Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 3

Измерения в квантовой области принципиально отличаются от классических измерений. Конечно, и те и другие измерения сопровождаются некоторой ошибкой. Однако в классическойфизике всегда предполагалось, что путем улучшения методикии техники измерений ошибки могут быть сделаны сколь угодномалыми. В квантовой же механике существует предел точностиизмерений, который лежит в природе вещей и не может бытьпреодолен никаким ухищрениями. Соотношения неопределенностей Гейзенберга и устанавливают один из таких пределов. Взаимодействие между макроскопическим прибором и микрочастицей во время измерения принципиально нельзя сделать скольугодно малым. Если измеряется, например, координата частицы,то измерение неизбежно приводит к неустранимому неконтролируемому искажению первоначального состояния частицы, а следовательно, и к неопределенности импульса при последующем измерении. То же самое происходит, если поменять местами порядокизмерения координаты и импульса частицы.2.

Невозможно реализовать состояние, в котором частицанаходится в полном покое.3. В квантовой механике теряет смысл деление полной энергии на кинетическую и потенциальную. Одна из них зависит отимпульсов, а другая от координат. А эти переменные не могутиметь одновременно определенные значения. Энергия E должнаопределяться и измеряться лишь как полная энергия, без деленияна кинетическую и потенциальную.12Соотношение неопределенности является одним из фундаментальных положений квантовой механики.

Оно, например,позволяет объяснить, почему электрон не падает на ядро, болеетого, оценить даже размеры простейшего атома и его минимальную энергию. Примем для оценки неопределенность положенияэлектрона в атоме водорода порядка размеров атома и неопределенность импульса порядка самого импульса: ∆r ≈ r и ∆p ≈ p .Тогда в силу соотношения неопределенности имеем rp ≈ . В гауссовой системе единиц энергия электрона в атоме водорода равнаE=2mϑ2 e 2 p 2 e 2e2.− =− =−2r 2m r 2mr 2 rНайдем размеры атома при минимальной энергии. Для этогопродифференцируем энергию по расстоянию и положим производную равной нулю:−2mr 3+e2=0.r2Отсюда сразу находим выражение для боровского радиуса:r0 =2me 2,и для минимальной энергии электрона в атоме водородаEmin =22m(me 22)2 − e2me 22=−me 4.2 2Причем мы получили абсолютно точные значения (случайность!).Докажем теперь, что электрон не может находиться внутриатомного ядра.

Если электрон может находиться в области порядкаразмеров ядра ( ∆x ≈ 10−15 м ), то неопределенность импульса будетпорядка∆p ≈∆x≈ 197 МэВ / с .13Оценим теперь его кинетическую энергию. На всякий случай воспользуемся релятивистской формулой для кинетической энергии:E = c 2 p 2 + m0 2 c 4 − m0 c 2 ≈ 267 МэВ(мы не ошиблись, применив релятивистскую формулу, посколькуполученное значение более чем в 500 раз превосходит энергиюпокоя электрона). Мы не знаем в природе сил, величина которыхобеспечила бы связь электронов, обладающих столь большойэнергией, с нуклонами ядра (электростатическая потенциальнаяэнергия электрона на поверхности ядра составляет лишь 10 МэВ).Представление о классическом движении электрона по орбитам также противоречит соотношению неопределенностей.

Чтобытакое представление имело смысл, необходимо выполнение соотношения ∆r << r0 , где r0 = 2 / me 2 – радиус первой боровскойорбиты, а ∆r – его неопределенность. Соответствующая неопределенность в радиальном импульсе будет:∆p ≈∆r>>r0=me 2,что равно самому импульсу электрона p = me 2 / . Это и означает,что бессмысленно говорить о движении электрона по орбитамвнутри атома.Посмотрим теперь на колебания атомов в твердых телахс точки зрения принципа неопределенности. Обычно такие колебания связаны с тепловым движением атомов.

Чем выше температура, тем сильнее колебания и тем больше амплитуда этих колебаний. При понижении температуры уменьшается и амплитуда этихколебаний. И при нулевой температуре, с точки зрения классической физики, амплитуда должна быть равна нулю. А что же происходит на самом деле? Уменьшение амплитуды колебаний приводит к уменьшению области локализации частицы, и соответственно, в силу принципа неопределенности, начинает расти импульси энергия частицы. То есть попытка остановить частицу безуспешна! И даже при абсолютном нуле температуры атомы в твердомтеле совершают колебания – их называют нулевыми колебаниями.14Оценим энергию этих колебаний, принимая атом за гармоническийосциллятор. Энергия гармонического осциллятора массой m и частотой ω связана с амплитудой колебаний A соотношением:E=mω2 A2.2Данное соотношение в сочетании с принципом неопределенности дает своеобразную связь амплитуды колебаний и энергиичастицы.

