Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 4

Во всех этих выражениях термическое сопротивление стенки, разделяющей жидкие среды, как правило, гораздо меньше термических сопротивлений теплоотдачи. Таким образом, коэффициент теплопередачи, например для однослойной цилиндрической стенки, будет определяться выражением Последнее выражение свидетельствует о том, что коэффициент Й можно повысить, увеличив как коэффициенты теплоотдачи а1 Рис. П.зэ.

Прямое (а) и цилиндрическое (б) ребр» и аз, так к площадь поверхности теплоотдачи. Следует подчеркнуть, что целесообразно увеличивать поверхность теплоотде чи у тех частей теплообменного аппарате„где коэффипиент теплоотдачи немлкк. На практике для этого применяются ребра различной конфигурации (рис. П.12).

Расчет температурного поля в ребрах и опредвление теплового потока через оребренную поверхность представляет собой остаточно сложную задачу. Поэтому для практического применения используют решения, полученные при некоторых упрощающих допущениях. Ниже рассмотрено несколько подобных задач. П.й.1, Тепяопроеодность стержню постоянного поперечного сечения Отдельным фрагментом оребренной поверхности можно считать сплошной стержень, один торец которого присоединен к теплоотдеющей помрхностн.

На рис. П.13 представлен стержень постоянного поперечного сечения (произвояьной формы), площадь которого Е, периметр П. Один торец стержня присоединен к стенке, Рис. П.ГЭ. Стержень постояв- через которую осуществляется ного сечения теплопередача. Температура в качальном сечении Фг задана. С наружной поверхности стержень охлаждается жидкостью с температурой $и, коэффициент теплоотдачи а одинаков на всей свободной поверхности стержня.

Принято, что коэффициент теплопроводности материала не зависит от температуры и имеет большое численное значение (А > 1). Последнее условие позволяет считать температурное поле в стержне зависящим только от координаты х, т.е. температура в любом поперечном сечении стержня одна и та же. При указанных выше условиях уравнение теплового баланса для элемента стержня длиной Их будет иметь вид где Ям» = аП Их (г — Ги) — конвективный тепловой поток. Введя обозначение д = $ — $и и учитывая, что оэд Яя Яя+»я Г'1 з получим озд — — т д=О, <Ыз где т = аП/АГ. Решение уравнения (П.61) имеет вкд (П.61) д = Сге~*+ Сзе т*. (П.62) д=д~ при х=О; д=О при х-+со. При этих условиях имеем Сг = О, Сз = д~, и решение (П.62) пркобретэет вид Постоянные интегрирования С~ и Сз определяют кз граничных условий. В качестм первого варианта таких условий примем, что стержень имеет большую длину, вследствие чего температура на его конце становится равной температуре окружающей среды.

Таким образом, можно запксать (П.ОЗ) д = дге е«*, илн «(2д 1 И 2а — + — — — — д = О. «(г2 г дг Лд (П.67) (П.64) с(2д 1 «(д — + — — — д = О. «Ь2 х «(х (П,68) Решение (П,62) принимает вид ««йг 4» и» 4Я е /е« д' 40 д= — =с е«а. д д1 Количество теплоты, отводимой стержнем, Я = -ЛР— ~ = ЛР«пдг = дгъ/оПЛР. И! и*1., Пругим вариантом граничных условий примем условие равенства нулю теплового потока с поверхности свободного торца стержня, т,е. тепловой поток от торца будем считать незначительным.

Тогда д=д1 при х=О; И вЂ” =О при х=Ь. «(х Константы интегрирования будут следующими: с, =а,.- '/( "'~.-"') с, =«, "~/( ~+ — ~). еа«(7' *) + е а«(7' е) с)«(»п(х — Х)] д = дг ~ « — — дг, . (П.бб) ес«7 + с-«аг с(«(»пХ Количество теплоты, отводимое стержнем, И ! зЬ(п«Х) д=-ЛК вЂ” ~ =Мшд, дх~. ю сй(т~)— = дг~/оПЛ.Р 11«(»пЬ). (П.бб) П.Ю.Я. Тсмпсрап«рриос поле ируелоео ребра пес»поливой п«ели«ииа« Схема ребра представлена на рис, П.14, а. Принимал те же допущения, что и для одиночного стержня, запишем баланс теплопоступлений для кольцевого элемента круглого ребра в виде Введя обозначения «п2 = 2««/Лд, п«г = х, 1/г = и«/з и учитывая, что «(д И вЂ” «и — « «(г «Ь ' а«2д 12д — = пз —, ,(г2 ляг из уравнений (П.67) получаем Это выражение называется уравнением Бесселя, его решение имеет следующий вид: д= С1|о(х)+Сздю(х).

