Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 8

(П1.77) в/В1 = свб(в). дв = ~ С; сов(в;х/6), (Ш.80) ВО Используя граничное условие (П1.62) в виде получаем пря подстановке в него уравнения (Ш.72) и производ- ной дд/дх при х = 6 -йС с в» г в?п(И) = — — С е "" г сов(И). (П? 74) Л Сократив обе частя этого равенства на Сс в~ ~, приходим к трансцендентному уравнению для определеняя постоянной х: Обозначим й6 = в и а6/Л = В1, тогда Уравнение (П1.77) называется харакгверисвзически,н уравнением; его можно решить графическим способом, находя точки пересечения прямой у1 = в/В1 с котангенсоидами уг = свб(в) (рис.1П.5, а). Как видно на рисунке, уравнение (П1.77) имеет бесчисленное множество реп(ений в;; эти значения называются собсвваевными числами задачи.

Значения собственных чисел зависят от порядкового номера 1 и числа В1. Характер этой зависимости приведен на рис. П?.5, б. При В1 -+ оо прямая у1 = в/В! совпадает с осью абсписс я корни уравнения (П1.77) имеют следующие значения: в1 = х/2, вг = Зх/2, вз = 5х/2,..., в; = (21 — 1) х/2. При В1 -+ О прямая уг совпадает с осью ординат и собственные числа становятся равными: в1 = О, вг = х, вз = 2х,..., в; = (( — 1) х, где ( = 1, 2, 3. Рис. П1.В. Схема графического решения уравнение (Ш.тв) (е) и графики лая определения собственных чисел ьч (В) Таким образом, исходя из уравнения (П1.72) каждое значение собственного числа в; приводит к частным решениям: д1 = С1 сов(вгх/6)ехр(-авггт/6 ); дг = Сг сов(вгх/6)ехр(-авгг/6 ); (Ш 78) д; = С; сов(в1х/6) ехр(-ав(т/6г). Общее решение дифференциального уравнения (1П.59) определяем как сумму частных решений: д= ~) С, сов(в;х/6)ехр(-ав3т/6г).

(П?.78) 1=1 Функция д удовлетворяет граничным условиям, так как им удовлетворяют все члены ряда. Постоянные С; находим из начальных условий (П1.61) т.е. С, являются коэффициентами Фурье функции до при разло- жении ее по косинусам в интервале от -6 до +6. ,Пля определения хозффицкептов С; правую и левую части уравнения (Ш.80) умножаем на сов(в х/6) и интегрируем от -б до +б (1 принимает все целые зпаченйя, в том числе и б): +б +б Ф~/ ( -)и = 1 с; / (~-) (~у-)1 . (ш8ц -б в=1 Нетрудно показать (свойство ортогональности), что +О е ~ ~ х б 1 ~ х 3 соз(вб — ) соз(в/ — ) хх = 0 при бфб; | +б (П1,82) созг/а -~ ~бх прк ~ бй) Вследствке этого выражение для определения С, приобрета- ет вкд "/-("б -б до 26 в1пв;1(в; С +б б[1+ з1п(2в;)/2а;] / "'('-')" = до .

~ ° (П1 83) в;+вша; сова; Подставив уравнение (П1.83) в (П1.79), получим окончательное выражение для температурного поля симметрично пагреваемой одпородпой пластины: ае. г — соз(в,-) е б . (П1.84) в;+з)пв, соз», '6 1=1 Безразмерное время аг/ог = Го называется числом Фурье.

Выражение для безразмерного перепада температур имеет вид ОО -езде '= — =Е . '." .. ~ -') -"". (Ш,88) бо . в;+ з1пв; сова; 6 1=1 В большяпстве практических задач необходимо Опрелвлить температуру в характерпых точках тел, Так, для пластины наибольший интерес представляет нахождение температуры либо па поверхности х = М, либо в средкей плоскости х = О. Жи этих случаев безразмерная координата х м х/6 принимает значение 2 апаб либо 1, либо О. Выражение .