Чем меньше энергия, тем меньше амплитуда (областьлокализации частицы), тем больше минимальный импульс частицы, а это, соответственно, приводит к росту энергии. Минимальнаяэнергия, которой может обладать частица, составляетE0 =22p0 2mω2≈≈2m mA2mE0(при этом мы воспользовались соотношением p0 A ≈ ).Из последнего соотношения получаем E0 ≈ ω (точный расчетдает E0 = ω / 2 ). Полученный результат говорит о том, что энергия колебаний максимальна у легких атомов, у которых большаячастота ω.Самое яркое проявление нулевых колебаний – жидкость,которая не замерзает при T = 0 K. Ясно, что жидкость не замерзает, если кинетической энергии колебаний атомов достаточнодля того, чтобы разрушить кристаллическую решетку.

При этомсовершено неважно происхождение кинетической энергии – связана ли она с тепловым движением атомов или с нулевыми квантовыми колебаниями. Наиболее вероятные кандидаты в незамерзающие жидкости – водород и гелий (максимальная энергия нулевых колебаний). Но гелий – инертный газ, с очень слабымвзаимодействием между атомами. И кинетической энергии нулевых колебаний достаточно для расплавления кристаллическойрешетки. Вот почему гелий не замерзает даже при нулевой температуре при нормальном давлении (при давлении 25 атмосфергелий все-таки замерзает!).Иногда соотношение неопределенности получает следующее толкование: «на самом деле» частица имеет точное значе15ние координаты и импульса, однако вмешательство прибора«портит» их значения.

Такое истолкование является совершенноневерным, т.к. противоречит наблюдаемой на опыте дифракциимикрочастиц.1.3. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРАВ основу математического аппарата квантовой механикиположен тот факт, что каждое состояние системы микрочастицможет быть описано некоторой функцией координат и времениψ ( x, y, z , t ) . Ее называют волновой функцией (пси-функцией).В общем случае эта функция является комплексной. Физический смысл ее заключается в том, что квадрат ее модуля определяет вероятность обнаружить частицу в пределах объема dV:2dP = A ψ dV , где A – некоторый коэффициент пропорциональ2ности, который находится из условия A∫ ψ dV = A∫ ψψ *dV = 1vv(знак * означает комплексное сопряжение). Это позволяет переопределить пси-функцию таким образом, чтобы было выполненоусловие нормировки для самой волновой функции:∫ψ2dV = 1 .vИз смысла пси-функции следует, что квантовая механика имеетстатистический характер. С помощью волновой функции можнотолько предсказать, с какой вероятностью частица может бытьобнаружена в данном месте пространства.

Сама волновая функция является решением дифференциального уравнения, котороевпервые получил Шредингер в 1926 г. Уравнение Шредингераявляется основным уравнением квантовой механики и не можетбыть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливостькоторого доказывается тем, что вытекающие из него следствияточно согласуются с опытными фактами. Само уравнение выглядит следующим образом:−1622m∆ψ + U ψ = i∂ψ,∂t∂2∂2∂2++– оператор Лапласа, m – масса частицы,∂x 2 ∂y 2 ∂z 2U ( x, y, z , t ) – функция, градиент которой, взятый со знаком минус,определяет силу, действующую на частицу.

Если функция Uне зависит от времени, то она имеет смысл потенциальной энергии.Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то U не зависит явно от времени, и в этом случае решениеуравнения Шредингера можно представить в виде произведениядвух множителей, один из которых зависит только от времени,другой – от координат:где ∆ =ψ ( x, y, z , t ) = ψ ( x, y, z ) exp(−iEt),где E – полная энергия частицы (в случае стационарных полейостается постоянной). После подстановки этого выражения в исходiEtное уравнение Шредингера и сокращения на exp (− ) получаемуравнение Шредингера для стационарных состояний:−22m∆ψ + U ψ = Eψ .В дальнейшем будем иметь дело в основном с этим уравнением. Иначе это уравнение можно переписать в следующем виде:∆ψ +2m2( E − U )ψ = 0 ,где под U будем понимать потенциальную энергию частицы.

Изфизического смысла пси-функции следует, что она должна бытьоднозначной, непрерывной и конечной – т.е. отвечать стандартным условиям. Иногда встречаются ситуации, когда имеет смыслне квадрат модуля волновой функции, а отношение квадратовмодулей волновых функций, взятых в разных точках пространства. Это отношение дает относительную вероятность обнаружениячастицы в разных точках пространства.Известно, что уравнение Шредингера для стационарныхсостояний имеет решения не при всех значениях параметра E,17а только при некоторых, называющихся собственными значениямэнергии. Тогда соответствующие им значения ψ ( x, y, z ) – называются собственными функциями.1.4.

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ СОСТОЯНИЙИтак , непосредственный физический смысл связываетсяне с самой функций ψ, а с квадратом ее модуля ψψ * . Почему жев квантовой механике рассматривается волновая функция ψ,а не непосредственно наблюдаемая величина ψψ * ? Это необходимо для истолкования волновых свойств вещества – интерференции и дифракции, которые отражают объективные, реальнонаблюдаемые волновые свойства материи. Здесь дело обстоитточно так же, как и во всякой волновой теории. Эта теория принимает справедливость принципа суперпозиции самих волновыхполей, а не их интенсивностей, пропорциональных квадрату полей,что позволяет включить в теорию явления интерференции и дифракции.