Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 7

2, При положительных значениях аргумента порядок роста абсолютных значений фунхпии при возрастании аргумента не превосходит порядка роста некоторой показательной функции: где М вЂ” константа. Например, функция ег не имеет изображения„так как интеграл Лапласа расходится. 3. функция у(т) должна удовлетворять условиям Пирнхле, т.е. интервал, на котором определена функдия Дт), может быть разбит на конечное число интервалов, в каждом из которых Дт) непрерывна и монотонна, и во всякой точке разрыва значения функпий ~(т+ 0) и Дт — 0) существуют.

Прн указанных ограничениях изображение ~(р) является аналитической функпией в правой полуплосхостн от прямой Ве(Р) = с'о (см. рис. П1.3), т.е. функция у(р) имеет производные всех порядков в указанной области и все ее особые точки расположены в комплексной области слева от прямой ее. Для частных случаев функции Дт) функпия Др) имеет следующий вид: пря у(т) ж С = сопв$ (т > О) Др) = Се й'= (С/ Р)с я = СФр р> 0' (П1 36) о ~о У(р) = с (я )'от = —, р> Уе. р — й' о В справочниках и литературе по операционному исчислению приведены изображения для различных функций-оригиналов.

Основные свойства преобразования Лапласа. 1. Линейность. Если С = сопзз и оригиналу Дт) соответствует изображение у(р), то функции С Ят) соответствует изображение С У(р). Палее, если функции Ят) и Цт) имеют соответственно изображения ~~(р) и Яр), то справедливо равенство т.е. изображение суммы оригиналов равно сумме изображений этих оригиналов. Например: /(т) ж о1п(ыт) = —. е+~~ — е в"~ 2$ ~, тогда 1 / 1 1 1 ы У(р) = —. ~ —. — —.~ = —,; 2(1,р-( р+( ) р +. ' 1/+, /(т) сов(мт) 'е+ыт+е-от 2~ изображение имеет вид /(р) = 2 + ) = г 1 1 ~ р ,4. Ц „г+,„г 2.

Изображение производной. Если ~р(т) = /~(т), то, используя правило интегрирования по частям, получаем ОО 00 у(р) = р(т) е Ртйт = е Рт/(т)~ + р /(т) е Рт йт. (П1.41) 1о 0 О Если /(т) принадлежит к функциям со свойствами 1 — 3 (СМ. ВЫШЕ), тО у(т)Е Рт -+ 0 Прн т -+ ОО Н Е Рт/(т) -+ /(О) при т -+ О. В этом случае выражение (П1.41) приводится к виду у(р) = У (р) = р/(р) — /(0), (П1.42) Для производной второго порядка ф(т) = /о(т) можно записать 00 Ов Цр) = /в(т)е Ртйт = е Рт/'(т) +р /'(т)е Р~йт = о о 00 =-/'(О)+р е Рт/(т) +р /(т)е Ртйт ж О ж рг/(р) — р /(0) — /'(О).

(П1.43) В общем случае, если Г(т) = /(в)(т), изображение этой функция определяется по формуле у(р) = /(в)(т)е Р лт= 0 = "/(р) - ("-')/(о) - ("-')/'(о) - ... - /("-')(0). (ш. ) Для отыскания первообразной функции оригинала по ее изображению можно воспользоваться формулок (П1.35), Методика интегрирования в комплексной плоскости детально изложена в руководствах по теории функций комплексного переменного, однако чаще пользуются уже готовыми таблипами для оригиналов н изображений (24). Кроме того, вместо формулы (П1.35) можно пользоваться следующей формулой обращения (т.е. нахождения оригинала по изображению): /(т) = Нш ( ~(-1)" /и!] (и/т)( )/(~)(и/т) ~, (П1.45) где /(и/т) — изображение функции /(т), в которой р = и/т.

