Паршаков А.Н. - Курс лекций по квантовой физике, страница 2

стало почти ясно, что теория Бора и старая теорияквантов – лишь промежуточное звено между классическимипредставлениями и какими-то новыми взглядами, позволяющимиглубже исследовать квантовые явления. Открытый к этому времени эффект Комптона и изучение фотоэффекта рентгеновскихлучей лишний раз подтвердили представления Эйнштейна о световых квантах. Следовательно, с еще большей остротой всталадилемма: что такое свет – волны или частицы? СоотношениеЭйнштейна между частотой и энергией, введенное им в теориифотонов, ясно показало, что этот дуализм излучения неразрывносвязан с самим существованием квантов. Но тогда почти сам собойвозникает вопрос: поскольку свойства электрона в стационарномсостоянии атома описываются с помощью постоянной Планка,нельзя ли предположить, что и электрон также двойственен, каки свет? И в 1924 году Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью одних лишь оптических явлений,а присущ также и частицам вещества.

По его идее, частицы вещества также должны проявлять волновые свойства, т.е. движениеэлектрона или другой микрочастицы связано с некоторым волновым процессом, длина волны которого должна быть равнаλ=2π2π,=pmϑа частота ω = E / , где p = mϑ – импульс частицы. Иначе говоря,поведение частиц должно подчиняться также и волновым законам.Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля былоосуществлено Дэвиссоном и Джермером в ходе опытов по отражению электронов от кристаллов никеля.7Узкий пучок моноэнергетических электронов (рис.

1.1) направлялся на поверхность монокристалла никеля. Отраженные электроны улавливались цилиндрическим электродом, присоединеннымк гальванометру. В опытах изменялась скорость электронов и угол φ.И оказалось, что максимальноерассеяние наблюдалось при некотором угле φ0 и определеннойскорости ϑ0 . Все это было оченьпохоже на дифракцию рентгеновских лучей. Максимальное отражение рентгеновского излучениядолжно наблюдаться в направлении, подчиняющемся формулеВульфа-Брэггов 2d sin θ = k λ , где d – расстояние между атомнымиплоскостями, которое было известно из рентгенографическихисследований. Рассчитанное по формуле Вульфа-Брэггов (приизвестных значениях θ и d ) значение λ равнялось 1,65 ·10–10 м.Вычисленное значение λ по формуле де Бройля равно 1,67 ·10–10 м!Совпадение было настолько полным, что опыты Дэвиссона и Джермера следует признать блестящим подтверждением гипотезыде Бройля (поразительный факт: Дэвиссон наблюдал подобноеявление за три года до появления работы де Бройля, но не смогправильно истолковать полученные экспериментальные данные).В дальнейшем были проведены опыты по дифракции электронов на тонкой металлической фольге (Томсон, Тартаковский),которые ясно свидетельствовали, что дифракция микрочастицабсолютно тождественна дифракции рентгеновского излучения.Существовало предположение, что волновые свойства частицыпроявляют только в достаточно интенсивных пучках (как «коллективный эффект»), но опыты по дифракции на одиночныхэлектронах показали, что волновые свойства присущи отдельноймикрочастице.

Каждая микрочастица сочетает в себе свойстваи частицы, и волны; однако она не ведет себя ни как волна, ни какчастица. Отличие частицы от волны заключается в том, что частица всегда обнаруживается как неделимое целое. Никто никогда8не наблюдал, например, пол-электрона. В то же время волнуможно разделить на части и воспринимать затем каждую частьв отдельности, например, при интерференции света.Своеобразие свойств микрочастиц отчетливо обнаруживается в следующем мысленном эксперименте по дифракции электронов на двух щелях (позднее этот опыт был проведен в реальных условиях).На преграду с двумя узкимищелями (рис.

1.2) направляетсяпараллельный пучок моноэнергетических электронов. За преградой размещается для регистрации места попадания электронов фотопластинка (Фпл).При открытой только первойщели распределение попаданийэлектронов на фотопластинкуимеет вид кривой 1. При открытой второй щели распределениеимеет вид 2. Если же открыть обещели одновременно, то распределение попадания электронов неявляется простой суммой кривых 1 и 2, а отображается кривой 3.Эта ситуация отнюдь не эквивалентна наложению первых двух.Она аналогична картине, получающейся при интерференции двухкогерентных световых волн.

