Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 9

п1 + в!ппг сов п1 Условие (1П.86) называется ревуларнывв тпеилоеым реасамом, при этом поле перепада температур остается подобным самому себе во все последующие моменты времени. Такие процессы называются аегполводельаььма ео еремеаи. Здесь га — 1 Е*=,—, = д (Ро~ В1„у); Ок = — = дз(Роя, В1 „; у), (1П.108) (Ш.

109) (Ш.110) д = дедкино. (П1.103) П1.4. Теплопроводность тел, образованных прн пересечении пластин Такие тела, как прямоугольные брусья, параллелепипеды, можно рассматривать как результат пересечения двух кли трех взаимно перпендикулярных пластин, имеющих такие условия однозначности, как и соответствующие им поверхности рассматриваемого тела. В качестве примера рассмотрим температурное поле прямоугольного бруса, состоящего из однородного изотропного материала.

Брус представляет собой пересечение двух неограниченных пластин. Нестапионарное поле мзбыточной температуры прн нагревании бруса подчиняется уравнению Фурье Представмм выраженме (Ш.107) в виде Подставив уравнение (П1.110) в (Ш,103), получим где д = гй — М Начальные и граничные условия для пластин приняты одииаковыми в областм -бя < х < +бе, -бя < у < +69.

д — до-г„,-го прм т=О; д=О прн т-+ос; (Ш.104) (П1.105) (1П.107) о=о о. оо дд Л вЂ” +ад=О при г=бЫ дх дд Л вЂ” +ад=О при у=бя,' ду дд — =О при х=О, -б„<у<+69' дд (Ш.100) =0 при у=О, -бг < я<+бе. у Пок „ем, безразмерный перепад пера ур бруса ра вен произведению безразмерных перепадов температур в пластинах: Равенство нулю всего выражения следует из равенства нулю выражений, заключенных в скобки так как д д Э и 9 являются решениями соответствующих дифференциальных уравнений для пластин: д~дя/до = 0 при т -+ оо, так как д~ -+ 0 и дя -+ 0 при т -ь оо.

При г = +бе и у = +бя соответственно имеем (Ш.114) (1П.115) 91 Л вЂ” +ад =0; дз / дд — ~Л вЂ” й+ад = 0 до ~, ду а прм и = 0 и у = 0 соответственно д дд. -Я вЂ” = 0' до дг д. дд — — Я=О. до ду (1П.112) (Ш.113) Последнее справедливо, поскольку производные равны нулю вследствие симметрии температурного поля в каждой отдельно рассматриваемой пластине. Таккм образом выра жение (Ш.107) удовлетворяет дифференциальному ура внению, начальным и граничным условиям и, следовательно, является решением задачи. Аналогичный результат можно получить при рассмотрении температурного поля параллелепипеда (рис. П1.11), для которого безразмерный перепад запишется так: Рис. П1.11.

Схвхв и расчету температурного пола паралле- лепипеда Е = ЕвЕзЕв = 1,„— 1(х,т) Фи — 1(у,'г) 1и — 1(» ) (Ш110) 1„— 10 Фи — 40 4и — 10 Указанные решения справедливы и для средней температуры параллелепипеда е=е.о,о,= Ми — Х(х, т) $ж — 1(у, т) Фи — 1(х, т) 1и се 1и 10 1и 10 При определении температуры характерных точек — центра параллелепипеда н центров граней — можно воспользоваться приведенными ранее графиками (см. рис. П1.6, П1.7) для отыскания о, е, е,.

Изложенный прием решения задачи для тел конечных размеров может быть применен и для определения температурного поля в цилиндре конечной длины, который представляет собой тело, полученное от пересечения неограниченных пилиндра к пластины. 1П.б. Температурное поле пластины с внутренними источниками теплоты Рассмотрим задачу, отличающуюся от разобранной выше тем, что по пластине равномерно распределены источники теплоты с постоянной мощностью ет. Поле температур подчиняется дифФеренциальному уравнению дг 0т и + дхз рс Пластина помещена в жидкость с температурой 1и и в нв чальный момент имеет ту же температуру. В пластине начинают цействовать источнкки теплоты.

Начальные и граничные условия имеют вкд (Ш.110) при т = О, -б < х ( +б; дс — Л вЂ” = а(1 — 1и) при х = +б; дх дг — = О при х = 0 (из условия симметрии).(Ш.121) дх (П1.119) (Ш.120) сутбЗ / 2 хЗ'1 1сш 1= ги+ — ~1+ —. — — ~. (П1.122) оо 2Л ~ Вс бз~' Такое стационарное поле подчиняется дифференциальному урав- нению и граничным условиям: Пля решения задачи удобно преобразовать приведенные уравнения, введя кзбыточную температуру д = 4вв — 1, представляющую собой разность между стационарной (устанавливающейся по истечении длительного промежутка времени) к не- стационарной температурами. Стационарное распределение температур определяется по формуле (Ш.127) (П1.133) (Ш.130) (П1.135) (П1.136) (П1.137) (1+ —.