1 (в) Например, пусть /(р) = —. Найти /(т). Так как / р+1 (в/т) (-1)ви.' , то в соответствии с формулой (Ш.45) ( р + 1 ) в + 1 т.е. дифференпирование оригинала функпии соответствует ум- ножению изображения на р с последующим вычитанием посто- янной /(О). в-шв и1 т (и/т+ 1)в+1 11ш + = 1/е = е т. (П1.46) (1 + т/и)в+1 Формула (П1 45) дает возможность определить оригинал лишь при помоши операдий дяфферепцяроваиия и перехода к пределу. Пля ряда частных случаев имеются и другие формулы обрашепия. Пля яллюстрапии примеяеиия преобразований Лапласа рассмотрим перобразоваиие одиомеряого дифференциального уравпеяия теплопроводиости дТ/дт ж ад Т(х, т)|дхз: 3 | — с Ят йт ж р Т(х, р) — Т(х, 0), (П1.4Т) дт о где Т(х, р) — изображеяие оригинала Т(х, т); Т(х, 0) — яачельиое распределение температуры.

Тогда | дзТ а — е я~й= дх о / Т(х т) е Рт ~1т — а, (П1.48) ='д зl о Таким образом, уравнение (П1.1) в частных производных преобразуется в обыкновенное дяффереяпиальиое уравнение отяосительпо язображеяия: ,1зТ а — — р Т(х, р) + Т(х, 0) = О. ~1хз (П1.49) Рассмотрим простейший случай, когда начальное распределение температуры одинаково для всех точек тела и равно нулю, т.е. Т(х, 0) = О. Тогда уравнение (П1.49) примет вид Решение этого уравнения будет следуюшим: Т(х р) А~ ех~/Р/а + Вз с х~/Р~а = Асвх~| — + Взйх~|-, (1П.51) 1|а а 1 1 где А~ = — (А+ В) и В~ = -(А — В) — велячияы, постояииые 2 2 отиосительяо х, яо ие зависяшие от р.

Эти постояияые определяют из граничных условий, после чего при помощи таблицы изображеиий находят оригинал Т(х, т). П1.2. Температурное поле полуограннченного тела Полуограиичениым можно считать тело, размеры которого велики по сравнению с той его областью, температурное поле которой яас интересует, При этом в течеиие определеяпого промежутка времеяи влияние граничных условий сказывается весьма слабо яа температурном поле участков, яаходяшихся вдали от граиипы. В этих частях тела температурное поле определяется лишь начальными условиями. Примером рассматриваемой задачи может быть задача по определению температурного поля длинного стержня, боковел поверхность которого имеет идеальную изоляцию. Олин конец стержня подвергается какому-либо тепловому воздействию, влияиие которого яесушествеяпо, так как считается, что оя бескояечяо удалеп.

В указанной постановке температуриое поле является одномердым, а дифференциальное уравнение теплопроводдоств имеет вид дТ дзТ д =а — (х>0; т>0) (П1.52) дт дхз при начальном условии Т(х, 0) = 1(х) и граничных условиях 1, П или 1П рода. В качестве примера рассмотрим задачу об охлаждении стержяя с простейшими граничными условиями 1 рода (П1.50) а-Т вЂ” — -Т(х, р) = О, ~Ьз а Т(0, т) = сопзз = О. 8 Т(х' т) ст = ег1с( — ). (Ш.66) Приведем решения, полученные при задании граничных условий П и П1 рода. Для граничных условий П рода на копне стержня задан тепловой поток вст. Если вст = сопвФ и начальное распределение температур постоянно, то условия однозначности имеют вид Т(х, 0) = Тв = сопев; Т(со, т) = Тв', дТ(О, «) дТ(оо, т) Л * +й =О; "=О.

Решением задачи будет выражение х т~,~)-т,-м/ ь( — ")ю =+в(2лт), (П1.67) где!его(а) = (1/~Я е х — аеас(а) определяют нз таблиц. 1(ля граничных условий 1П рода условна однозначности рассмотрим в следующем анде: Т(х, О) = Тв = сопев; Т(оо, т) = Тв', дТ(0~ т) дТ(ос~ т) Л вЂ” '+ а (Тп — Т(0, т)] = 0; = О, дх х где Тх — температура окружающей среды; козффициент тепло- отдачи а считается постоянным.