(П.69) Здесь С1, С2 — постоянные интегрирования; 7ю(х) = 1д(»пт), Кю(я) = Кю(»пг) — модифипированные функции Бесселя нулевого порядка, мнимого аргумента соответственно 1 и П рода. Рве. 11.14. Цилиндрическое ребро постоянного сечевв««(а) в асио- вогательвый графви дла его расчета (Е) Постоянные С«и Сз опрепеляют нз следующих граничных условий: д= де при д=О при г-«оо, Если пренебречь теплоотдачей с торпа ребра„то уравнение (П.09) примет вид 1о(тг) Кг(тгз) + Ж"гз) Ко(глг) ~ 1о(тгг) К«(тгз) + 1г(тгз) Ко(тгг) ' где 1«(тгз), К«(тгз) — модифицированные функции Бесселя первого порядка, мнимого з,ргумента соответственно 1 и П рода.

Количество теплоты, передаваемой через ребро, П.З.Ю. Тел««оироео«)ность ирт«оео ребра лерененнсео лолерсчноео сеченая Рассмотрим прямое ребро треугольного или трапепневидиого поперечного сечения (рис. П.15, а). Пля представленного на рисунке ребра известны 61 и бв, а также избыточная температура д! в начальном сечении.

Площадь поперечного сечения ребра .г' х И х 2!я Сй «р, где 1- ширина ребра. «(д! Я = -Л2яг«б — ~ гхг« 1«(тгз) К«(тг«) — 11(тг!) Кг тгз) = 2тЛг«тИ! 1о(тг!) К«(тгз) + 1з(тгз) Ко(тгг) Ппя учета количества теплоты, передаваемой через поверхность торпа ребра, радиус гз увеличивают на половину толщины ребра, Практическое использование выражений (П.70) и (П.71) затруднено из-за громоздкости.

Поэтому обычно для расчета круглых ребер используют те же формулы, что и для расчета одиночного стержня постоянного сечения: (П.72) Я =сГ«), где Я вЂ” количество теплоты,отдаваемое круглым ребром; е — поправочный коэффициент, определяемый из графика на рис.П.14,б (на рисунке дз/дз — отношение избыточных температур на концах ребра, вычисленное для прямого ребра постоянного сечения); ! à — площадь поверхности круглого ребра; е = (;Г /г — плотность теплового потока на поверхности прямого ребра, толщина которого равна толщине круглого ребра, а длина равна 1 м, Ю «)Г 4«««(Ф дг /«З б Рнс. П.15.

Прахсе репро траиеинеанянозс сечения (а) н аспюхсга- телъный график Лля его расчета (я) (П.73) — ЛК вЂ” „= «гпд, где периметр сечения ребра может быть принят равным П = 21. Приведем уравнение (П.73) к модифицированному уравнению Бесселя вида «(зд 1 «(д 1 — + — — — -дхО, «Ьз 3 «(х 3 (П.74) 43 С учетом принятых для одиночного стержня допущений и обозначений уравнение теплового баланса для элемента ребра длиной «Ь имеет вид (П.75) где г = ах/Л дйй, решение которого будет д = Сд1о (21/г) + Сг Ко (2д/х) Постоянные Сд и Сг находим из граничных условий джуд при х=хд, д=дг прн х=хг; Попрэвочный коэффипиент е' = /(дгг/дгд;бг/бд) определяют по графику, приведенному на рис.

П.15, б, причем отношение дг/дд взято для ребра постоянного сечения, а бг/бд = 0 для треугольного ребра. П.З. Теплопроводность при наличии внутренних источников теплотьд 11.8.1. Неограниченная пластина ~ы1 Ь~. „ (последнее означает, что тепловым потоком с торца можно пренебречь), Решение (П.75) принимает вид дд ~1о(24х ) Кд(2,/яг ) + 1(2д/яг ) Ко(йд/х)] [1о(2,/хд ) Кд(2,/хг ) + 1д(2з/яг ) Ко(2э/яд )) Тепловой поток, поступающий в ребро, Ю! Ц =-Л/д — ~ ~Ь аб!йд 1д(2,/хд ) Кд(2,/яг) — 1д(2д/яг) Кд(2~~~) (П 77) /я дур 1о(2 /Бд ) Кд(2д/яг ) + 1д(2д/хг ) Ко(21/яд ) Полученные выражения (П.Т6) и (П.77) обычно не используют для практических задач, а применяют метод, аналогичный описанному для пилнндрического ребра.

