Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 8

Положимα = iβ . Тогда вне ямы уравнение Шредингера будет иметь вид:ψ′′ + β2 ψ = 0.Его решениеψ ( x) = A′ cos β x + B′ sin β x, x > lψ ( x) = A′′ cos βx + B′′ sin βx, x < −l.При x < l получаем (внутри ямы):ψ ( x) = A cos kx + B sin kx .Для определения постоянных A′, B′, A′′, B′′ необходимо «сшить»волновую функцию и ее производную внутри и вне ямы на границе. Но так как постоянные А и B могут принимать любые значения, то, как следствие, и постоянные A′, B′, A′′, B′′ могут принимать любые непрерывные значения. Таким образом, мы не накладываем никаких ограничений на значения энергии.

А из этогоследует, что энергия при положительных значениях не квантуетсяи ее спектр непрерывен. Также необходимо заметить, что волноваяфункция уже не стремится к нулю вдали от ямы и тогда движениечастицы инфинитно, т.е. бесконечно!48Самое необычное при отрицательных значениях энергии частицы – это то, что существует ненулевая вероятность обнаружитьчастицу за пределами ямы (очень похоже на прохождение частицейпотенциального барьера). Представим такую ситуацию: большоечисло близко расположенных ям (например, кристаллическаярешетка металла-проводника). Внутри какой-нибудь ямы сидитэлектрон. Если расстояние между ямами не очень велико, то существует ненулевая вероятность того, что электрон из одной ямы перескочит в соседнюю, или еще дальше! А это уже механизм проводимости металлов (более подробно мы остановимся на этом позднее).2.6.

КВАНТОВАНИЕВ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕРассмотренные одномерные потенциальные ямы имеют скорее чисто принципиальное значение в понимании физическойсути квантования энергии. В практическом плане более важенслучай, когда потенциальная энергия U не одномерна, а сферически симметрична относительно некоторого силового центра.К этому сводится, например, задача о поведении электронав электрическом поле заряженного ядра, задача о взаимодействиипротона с нейтроном в ядре дейтерия и многие другие. Будемполагать для простоты силовой центр неподвижным.

В этом случае потенциальная энергия зависит только от расстояния от частицы до силового центра – U (r ) .В то же время волновая функция частицы может зависетьне только от расстояния r, но и от угловых переменных. Мы ограничимся только сферически симметричными решениями, т.е.

будемполагать волновую функцию зависящей только от r – ψ (r ) . В сферической системе координат уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид:1 d 2 d ψ 2m(r) + 2 [ E − U (r )] ψ = 0 .drr 2 drВведем новую функцию φ = r ψ . Тогда уравнение Шредингера легко привести к виду:d 2 φ 2m+ 2 [ E − U (r )] φ = 0 .dr 2(2.14)49Это уравнение математически тождественно уравнению Шредингера для одномерного случая.

Правда, здесь есть специфика. Приr = 0 функция φ должна обращаться в нуль, так как в противномслучае волновая функция ψ = φ / r обращалась бы в бесконечность.Частным случаем сферически симметричного силового поляявляется трехмерная сферически симметричная потенциальнаяяма, для которой сечение плоскостью , проходящей через силовой центр, имеет прямоугольнуюформу (рис. 2.10).

В этом случаетрехмерная потенциальная ямаможет быть представлена в виде:U (r ) = −U 0 при r < l , и равнанулю при r > l . Легко сообразить,что в качестве решений уравнения(2.14), конечных при r = 0 и обращающихся в нуль при r → ∞ ,необходимо взять:φ = B sin kr при r ≤ l ,φ = C exp(−αr ) при r > l ,гдеk=2 m( E + U 0 )2,α=−2mE2(так как мы рассматриваем частицу внутри потенциальной ямы,то, естественно, необходимо считать E < 0 ). Таким образом, задача свелась к рассмотренной нами ранее одномерной потенциальной яме, поэтому и уровни энергии определяются так же, каки ранее.

Различие состоит только в том, что теперь необходимоотбросить состояния с четными волновыми функциями и оставить лишь состояния с нечетными волновыми функциями. В соответствии с этим из двух формул – (2.12) и (2.13) – необходимооставить лишь вторую:η = −ξctgξ ,причем ξ и η определяются прежними выражениями: ξ = kl , η = αl .50Принципиальное же отличие одномерной потенциальнойямы от трехмерной состоит в том, что для одномерных ям всегдасуществует, по крайней мере, одно собственное значение энергиис четной волновой функцией.

В случае сферически симметричнойпрямоугольной ямы этого может и не быть. Из соотношения2mξ 2 + η2 = 2 U 0l 2 видно, что если (π / 2) > 2mU 0l 2 / 2 , т.е. еслиU 0 < π22/(8ml 2 ) ,(2.15)то кривая, заданная уравнением η = −ξctgξ , никогда не пересечется2mс окружностью, заданной уравнением ξ 2 + η2 = 2 U 0l 2 .

Это означает, что при выполнении условия (2.15) в потенциальной ямене появится ни одного уровня дискретного спектра энергии (из-затого, что глубина ямы слишком мала).ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ«ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР»2.1. Стационарный поток частиц, имеющих массу m и энергиюE, падает на абсолютно непроницаемую стенку (рис. 2.11): U ( x) = 0при x > 0 и U ( x) → ∞ при x ≤ 0 .Найти распределение плотностивероятности местонахождения частиц w( x) и координаты точек максимума w( x) .

Нарисовать примерный график функции w( x) .2.2. Частица массой m падает слева на прямоугольный потенциальный барьер высотой U0 (рис. 2.12). Показать, что приE < U 0 коэффициент отражения R барьера равен единице. Найтираспределение плотности вероятности w(x) местонахождениячастицы для случая E = U 0 / 2 . Изобразить примерный графикфункции w(x).512.3. Частица массой m падаетслева на прямоугольный потенциальный барьер высотой U0 (см. рис.

