведем без вывода выражение для оператора импульсаpˆ x = −i∂∂∂., pˆ y = −i, pˆ z = −i∂x∂y∂zСобственные значения оператора импульса можно найти изуравненияpˆ x ψ = px ψ,или−i∂ψ= px ψ .∂x(1.6)В качестве примера найдем собственные функции оператораимпульса для одномерного движения ( px = p ).

Легко увидеть,что решением уравнения (1.6) является выражениеψ ( x, t ) = C (t ) exp(ipx / ) = C (t ) exp(ikx) ,(1.7)где k – волновое число, k = 2π / λ (в обычной механике) илиk = p / , C (t ) – некоторая функция времени. Для ее определениявспомним, что общее решение нестационарного уравнения Шредингера имеет вид:ψ ( x, t ) = ψ ( x) exp(−iEt ) = ψ ( x)exp(−iωt ) .Сравнивая это выражение с уравнением (1.7), видим, что:C (t ) = const ⋅ exp(−iωt ) ,где ω – частота волны де Бройля. Тогда получаем:ψ = const ⋅ exp i ( kx − ωt )  ,т.е.

собственными функциями оператора импульса являются плоские волны де Бройля. Спектр собственных значений оператора23импульса pˆ x непрерывен, так как вероятность обнаружить какоелибо значение импульса представляет собой постоянную величину, не зависящую ни от времени, ни от координат. Для подтверждения этого рассчитаем среднее значение проекции импульса:px = ∫ ψ * pˆ x ψdx = ∫ exp − i ( kx − ωt ) {−idexp(ikx − iωt )}dx =dx= k ∫ ψ * ψdx = k .Оператор момента импульса (точнее, проекции моментаимпульса на ось Z) определяется выражением:∂Lˆ z = −i,∂ϕздесь φ – азимутальный угол сферической системы координат, характеризующий вращение вокруг оси Z (рис.