является функцией в;+вша; сова; только в;, т.е. функцией порядкового номера и критерия В1. Так как в; — числа, значения которых возрастают с порядковым номером, то послепуюшие члены ряда играют все меньшую роль с увеличением в; [следует помнить, что сов(в;х) — величина ограниченная, а ехр(-вгг о ) — величина быстроубываюпгая).

Исследования йокззывают, что при яо > 0,3 ряд (1П.85) становится быстросходяшимся и может быть с бюстаточиой точкостью заменен первым членом ряда: 6 = . 1 соз(в1х) ехр(-ваго). (Ш.88) в1 + з1пв1 соя в1 Пля оск пластины (х = 0) имеем Вд о = Ю(В1) ехр(-а1ГО) = /1(В1; Ро); (Ш.87) для наружной поверхности (х = 1) ЭК 1 = Р(В1) ехр(-а1ГО) = Уг(В1РО), (П1.88) где Ф(В1) и Р(В1 ) — функции, зависящие только от числа Био.

Таким образом, при заданных коордипатах безразмерный перепад температур является функцией только двух чисел: В1 и Ро. Логарифмируя уравнения (1П.87) и (П1.88), получаем 1п9й о = 1п Ф(В1)-вг1РО; 1п Од 1 = 1пР(В1 )-в1~РО. (П1 89) вг зз сю аг ег сФ ез 4» ы эъ М г и и ы Рнс. Ш.Е.

Зависимость безразмерного перепада температур от чисел Фуръе и Бво для поверхности пластины см н.",з ы ы м ы Ф съ е г., Ф ег 'Ъ г л и в г с г з е г с г з а Рвс. 111.7, Заввсимость безразмерного перепада температур от чисел Фурье и Бво длз середины пластины Уравнения (1П.85) удобно представить в полулогарифмических координатах (рис. 1П.6, 1П.7). По оси ординат здесь от- ложены натуральные логарифмы величины 6~-е или 9 з, а по оси абсцисс — критерий Фурье. Число Био используется как параметр. Пользуясь этими графиками, можно выполнять скедуюпгие расчеты: 1) при заданной продолжительности нагревания пластины (т.е.

задано число го) и интенсивность теплоотдачи с ее поверхности (т.е. известно число В1 ) определять 9- е и 1зз 1, 2) при заданных 8- е или Оз 1 и В1 находить продолжительность нагрева, т.е. го; 3) при заданных Го и 6з е (или 98 1) определять интенсивность теплоотдачи на поверхности пластины, т.е. В1. Из уравнения (П1.86) следует, что температурное поле в пластине имеет для любого мо- е мента времени вид симметрич- -йр +хз ной кривой (соз(инх ) — четная функция). Минимум кривой находится на оси пластины.

ч ° ,Пля любого момента вре- Ф мени касательные к температурным кривым в точках х = = Ы проходят через одни и те в-г; уз*у же симметрично расположенные точки ~й1 (рис. П1.8). гг Эти точки называются мв~ праеллющими и отстоят от пературвого поля веогравиповерхности пластины на от- чевной пластины носительном расстоянии х = 1(В1. П д те этого преобразуем граничное условие (П1.73) дд! а = — д~ дх ~ Л з=+з а=+6 к безразмерному виду, умножив обе части равенства на 8/де: дЕ~ — = -В1 Е! (П1.91) Согласно схеме на рнс.Ш.8, 6=-~ Об. 1 У б,/ о (Ш.97) д81 — =%8 1/хО =18Ог дх ~ (П1.92) (Ш,93) 1/хо = В1. Значення коэффнцнента гг'1 представлены на рнс.

Ш.9. Яоо = 2б/рс(То — Т ) (Ш.95) Ркс П1 о График иаа оиреЛелеииа гиачекий К~ вю яую о гр в» ир 1яя я1 во вт = — (В/доУ, +,. (Ш.90) д(4/до)1 аб д(х/б) ~е~+б й Уравкенне (Ш.90) запншем в анде Из сравнення уравненкй (Ш.91) н (1П.92) следует Подставив в уравненке (Ш.93) размерные велнчнны, находнм, что хо = Л/а, (Ш.94) т.е. расстоянне точки Ф от поверхностн пластнны определяется условнямн однозначностн> к, слецовательно, квсателыгые ко всем температурным крнвым в точке пересечения нх с п<юерхностью пластнны прн некзменных условиях оцнозначностн всегда проходят через точку б1.

