Теория тепломассобмена (Леонтьев), страница 2

/а можно привести к виду (1.18). Цилиндрические (а) и сферические (Ь) координаты ,Пифференцнальное уравнение теплопроводности (1.17) имеет следующий вид: а) в цилиндрической системе координат (рис. 1.7, а) а д/а1 Ла 1д/дгЪ стр — = — Л вЂ” + — — + -х — Л вЂ” + д„(1.20) вт вт~ вт4 ° в. ° вр~ вх4 а /д'~ 1 а 1 Взг д'1 1 — =о — + — — + — — + — +чт' (1.21) дт ~,дтз т дт тздрдх вяз~ б) в сферической системе координат (рис. 1.7, 6) а в/а~ йла 1 в/ а1 стр — = — Л вЂ” + — — + — Л вЂ” + дт дт 1, дт/ т дт тз в(взФ дР 1, д~р/ 1 д / . а1 + —.

— ~Л в)пф — ~ + ут (1.22) тз в(пФ дФ ~ дФ~ и при Л = сонэк д1 ~д21 2 д? 1 д21 — =а — + — — + . — + д~ ~дг2 г дг гз э?п2 ф доз + —. — ~э?в ф — А + —. (1.23) д ~. д?Ч т2 в?пф д1Р ~, д?УЯ сэр' гст = У(хст~ Уст~ хст~ т)~ где 1,т — температура на поверхности тела; хст, уст, хст — координаты точки ца поверхности тела, В частном случае, когда температура на поверхности тела не изменкетсЯ по вРемени, $ст —— 7(хст, Уст, хст)„а если она постоянна по поверхности, то 1,т = сопэ1. 1.4. 'Условия однозначности Полученное в 1.3 дифференциэльное уравнение (1.17) описывает множество явлений теплопроводностн.

Чтобы из бесчисленного количества этих явлений выделить одно и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению теплопроводности необходимо добавить условия однозначности, которые содержат геометрические, физические и граничные условия. Геомепзрические условия определяют форму н размеры тела, в котором протекает изучаемый процесс. Физические условия задаются теплофизнческими парэ; метрами тела Л, ск и распределением внутренних источников теплоты. Временные (начальные) условия содержат распределение температуры в теле в начальный момент времени.

Граничные условия определяют особенности протекания процесса на поверхности тела. Граничные условия могут быть заданы несколькими способами. Граничные условия 1 рода. В этом случае задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени: (1.24) Граничные условия П рода. В этом случае заданной является плотность теплового потока для каждой точки поверхности тела в любой момент времени, т.е. тст = У(хст> уст~ яст т) (1.25) В частном случае, например при нагревании металлических из- явлий в высокотемпературных печах, уст = сопэФ.

Граничное условие 1? рода записывается в виде (1.26) Граничные условия Шрода. В этом случае задаются температура среды 18 и условия теплообмена этой среды с поверхностью тела. Процессы теплообмена между средой и телом являются исключительно сложными и зависят от многих факторов. Подробно они будут рассмотрены во втором разделе учебника, Пля описания интенсивности теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой используется гипотеза Ньютона-Рихмана, согласно которой у, = а(1, — 18), (1.27) д1! -Л вЂ” ! = а (1~ — 1о).

ди~ (1.28) . где а — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м2-К). Как следует из формулы (1.27), коэффициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемого (или воспринимаемого) единицей поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной 1 К. С учетом уравнений (1.3) и (1.27) граничное условие 1П рода записывается в виде 18 Когда коэффициент теплоотдачп имеет большие зпачепия (например, при кипении жидкости па поверхности тела), граничные условия 1П рода переходят в граничные условия 1рода, так как в этом случае температура поверхности тела становится практически равной температуре жидкости.

Граничные условия 1 г'рода формулкруются па основании равенства тепловых потоков, проходящих через поверхпость соприкосновения тел, т.е. Л,— =Аз — ' (1.29) дг~ дг~ Л,— ~ =Ля — ~ = „(1„,— 1,). да~„, ди~,т, Коэффициент контактного теплообмена зависит от множества факторов и его определение является сложной задачей. Из сопоставления формул (1,26), (1.28) и (1.29) следует, что они различаются правыми частями уравнений. Исключепие составляет граничное условие 1рода, которое задается температурой поверхности тела.

Однако можно показать, что граничное При совершенном тепловом контакте оба тела иа поверхности соприкосновения имеют одинаковую температуру, т.е. изотермы пепрерывпо переходят ю одного тела в другое, а градиенты температур в этих точках удовлетворяют условию (1.29). В реальных конструкциях тепловой контакт между соприкасающимися деталями обычно нельзя считать идеальным, так как действительпая поверхность контакта составляет только малую часть всей поверхпости, даже если эти поверхности гладкие. и сжимающая сила велика. Если коэффициенты теплопроводпостк находящихся в контакте тел сушествеппо выше, чем теплопроводпость среды, за полняющей полости, то основная часть теплоты будет передаваться через точки контакта.

Различие температур соприкасающихся поверхностей пропорционально контактному термическому сопротивлению или обратно пропорционально контактной тепловой проводимости, которэл количественно характерюуется коэффициентом ая. В этом случае условие (1.29) принимает вид Г л а в а 11. СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОЛНОСТЬ ПЛ.