Расчет ведут по формуле д р/ (П.Т8) где Я вЂ” количество теплоты, отдаваемое ребром переменного поперечного сечения; а = Я /à — плотность теплового потока на поверхности прямого ребра постоянного поперечного сечения, длина высота н средняя толщина которого равны длине, высоте > н средней толщине ребра переменного поперечного сечения; Р— плошадь поверхности ребра. Теплопроводность в однородной неограниченной пластине будем рассматривать прн следующих условиях: постоянство козффипиента теплопроводности и равномерное распределение тепловых источников. Запишем дифференциальное уравнение для этих условий: ~дгд — +о,/Л=О. Ихг Решение этого уравнения имеет вид (П,ТО) В качестве граничных условий примем условия П1 рода на обеих поверхностях пластины: = -ад (д — д .1) прн я=О; Пусть дн, ) дн . После определения констант интегрирования решение (П.80) будет следующим: /,дг д-днэ д., -днэ / й'1 /х1 дибг/2Л дд бг/2Л ~ ад,Д \,б) й — Л— ~Ь Й вЂ” Л— Их д = -(ди/2Л) х + Сд х + Сг.

(П.80) = аг(д — дэ, ) при х = б. х=+б нлн в безразмерном виде 6=6 1- — ) -И+ х '1 а1 +Вц,~ —.+1 — 6в~ В+ — ~ — +1, (П.82) 1,В1з ) а1 1,В1з рвс. 11дб. Температурное поле в пластине прв валвчвв внутренних встсчввиов тепло- ты 6 = У вЂ” П~ + 1/В1, а максимальное значение 6 бу- дет прн х = 0,5. где х = ~ — + — + — ) - козффнпнент теплопередачн; 6 = ~1 б 11 1,аг Л аз) = (М- Ф э)/(е~ бз/2Л) — безразмерный перепад температур, 6в = = (Мв, — Гв )/(дубз/2Л) — безразмерный перепад температур для жидкостей; х = х/б — безразмерная координата; В1ь = хб/Л вЂ” критерий Бно, равный отношенню внутреннего термического сопротнвлення пластины 6/Л к термическому сопротня в Хс~ вленню теплопередачн 1/Й; м В1з = азб/Л вЂ” критерий Бно, У~ ,с~ равный отношению внутреннее| го термического сопротнвлення 6/Л к термическому сопротивлению теплоотдачн 1/аз прэ р с Хл с -Х с ~ л яь вой поверхности.

На рнс. П.16 представлено распределение безразмерного перепада 6 по толщине плаУл-Ю стины в зависнмостн от 6в. фи Прн симметричном охлажденнн пластины (1в, = $вэ; а1 = = аз; 6в = 0) уравнение (П.82) принимает внд еу Пля случая, когда одна поверхность пластнны теплонзолнрована (й/Нх~ е = О нлн а1 = О, й = 0), уравненне (П.82) нмеет внд 6 2/В1+1 ~У прн этом максимальное значение 6 будет прн х = О. В последнем случае плотность теплового потока меняется вдоль оск Ох по закону д = дух1 (П.83) н количество теплоты, отдаваемое поверхностью пластины, (П.84) Я = дубГ, где б' — площадь теплонзолнрованной поверхности пластины, Если значение коэффициента теплоотдачн а велико (а -с -с оо), то граничные условня Ш-го рода приобретают внд граничных условий 1-го рода (ест = $в), а решение (П.82) принимает внд гст 1 22 еубз/2Л (П.85) П.у.х.

Цилиндрическая с|пенна Рг 1а еу — + — — + — =О (П.86) йтэ т йт Л Введя обозначение Ж/й = х, нз уравнения (П.86) получаем тйх+ хй + — тйт = О. Ь' Л После интегрирования имеем пх дут — + — = Сгт, Й' 2Л Рассмотрим однородную пнлнндрнческую стенку (сплошной пнлнндр) с равномерно распределенными тепловыми нсточннкамн, у которой коэффипкент теплопроводностк Л не завнснт от температуры.