Колнчество теплоты, поступающей в пластнну с обеих сторон за время от т = 0 до т = оо, равняется кзмененню энтальпнн пластины за этот период (температура пластнны во всех точках цостнгает температуры жндкостн): где То — температура в начальный момент времени. За произвольный промежуток времени от 0 до т1 энтальпня изменяется на Я = 26/рс(То — Т1) = = 2брс/(То — Ти) (1 — 9) = Яоо(1 — 9) (1П 96) где / — площадь боковой поверхности стенки; Т1 — средняя температура по толщине пластины в момент временн т1; 5 = = (Т1 — Ти)/(То — Ти) — средний безразмерный перепад температур в момент времени т1.

Величина 5 в соответствнк с теоремой о среднем может быть определена нз выраження Подставляя значение 6 нз урэлненяя (Ш.85), после ннтегрнровання имеем 6= Е з "' е 1 о — ~~м'Ф е"гуо (П1.98) в~ + и; в1цв; сов и; 1=1 В 1~1 где Ф; — коэффициенты, завнсяпше от чнска В1. Прн значениях числа со > 0,3 ряд (Ш.98) становнтся быстросходящнмся н для решення практических задач можно огра ннчнться первым членом ридж — 2 з1ц~(в1) г г О= 2 е-агро 111 -а~Уо (Ш 99) и + в1 г1п в1 соз в1 1 в!и п„= в!п[(2( — 1) 1г/2) = (-1)(' сова; а сов((2(- 1)я/2) а О.

Рас. ШЛО. Измеаеаае температураоге поля в аеогРВзевчеааой алестаае пра Оолыаах (е) а мелэгх часлех Вао (6) (П1.102) 88 При больших значениях числа Био (В! -+ оо) собственные числа принимают значения п1 = х/2, пз ~ Зх/2,..., п; = = (2( — 1)т/2 (см. рис. Ш.5, 6). При этом Уравнение (П1.85) при В1 -> оо будет следующим: щн; "~(~ 1)г~0-о !~з 1) г!/(е 1))х в~1 зяз Х ехр [-(2( — 1) — Го1. 4 Нз этого выражения следует, что для поверхности пластины (г = 1) (Ш.100) 1В! -еоо Распределение температуры в остальных точках пластины зависит от соотношения внутреннего и внешнего термических сопротивлений, Если б/А,р 1/а, то температура поверхности с самого начала процесса становится равной температуре нагревающей жидкости (а, т.е.

граничные условия П1 рода переходят в условия 1 рода. При б/А ч; 1/а имеют место малые значения числа Био (В! -+ 0). При этом п1 -+ О, пз -+ т,..., и; -+ (( — 1) я, и из уравнения (1П.83) следует С| = аппп((2 в!пп1)/(пг+ в!пп! совп1)! = 1! е-+О Сз = Сз = " = Са = О! с)!В1- О т.е. температура по толщине пластины в любой момент времени оказывается одинаковой и постоянной. При 0 < В! ч; 1 з8 п1 ге п1 и из трансцендентного уравнения п1/В! = 1/фйп1 следует, что п1 в ~/В! . Поэтому при В! ч.

1 9 сов(х ~/В1 ) ехр(-В! Го) (П1.101) и изменение поля температуры происходит в основном во времени из-за малости В!. На рис.Ш.10 показан характер изменения температурного поим для различных случаев изменения числа В). Проведенные расчеты свидетельствуют, что изменение температурного поля, представленное на рис. П1,10, а, б, имеет место при В! » 100 и В! < О, 1 соответственно. Влияние числа Го сказывается на поле температур следующим образом: при увеличении Го сходимость ряда в уравнении (П1.85) улучшается. Как уже было сказано ранее, для значеняя Го > 0,3 ряд может быть заменен его первым членом: в!пп1 сов(п18) ехр(-и!Го).