Данная ситуация свидетельствуето том, что на движение каждого электрона влияют сразу оба отверстия. То есть электрон, каким-то непостижимым образом «знает»,открыто одно отверстие или оба! Отсюда автоматически следуетвывод о том, что к нему неприменимо понятие траектории (мы неможем сказать, через какую щель прошел электрон).1.2. ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯТо обстоятельство, что в квантовой механике не существуетпонятия траектории, составляет содержание так называемого«принципа неопределенности», сформулированного в 1927 г. Гейзенбергом. Если пытаться измерить одновременно координатуи импульс микрочастицы, то чем с большей точностью известно9положение частицы, тем больше неопределенность в значенииимпульса.

С математической точки зрения данное положениеобычно записывают в следующем виде:∆x∆px ≥ ,∆y∆p y ≥ ,∆z ∆pz ≥ ,где ∆x – неопределенность координаты x, ∆px – неопределенностьимпульса в направлении оси x (аналогично для других направлений). Подобное же соотношение существует и для энергии:∆E ∆t ≥ ,которое означает, что чем короче время существования какого-тосостояния или время, отведенное для его наблюдения, тем с меньшей определенностью можно говорить об энергии этого состояния. Если состояние стационарно, то оно может существовать бесконечно долго. Иногда это соотношение трактуют таким образом:для измерения энергии с точностью ∆E необходимо время∆t ≥ / ∆E .Соотношение неопределенностей не связано с несовершенством измерительных приборов, а глубоко обусловлено самой природой вещей.

Если бы оказалось возможным преодолеть это ограничение, то рухнуло бы все здание квантовой механики.Проанализируем в связи с этим мысленный экспериментпо одновременному определению координаты и импульса электронов при их наблюдениив «гамма-лучевом микроскопе», впервые рассмотренный самим Гейзенбергом.Пусть в направлении оси Х (рис. 1.3) движется свободный электрон. Используем дляопределения координаты электрона микро10скоп. Поскольку требуется высокая точность, будем вести наблюдение с помощью коротких электромагнитных волн. При рассеянии фотонов на электроне в точке В пучок рассеянных фотоновпопадает на экран через объектив CC ′ .

В этом случае изображением светящейся точки (электрона) в плоскости изображенияявляется дифракционная картина, состоящая из концентрическихколец, окружающих центральный светлый дифракционный кружок(кружок Эйри). На него приходится около 84 % энергии света.Этот кружок и будет изображением светящейся точки (электрона).В волновой оптике доказывается, что минимальное разрешаемоерасстояние (определяемое пределом разрешения микроскопа) равноlmin = 0,61λ,sin αгде 2α – угол, под которым виден объектив из положения электрона (так называемая апертура), λ – длина волны света. Этотпредел разрешения обусловлен волновой природой света и неможет быть превзойден никакими техническими усовершенствованиями микроскопа.

Значение lmin и можно принять за неопределенность координаты электрона ∆x . Значение sin α ≈ d / 2 f , гдеd – диаметр объектива, f – расстояние от электрона до объектива.Таким образом, неопределенность координаты электрона будетпорядка ∆x ≈ λf / d .При рассеянии фотона на электроне происходит изменениесостояния самого электрона. Если электроны свободны, то, согласнотеории эффекта Комптона, импульс, теряемый световым квантомпри рассеянии, передается электрону. Таким образом, если квантсвета с частотой ω и импульсом ω / с рассеивается на угол θ,электрону передается импульс, равныйpx ≈ω(1 − cos θ) .cСледовательно, нельзя наблюдать электрон, не возмущаяего.

Более того, величина этого возмущения неизвестна, так какиз-за конечной апертуры объектива неизвестен сам угол θ (этотугол может лежать в пределах от XBC до XBC ′ ). Значит, для11угла θ есть неопределенность порядка d / f , а поскольку θ ≈ 90° ,неопределенность импульса, переданного электрону, будет порядка∆p ≈ωd.c fОтсюда получаем∆p∆x ≈ω d λf≈ 2π ,c f dчто и следует из соотношения неопределенностей.Отметим некоторые выводы, вытекающие из соотношениянеопределенностей.1.