Теплопроводпость тел простой формы При стапиопарпом режиме температурное поле пе зависит от времени д1/дг = О и дифференциальное уравнение теплопроводности (1.17) принимает впд — Л вЂ” + — Л вЂ” + — Л вЂ” +д, = О. (П.1) Рассмотрим несколько случаев, когда температура будет зависеть только от одной координаты. Неоераккчеккал илоскал пивкка (рис. П.1, а) представляет собой тело, ограниченное с двух сторон параллельными поверхностями, протяжеппость которых в направлении у и х велика. Если боковые поверхности неограниченной плоской стенки юотермические, то изменением температуры в пей по осям у и х lдг дг можно пренебречь ~ — = — = О и дифференциальное уравпе- ~,ду дх / пие теплопроводпостп (П.1) записать в виде (П.2) — Л вЂ” +йг = О.

условие П1рода преобразуется в граничное условие 1рода при о -~ оо, т.е. при очень интенсивной теплоотдаче. Тогда пз уравнения (1.27) следует, что $ст = ~е. Грапичпые условия могут существенно усложниться процессами радиационного теплообмепа, процессами массобмепа с фазовыми переходами и т.п.

Лпфферепцпальпое уравнение (1.17) совместно с условиями однозначности дает полную математическую формулировку конкретной задачи теплопроводпости, Решение этой задачи может быть выполнено аналитически, численным или эксперпмептальиым методом, В последнем случае используются методы физического подобия и аналогий.

18 Фсг;ятям — тЛ вЂ” +йт = О. (П.З) пргЯЯаз (П.б) (Л1 Ф О). Рвс. 11.1. Неограввчевваа плоское ставка (а) и неограниченный в ый вилвилр (6) Тело цилиндрической формы (рнс. П.1, б), протяженность которого по осн я велика, называется веоерапвчевпььв цвлвпдром, который может быть сплошным (Я1 = О) н полым Как для сплошного, так н для полого пеограннченных цнлнндров в том случае, когда поверхности являются пзотермнчедг д1 слнмн, имеем — = — = 0 (т~ ж х~ + у~),к днфференцнельное дя дж уравненне теплопроводностн принимает внд В случае нзотермич ности внутренней н наружной поверхностей для полово и сплошподг ао шаров (рнс.

П.2) имеем — = ду д1 дф ж — = 0 (тз=хз+уз+зз). Следовательно, днфференцкальное уравненне теплопроводностн в этом случае залншется так: 1(l, (й — — ~т Л вЂ” ~ + 4т = О. (П,4) Рис. П.З. Ползай шар тз йт ~, йт) Нетрудно заметить, что днфференпнальные уравнення теплопроводностн (П.2) — (П.4) можно объеднннть в одно: где ~ — обобщенная координата. Прн ~ = х (и = 0) днфференпнальное уравнение теплопроводности (П.б) переходкт в днфференпнальное уравнение теплопроводностн (П.2), прн ~ = т (и = 1) — в уравнение (П.З), а прн (' = т (и = 2) — в уравненне (П.4).

Неограниченная плоская свзевха. Рассмотрим однородную н нзотропную стенку толщиной б с постоянным козффнцпентом теплопроводностн Л н прп отсутствии внутренних тепловых нсточннков (д~ = 0) (см. рнс. П.1, а). (П.б) $=$ст1 пРн х=О; при х=б. После ннтегрнрованкя получим — Л(1) — = О, (П.12) $ = Сзх+ С2. (П.7) д ю Л(1) й.

(П.13) С1 = - — т-~.. 2 -Ю б Сз = тст1~ 2 ю тст — ' стт х. 1 б (П.8) с граничными условиями (П.15) тсг1 д=О прн х=О. ст = 1 — Х. (П.9) (П.16) Л д = — (зст, — 2 ). (П.10) Днфференпнальное уравнение теплопроводностн (П.2) для рассматриваемого случал имеет внд Рассмотрим граничное условие 1 рода, когда задалнымн являются температуры поверхностей пластины, т.е. Таким образом, температура стенки нзменяется по толщнне пластины по лннейному закону. Постоянные С1 н Сз определим нз граннчных усковнй: Тогда нз уравнения (П.7) получаем ВВЕДЯ бЕЗРаЗМЕРНУЮ тЕМПЕРюатУРУ Ст = (2 — Гстт)/(зст, — 2 ) н безразмерную координату Х = х/б, вмеем Плотность теплового потока через стенку определяем нз зайт кона Фурье 9 = -Л вЂ”: дх' Отношение Л/б (в ваттах на квадратный метр-кельвин) называется тиеплоеоб проеодимостиъю стиении, а обратиая величина б/Л (квадратный метр-кельвкн на ватт) — тиеплоезтм или тиермичесиим сопротииелеиием спзеиии, Общее количество теплоты Ят, которое передается через поверхность Г стенки за промежуток времени г, равно Л Ят = 9 „Гт = — (Фст1 — 1стз) У'т.

(П.11) Для случал, когда теплопроводность Л является переменной величиной, зависящей от температуры, дкфференпнальное уравнение теплопроводностн становится нелинейным." Введем новую переменную д, называемую переменной Кирхгофа, тст1 Тогда уравнение (П.12) относительно переменной д будет линей— =О езд (П.14) дхз тсез д = Л($) дг = дст1 при х = б; Решая уравнение (П.14) и переходя к температуре 2, получаем тст Плотность теплового потока Л яст б (1стд 1стз )' (П.17) л, б л, о = — (1 -1,); 3 (11.18) Лв Ч б (1ств гств+д )1 в откуда Рис.

П.з. Распределение температуры в неограни- ченной плоской стенке нри Л = У(1) (П.20) д в 1=1 — + — + "+— 1 2 в Л, Л, ' ' Лв дстз 1 где Л = Л(1) Й вЂ” среднеинтегрвльная теплопровод1стд — 1стт у декад ность пластины. в Из уравнения (11 16) следует, что при переменной теплопроводсст1 ФХ ности Л распределение темпера— >а туры по толщине пластины не подчиняется линейному закджу.