Решение имеет вид — ехр~ — х+ Ы а«1 егГс~ — х+ -~ат). (П1.68) Ш.З. Нестапнонарные пропессы теплопроводностн' в неограниченной пластине Рассмотрим задачу, когда тело стремится к тепловому равновесию. Пусть пластина толщиной 2в имеет неограниченные размеры в направлении осей Оу н Ов. Фйзнческне условия определяют значения козффициента теплоцроводностн материала пластины (Л = сопвФ), теплоемкостн (с = сопев), плотности р; внутренние тепловые источники отсутствуют.

Пластину, температура которой в начальный момент времени была равна $в, опускают в поток жидкости, имеющей постоянную температуру 1п, отличную от Фв. Г'раничные условия определены постоянными н одинаховыми значениями коэффициента теплоотдачн а на обеих поверхностях пластины. В связи с тем, что линейные размеры поверхности пластн- ны велики по сравнению с ее толщиной, изменение температуры будет происходить только в направлении, перпендикулярном поверхности пластины, т.е. температурное поле будет одномерным. Кроме того, из-за симметрии граничных условий относительно средней плоскости температурное иоле в любой момент времени будет также симметричным относительно втой плоскости.

Лля рассматриваемой задачи начало координат удобно расположить в центре пластины, как по- Рхс. 1П.4. Схема красчету казано на рис. П1.4, направив ось хе«рева плоской овес«хны Ох по нормали к осн пластины. Пля удобства последующих вычислений отсчет температуры будем вести от температуры окружающей среды: дб дзо — =а — 1, дт дх ' (П1.59) 1Т' ФЯ вЂ” — = — = сопвС. е Т Ф (Ш.67) так как (Ш.ОО) 6=де =Т„-Те при т=О; д-40 при т-+со; (П1.61) граничные условия: Т(т) = С1 с"~Х; Ф(х) = Сз 41п(хх)+ Сз соз(хх), (1П,68) (П1.69) (П1.62) (П1.70) (П1.71) Ф(х) = Сз сов(йх). У(х) — = х Т(т) дт(т) дзж(х) дт дхз (П1.65) или, разделив переменные, л С е-4з т соз(йх) (П1.72) 1Т! УЯ аТ К~ (1П.бб) где С = С1 Сз.

6 = Тж — Т. Тогда диффереппиальпое уравнение теплопроводпо- сти (П1.1) будет иметь вид дз дб дзз дзд дт = д ' дхз = дх ' Условия однозначности будут следующими: начальные условия для -Ю < х < +5: дд А — = -аб при х =+5 дх 1 дд А — =ай при х=-й. дх 1 дд — =0 при х=О. дх Решаем поставленную задачу методом разделения перемен-' ных, представляя искомую функцию д в виде произведхпия двух фупкппй: Ф(х) и Т(т), каждая из которых зависит лишь от одного аргумептез д = У(х) Т(т). (П1.64) Подставив выражение (П1.64) в (П1.59), получим Так как левал часть уравнения (П1.66) пе зависит от координаты х, а правая — от времени т, то общее зпачепие к правой, и левой частей пе должно зависеть ни от х, пи от т: Из условия (П1.61) следует, что при нагревании пластины дб(дт < 0 (следовательпо, и дТ/дт < 0), поэтому константа в уравнении (П1.67) должна быть отрицательной.

(В случае охлаждения пластины при Тж < Т вывод относительно знака копстапты будет тот же.) Обозначив копстапту через -йЗ и решив уравнения (П1.67), получим где С1, Сз и Сз — постоянные интегрирования, которые, как и зпачепие постоянной х, паходят из начальных и граничных условий. Используя условие симметрии (1П.63) (дх/дх)~ е = О,име- ем Пиффереппируя уравнение (П1.69) и учитывая (П1.70), находим Сз = О; следовательно, Выражение для поля избыточной температуры имеет вид вв тх/ дд~ а = — д~ д*1,=+в Л 1, +в' (П1.73) (Ш.75) хЛ/а = сааб(х6), или (П1.76) й6Л/а6 = сааб(й6).