2.12).Энергия частицы E < U 0 . Найтиэффективную глубину xэфф проникновения частицы под барьер, т.е.расстояние от границы барьера доточки, в которой плотность вероятности w(x) нахождения частицыуменьшается в e раз. Вычислить xэффдля электрона, если U 0 − E =1,0 эВ.2.4. Частица массой m падаетна прямоугольный потенциальныйбарьер высотой U0 (рис. 2.13).Энергия частицы E > U 0 .

Найти коэффициент отражения R и коэффициент прозрачности D этого барьера.Убедиться, что эти коэффициенты независят от направления движениячастицы.2.5. Частица массой m падаетна прямоугольный потенциальныйбарьер высотой U0 (см. рис. 2.13).Энергия частицы E > U 0 . Найти распределение плотности вероятностиw(x) местонахождения частицы приE = 4U 0 / 3 . Изобразить примерныйграфик функции w(x).2.6. Частица массой m движетсяслева направо в потенциальном поле,которое в точке x = 0 испытываетскачок U0 (рис.

2.14). Слева от точкиx = 0 энергия частицы равна E. Найтикоэффициент отражения R для случаев E << U 0 и E >> U 0 .2.7. Частица массой m падает на прямоугольную потенциальную яму шириной l и глубиной U0 (рис. 2.15). Энергия части52цы вне ямы равна E. Найти коэффициент прозрачности D ямыи его значение для электрона при E = U 0 = 1,0 эВ и l = 0,10 нм.2.8.

Частица массой m падает на прямоугольную потенциальную яму шириной l и глубиной U0 (см. рис. 2.15). Энергия частицывне ямы равна E. Найти значения энергии частицы, при которыхона будет беспрепятственно проходить через яму. Убедиться, чтоэто будет происходить при условии, что ширина ямы равна целомучислу дебройлевских полуволн частицы внутри ямы. ВычислитьEmin для электрона при U0 = 10 эВ и l = 0,25 нм.2.9. Экспериментально обнаружено, что в сечении рассеяния медленных электронов на атомах криптона имеется глубокий минимум при E = 0,6 эВ (резко увеличивается проницаемость атомов). Этот эффект обусловлен волновыми свойствамиэлектронов.

Считая, что для электрона потенциал атома являетсяодномерной прямоугольной ямойглубиной U0 = 2,5 эВ (см. рис. 2.15),оценить радиус атома криптона.2.10. Частица массой m падает на прямоугольную потенциальную яму шириной l и глубиной U0 (см. рис. 2.15). Энергиячастицы вне ямы равна E.

Найтидлину ямы l, при которой коэффициент отражения максимален.2.11. Частица массой m падает на прямоугольный потенциальный барьер высотой U0 (рис. 2.16).Энергия частицы E > U 0 . Найтикоэффициент прозрачности барьера D и его выражение при E → U 0 .Определить значения энергии E,при которых частица будет беспрепятственно проходить черезтакой барьер.2.12. Частица массой m падает слева на прямоугольный потенциальный барьер высотой U053(рис. 2.17). Энергия частицы E < U 0 . Определить коэффициент прозрачности барьера D и упростить полученное выражение для D << 1 .2.13. Частица массой m падает слева на прямоугольный потенциальный барьер высотой U0 (см.

рис. 2.17). Энергия частицыE < U 0 . Нарисовать примерный график распределения плотности вероятности w(x) местонахождения частицы. Найти отношение плотностей вероятности w(0) / w(l ) в точках x = 0 и x = l .2.14. Частица массой m падаетна прямоугольный потенциальныйбарьер. При каких условиях частицане будет отражаться от потенциального барьера? Найти энергию электрона, при которой он беспрепятственно пройдет над прямоугольнымбарьером высотой U0 = 5 эВ и шириной l = 0,1 нм.2.15. Опираясь на выражениедля коэффициента прозрачностиD ≈ exp(−2b∫2m(U − E )dx) ,aгде a и b – координаты точек, между которыми U > E , найти вероятность прохождения частицы черезпотенциальный барьер, показанныйна рис. 2.18.2.16.

Опираясь на выражениедля коэффициента прозрачностиD ≈ exp(−2b∫2m(U − E )dx) ,aгде a и b – координаты точек, междукоторыми U > E , найти вероят ность прохождения частицы черезпотенциальный барьер, заданныйвыражением U ( x) = U 0 (1 − x 2 / l 2 )(рис. 2.19).54ЗАДАЧИ К РАЗДЕЛУ«ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ»2.17. Частица массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками.

Найти собственные значения энергии частицы и ее нормированные собственные функции, если начало координат помещенов середине ямы (−l / 2 ≤ x ≤ l / 2) .2.18. Частица массой m, находящаяся в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокимистенками, излучает фотон, переходя из состояния с номером( n + 1) в состояние с номером n. Найти связь частоты фотонас классическим периодом колебаний частицы с энергией En .2.19. Частица массой m находится в основном состояниив одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечновысокими стенками. Производная волновой функции у края ямыd ψ / dx = a .

Найти энергию частицы.2.20. Частица массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Найти энергию частицы E в стационарном состоянии:а) описываемом волновой функцией ψ = a sin kx , где a и k –заданные постоянные, x – расстояние от края ямы;б) если число узлов волновой функции ψ ( x) равно N .2.21. Частица массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокимистенками. Найти:а) массу частицы, если разность энергий 3-го и 2-го энергетических уровней равна ∆E ;б) квантовое число n энергетического уровня частицы, еслиинтервалы энергии до соседних с ним уровней (верхнего и нижнего) относятся как η :1, где η = 1,4.2.22.