— х ) сов(ядх)дх | 2 р В1 д= бо =Фн — Фо при т= О; дб Л вЂ” +ад=О при т=Во. д $ дб — =0; д14оо при т=О. дт о (Ш.131) | сов (в;х)~В о (Ш.138) 04 дгг — жа — + —; (1П.123) -Л вЂ” ~ = а(гвс — Ф~) при х = +6; (Ш.124) — ~=0 при х=О, (П1,126) дх Вычитая из уравиеиий (1П.123) — (Ш.125) соответствеиио выражения (П1.118), (П1.120), (П1.121), а из уравнения (Ш.122) — (Ш.119), имеем (Ш.126) дт дхг' -Л вЂ” = ад при х =+б (т > 0); дд дх д = — ~1+ —, — — ) при т = 0; (1П.128) дрФ / 2 хг~ 2Л ~ В1 йг) д61 — =0 при х=О (т>0). (Ш.129) дх Решив полученную систему (П1.126) — (П1.129) методом разделения переменных, получим общее расчетное уравнение О = — = ~~ С; сов(вф) ехр(-в; Ро), сев г г дт бг/2Л где собственные числа в; определяются из уже известиого траис- пендеитиого уравнеиия (П1.77), а козффипиеиты Ш.б.

Нестационарное температурное поле бесконечно длинного цилиндра Рассмотрим задачу по определению температурного поля в неограниченном пилиидре радиусом Во, начальиая температура которого во. Цилиидр помещается в среду с постоянной температурой $ж > Во; козффипиеит теплоотдачи а во всех точках внешней поверхности цилиндра остается постояпиым иа протяжеиии всего периода пагреваиия; в связи с этим температурное поле зависит только от радиуса и времеви.

Циффереипиальиое уравиеиие теплопроводпости для рассматриваемой задачи будет следующим: гдгв д =е~ — г+ — — ~, т>0, 0<т< Во, (П1,132) дт ~дтг т дт~' а условия однозначности имеют вид в=во при т=О, 0<т<Во, дв -Л вЂ” = а(ге — Ф) при т = Во; дт дг — = 0 при т = 0 (из условия симметрии). (П1.134) дт В пентре цилиндра температура имеет конечное значение: от=о Ф со После замены переменных (полагая б = $ж-г) система уравиеиий, описывающая температурное поле пеограиичеииого пилиидра, преобразуется к виду дд 1дгд 1 дд1 — =е~ — + — — ~ т>0 0<т<В ° д ~дг д ~ д = С е»Ь г р(г), (Ш.139) где функция фт) в рассматриваемом случае должна быть роше" пнем уравнения Бесселя 1зл(г) + -ф'(т) + йг4(т) = О.

(1П.140) Так как ф зависит только от радиуса г, то обшее решение уравнения (Ш.140) представим как сумму двух частных решений: ф(г) = ьр(г) + 1з(г). (1П.141) Это следует нз того, что обшее решение всякого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка вида р" + Р(х) р ' + о(х) у = О, к которому относится и уравнение (Ш.140), можно записать так: у = С, рг + Сг уз Применим метод разделения переменных, который, как и в случае бесконечной пластины, приводит к частному решению ви- да Найдем решение этого уравнения в виде степенного ряда (1П.145) у = ао + азх+ азх + азх + ° Лифференцируя почленно уравнение (П1.145), имеем Оз' = аг+2агх+Зазх +4аях + ", (1П.146) уа =,2 1аз + 3 2азх+3 ° 4аох~+ "° (1П.147) Подставляя (Ш.145) — (П1.147) в уравнение (1П.144) н группируя члены с одинаковой степенью х, получаем аз + (ао + 2 аг) х + (аг + 3 аз) х + (аг + 4 ао) х~ +...

(1П.148) Выражение (П1.148) равно нулю при аз =0; ао+2 аг =0; аз+3 аз =0; ...; а„г+а»»~ =О. Из этих равенств следует, что все коэффициенты с нечетными индексами равны нулю, а коэффициенты с четными индекса. ми выражаются через ао: уз=уз р е / ~ас. (Ш.142) Первое частное решение ~р(г) можно определить из преобразованного уравнения Бесселя вида (П1.140): т ~р»Я + ~р'(г) + Мгт~р(г) = О. (П1.143) Заменив г = х/х и учитывая, что в этом случае уи(г) = йгу "(х); <р'(г) = йу'(х), получаем (П1.144) х у + у + х<р = О. где Сг и Сг — постоянные; уг и рг — линейно независимые решения этого уравнения, т.е.

уг/уг ~ сопзз. При этом достаточно знать только одно линейно независимое решение, например уг, тогда второе находится по формуле аг = -ао/2г' ~ч = +ао/2г 4г. ао = -ао/2 ° 4 ° 6; ...; аг„= (-1)» ° ао/(2»)г! Следовательно, частное решение у(х) есть выражение хг х4 хо У = ао 1 — — + — — + ° . (Ш.149) 2г 2г 4г 2з 4г, бг Если положить ао = 1, то частный интеграл уравнения (1П.144) равен функции Я)(х) = 1 — х /2 + х /2 ° 4 — х /2 4г ° бг + ° , (Ш 150) называемой функцией Бесселя 1 рода нулевого порядка. вт Предварительно укажем, что , (х ) И50(яг) Й ~ 2 2з 4 2з 4з б (й )3 (й )3 / -З вЂ”,гьяя ,и=у~ у, е ° в"*Их. Уравнение (П1.157) является трансцендентным. решим его графическим способом.

Обозначим рг = /сне/В! = и/В1; рз = А(п)/Л(п). (Ш.150) 5(*) = Сг,7е(*) + Сз Уе(х) (Ш.153) д = Се ~~ ~ Я~(Ь), (П1.155) Для нахождения второго частного решения воспользуемся формулой (Ш.142) Подставив у и произведя вычисления, в результате получим хя х4 / 1~ = Л( ) ~~ * — — — ~~ -) "° .